Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

356 

изменения переменной  y . При подходе к  ( , ) 0

x y

 модуль вектора  y  

уменьшается,  а  на  поверхности  y   и  x   становятся  соизмеримыми,  и 
вдоль нее изображающая точка движется с «нормальной» скоростью. 

Интуитивно понятно, что пренебречь быстрыми движениями можно 

в случае, когда процессы сходятся к поверхности  ( , ) 0

x y

 за сущест-

венно  меньшее  время,  чем  полная  длительность  процессов  системы. 

Конкретные рекомендации  на  этот  счет  и  дает  метод  разделения  дви-

жений. 

10.4.2. ВЫДЕЛЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ  

ДВИЖЕНИЯ 

Для исследования свойств необходимо научиться выделять отдель-

ные составляющие движения: быструю и медленную. 

Получим сначала подсистему медленных движений. С этой целью 

будем  рассматривать  асимптотику  системы  (10.33),  полагая  в  ней 

0

, 

0

0

( ,

),

0

( ,

),

x

f x y

x y



(10.34) 

где  через 

0

y   обозначены  значения  y ,  соответствующие  поверх- 

ности  ( ) 0 . 

Если теперь из последнего уравнения (10.34) найти 

0

y  как функцию 

0

( )

y

x   и  подставить  в  первое,  то  получим  описание  независимой 

подсистемы  медленных  движений  в  виде  дифференциального  уравне-

ния состояния n-го порядка 

0

( ,

( ))

( )

x

f x

x

f

x



. 

 (10.35) 

Для  выделения  подсистемы  быстрых  движений  удобно  ввести 

масштаб времени 

1

t , 

что  позволяет  «растянуть»  процессы  и  исследовать  быструю  состав-

ляющую. 

10.4. Метод разделения движений 

357 

Поскольку  t

, описание исходной системы (10.33) в новом вре-

мени принимает вид 

( , ),

( , )

dx

f x y

d

dy

x y

d

или окончательно 

( , ),

( , ).

dx

f x y

d

dy

x y

d

(10.36) 

Рассмотрим  теперь  асимптотику  системы  (10.34),  полагая  в  ней 

0

.  При  этом  модель  быстрых  процессов  в  новом  времени  τ  пред-

ставляет  собой  следующее  дифференциальное  уравнение  состояния 

m

-го порядка: 

const,

( , ).

x

dy

x y

d

(10.37) 

Возвращаясь к обычному времени  t , получим описание подсистемы 

быстрых движений в виде 

const ,

( , ).

x

y

x y



(10.38) 

Отметим,  что  системы  (10.35)  и  (10.38)  независимы  и  описывают 

две составляющие общего процесса исходной системы, причем сумма 

порядков  подсистем  медленных  и  быстрых  движений  равна  порядку 

полной системы (10.31). Степень этого разделения зависит от числен-

ного значения  . 

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

358 

ПРИМЕР  10.6 

Разделить движения в системе, поведение которой описывают уравнения 

1

2

2

1

1 2

2

3

3

1

2

1 2

3

,

4

2

,

5

2

3 .

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x x

x

u






Полагая 

 = 0,

 получим вырожденную систему 

1

2

2

1

1 2

2

3

1

2

1 2

3

,

4

2

,

0

5

2

3 .

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x x

x

u




Выразим из последнего уравнения переменную 

3

x  в виде 

3

1

2

1 2

5

2

3

x

x

x

x x

u  

и подставим в два оставшихся. В результате получим уравнения подсисте-

мы медленных движений: 

1

2

2

1

2

,

11

6 .

x

x

x

x

x

u




Введя масштаб времени 

1

t

, запишем исходные уравнения систе-

мы в новом времени: 

1

2

2

1

1 2

2

3

3

1

2

1 2

3

,

4

2

,

5

2

3 .

dx

x

d

dx

x

x x

x

x

d

dx

x

x

x x

x

u

d

Снова полагаем 

 = 0

 и получим подсистему быстрых движений в но-

вом времени 

1

2

3

3

const ,

const ,

3

const ,

x

x

dx

x

u

d

10.4. Метод разделения движений 

359 

а затем в нормальном времени: 

1

2

3

3

const ,

const ,

3

const .

x

x

x

x

u



Отметим,  что  вместо  нелинейной  системы  третьего  порядка  получили 

две независимые линейные подсистемы второго и первого порядков. 

10.4.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ  

МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ 

Полученные в результате рассмотренной процедуры разделения не-

зависимые подсистемы быстрых и медленных движений можно иссле-

довать  отдельно.  Вывод  относительно  свойств  исходной  системы  по-

зволяют  сформулировать  теоремы,  которые  мы  далее  приведем  без 

доказательства [7, 10] и в упрощенном виде. 

1.  Теорема  1.  Если  подсистема  быстрых  движений  (10.38)  экспо-

ненциально устойчива, то для любого как угодно малого момента вре-
мени 

0

0

t

  найдется  такое  достаточно  малое  значение  параметра 

, что траектория движения исходной системы (10.33) будет нахо-

диться к моменту времени 

0

t   в  какой  угодно малой  окрестности  по-

верхности  ( , ) 0

x y

. 

Доказательство теоремы основано на использовании второго метода 

Ляпунова. Поскольку подсистема быстрых движений (10.38) экспонен-

циально устойчива, существующая для нее функция Ляпунова исполь-

зуется при оценке устойчивости полной системы (10.31) [8]. 

Теорема  1  технически  означает,  что  при  экспоненциальной  устой-

чивости подсистемы быстрых движений поведение исходной системы 

будет близко к поведению медленных движений, т. е. процессы систе-

мы (10.33) можно с достаточной точностью оценивать по (10.35). 

2.  Теорема  2.  Если  подсистемы  быстрых  и  медленных  движений 

порознь  экспоненциально  устойчивы,  то  существует  такое  доста-

точно малое значение  , что исходная система (10.33) также экспо-
ненциально устойчива [10]. 

Таким образом, эти теоремы устанавливают связь между свойства-

ми полной системы и двумя упрощенными и дают обоснование замене 

исследования точного решения системы с малым параметром анализом 

приближенного, а именно решения подсистемы медленных движений. 

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

360 

ПРИМЕР  10.7 

Используя  метод  разделения  движений,  определить  устойчивость  сис-

темы 

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

,

2

4

5 .

x

x

x

x

x

x

x

u





Полагая 

 = 0

, получим 

2

1

1

1

2

2

1

2

2

,

0

2

4

5 ,

x

x

x

x

x

x

u



откуда следует 

2

2

1

0, 5

1, 25

x

x

u . 

В результате описание подсистемы медленных движений будет иметь вид 

1

1

2,5 .

x

x

u



Получили  линейное  уравнение  первого  порядка,  которое  соответствует 

устойчивой подсистеме. 

Уравнение подсистемы быстрых движений следующее: 

1

2

2

const ,

4

5

const.

x

x

x

u



Как видим, это линейное уравнение первого порядка, причем подсистема 

быстрых движений устойчива. 

Согласно приведенным теоремам исходная система  будет экспоненци-

ально устойчива, а процессы в ней имеют монотонный характер в соответ-

ствии с описанием подсистемы медленных движений. 

10.4.4. УСЛОВИЕ РАЗДЕЛИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ 

К настоящему времени метод разделения движений получил широ-

кое применение, поскольку позволяет обоснованно представить слож-

ную нелинейную систему в виде совокупности нескольких более про-

стых  подсистем.  Это  существенно  упрощает  задачу  анализа  и,  что 

гораздо важнее, синтеза. 

Наличие  разнотемповых  процессов  в  физической  системе  обычно 

обусловлено  использованием  в  ней  больших  коэффициентов  или