Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

10.4. Метод разделения движений 

361 

звеньев с малой постоянной времени. 

Однако  количественная  оценка  пара-

метра  , при котором возникают раз-
личные  по  скорости  движения,  оста-

ется «слабым местом» метода. 

Наиболее  просто  можно  опреде-

лить  возможность  разделения  движе-

ний в линейной системе, например, по 

ее  корневому  портрету.  Если  на  нем 

можно  выделить  две  группы  «разне-

сенных» корней (рис. 10.13), то в сис-

теме  будут  протекать  разнотемповые 

процессы;  причем  удаленным  корням 

соответствует быстрая составляющая. 

В  случае  линейной  системы  с  ма-

лым параметром 

11

12

21

22

,

,

,

,

n

m

x

A x

A y

x

R

y

A x

A y y

R





 (10.39) 

можно  предложить  количественную  оценку  применимости  метода.  

В соответствии с процедурой, рассмотренной  в разд. 10.4.2, выделим 

подсистему медленных движений 

11

x

A x





, 

(10.40) 

которая имеет n корней: 

м

1м

м

,

,

n

p

p



. 

Описание быстрой составляющей имеет вид 

22

21

const,

x

y

A y

A x



 (10.41) 

и содержит m корней: 

б

1б

б

,

,

m

p

p



. 

Im

Re

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Рис. 10.13. Пример распределе-

ния корней в системе с разно-

темповыми процессами 

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

362 

При  сравнении  расположения  корней,  соответствующих  разнотем-

повым процессам, удобно использовать понятие среднеквадратичного 

корня.  Определим  среднеквадратичный  корень  для  подсистемы  мед-

ленных движений (10.40) в виде 

м

1м

м

( 1)

n

n

n

p

p



. 

(10.42) 

Для  подсистемы быстрых  движений  (10.41)  он  находится  следующим 

образом: 

б

1б

б

( 1)

m

m

m

p

p



. 

(10.43) 

Мерой разделимости движений может служить эмпирическая оценка 

б

м

10

D

.   

 (10.44) 

Отметим,  что  разделение  движений  будет  тем  точнее,  чем  больше 

величина  D .  Это  соответствует  большему  разнесению  групп  корней, 

показанных на рис. 10.13. 

Если исследуемая система нелинейная, то проверить условие разде-

лимости  можно  по  корням  линеаризованных  подсистем  быстрых  и 

медленных движений. Однако полученная оценка справедлива лишь в 

достаточно малой окрестности точки линеаризации. Основным услови-

ем применимости метода разделения движений в этой ситуации явля-

ется  физическое  наличие  в  системе  малых  инерционностей  или  боль-

ших коэффициентов. 

ПРИМЕР  10.6 

Проверить справедливость пренебрежения звеном с малой инерционно-

стью в системе (рис. 10.14), если 

1

2

2

3

( )

1

W p

p

p

, 

2

2

( )

3

W

p

p

, а 

0,1

. 

1

()

W

p

2

(

)

W

p

1

()

W

p

2

(

)

W

p

v

y

Риc. 10.14. Структурная схема системы  

к примеру 10.6

10.4. Метод разделения движений 

363 

Как  видим,  малым  параметром    в  системе  является  постоянная  вре-

мени колебательного звена. Ее численное значение на порядок меньше ос-

тальных  коэффициентов,  поэтому  можно  предположить  возникновение 

порожденных   разнотемповых процессов. 

Для  того  чтобы  применить  метод  разделения  движений,  необходимо 

привести описание системы к стандартному для него виду. Предваритель-
но  введем  обозначения: 

1

x

y

  –  выход  звена  с  передаточной  функцией 

2

( )

W

p ; 

2

x  – выходная переменная звена с передаточной функцией 

1

( )

W p . 

С учетом обозначений запишем уравнения системы в виде 

1

1

2

2

2

2

2

1

3

2

,

3

3 .

x

x

x

x

x

x

v

x







Введем  третью  переменную  состояния, 

3

2

x

x ,  и  получим  описание 

системы в переменных состояния 

1

1

2

2

3

3

1

2

3

3

2

,

,

3

3 .

x

x

x

x

x

x

x

x

x

v






Используя  процедуру  разделения  движений,  выделим  медленную  со-

ставляющую 

1

1

9

6

x

x

v



и соответствующий ей корень 

м

9

p

. 

Запишем теперь среднегеометрический корень 

м

м

9

p

. 

Быстрые процессы определяются уравнениями 

1

2

3

3

2

3

const,

,

3

const ,

x

x

x

x

x

x

v




от которых можно перейти к следующему: 

2

2

2

2

3

const

x

x

x

v





. 

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

364 

Отсюда  при  заданном  численном  значении    найдем  корни  подсистемы 
быстрых движений 

1,2б

5

75

p

j

и среднегеометрический корень 

 б

1б 2б

25 75

10

p p

. 

Определим затем значение меры разделимости движений (10.42) 

 б

 м

10

1,1

9

D

. 

Таким образом, несмотря на малость постоянной времени  , разнотем-

повые  процессы  в  системе  не  возникнут.  Следовательно,  при  заданном 

численном значении   нельзя пренебрегать соответствующим звеном, не-
обходимо исследовать процессы в полной системе. 

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

В этой главе представлены методы, которые наиболее часто исполь-

зуются  при  анализе  и  проектировании  нелинейных  систем,  и  каждый 

из них имеет свою рациональную область применения. 

Так, метод фазовой плоскости на практике используется для иссле-

дования  процессов  в  системах  второго  порядка,  причем  по  характеру 

фазовой траектории оценивается качество ее работы. 

Метод гармонического баланса, основанный на способе гармониче-

ской линеаризации, позволяет определить автоколебания в комбиниро-

ванной  системе.  Этот  метод  является  приближенным  и  применяется 

для систем, у которых линейная часть представляет собой фильтр низ-

ких частот. 

Наличие в системе больших коэффициентов усиления или звеньев с 

малой инерционностью может приводить к возникновению в ней раз-

нотемповых  процессов.  Для  анализа  их  свойств  используется  метод 

разделения движений. Следует заметить, что предварительно описание 

системы  необходимо  представить  в  стандартном  виде  (в  переменных 

состояния)  и  выделить  малый  параметр,  который  должен  находиться 

при части производных переменных состояния. 

Задачи 

365 

З А Д А Ч И  

10.1.  Построить  фазовый  портрет  системы,  математическая  модель 

которой имеет следующий вид: 

1

2

2

1

,

5

2 ,

const

1.

x

x

x

x

u

u




10.2. Построить фазовый портрет системы, поведение которой опи-

сывают следующие уравнения: 

1

2

2

1

2

,

2

3

,

const

5.

x

x

x

x

x

u

u




10.3. Построить фазовый портрет системы, поведение которой опи-

сывают следующие уравнения: 

1

1

2

2

1

2

2

,

4

.

x

x

x

x

x

x




10.4.  Построить  фазовый  портрет  системы  (рис.  10.15),  где 

0

v

, 

НЭ – идеальное реле с уровнем ограничения 

2

c

, 

л

2

10

( )

5

2

W

p

p

p

. 

10.5. Построить фазовый портрет системы (рис. 10.15) с заданным не-

линейным элементом (рис. 10.16), где 

0

v

, 

л

2

4

( )

7

W p

p

p

, 

5

C

. 

( )

W

p

u

v

y

( )

W

p

л

НЭ

W

л

(р) 

1

1

C

C

u

Рис.  10.16.  Характеристика  ко-
эффициента  усиления  с  огра- 
                  ничением 

Риc. 10.15. Структурная схема  

системы