Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Г л а в а  11 

СИНТЕЗ  НЕЛИНЕЙНЫХ  СИСТЕМ 

этой  главе  мы  обсудим  центральную  для  теории  управления 
задачу  –  синтез  автоматических  систем,  которая  становится 

исключительно сложной в  случае  нелинейных  объектов.  Несмотря  на 
большое число работ, посвященных данной проблеме, общих алгорит-
мов синтеза практически нет. Как правило, предлагаются частные спо-
собы коррекции динамики нелинейных систем. 

Тем  не  менее  можно  выделить  три  регулярных  подхода,  на  основе 

которых могут быть разработаны процедуры расчета регуляторов. К ним 
относятся: метод больших коэффициентов [8, 10, 42], скользящих режи-
мов [42] и метод локализации [8]. Первые два предполагают организа-
цию двухэтапных процессов, когда на первом этапе возникают быстрые 
движения, а на втором – медленные рабочие, которым различными спо-
собами придают желаемые свойства. При определенных условиях про-
цессы в системах на втором этапе будут инвариантны по отношению к 
нелинейным характеристикам и внешним возмущениям. 

В этой главе мы рассмотрим метод локализации, который содержит 

ясную и регулярную процедуру расчета для широкого класса нелиней-
ных  объектов.  Основной  предварительной  работой,  которую  необхо-
димо  проводить  перед  синтезом,  является  формализация  технической 
задачи  создания  регулятора.  При  этом  исследуются  свойства  объекта 
управления,  оговариваются  условия  работы  системы  и  технологиче-
ские требования к ее поведению. 

В  

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

372 

11.1. ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ  СИНТЕЗА  

НЕЛИНЕЙНЫХ  

ОДНОКАНАЛЬНЫХ  СИСТЕМ 

Как и в случае линейных систем, синтез предполагает добавление в 

систему  (рис.  11.1)  регулятора  с  целью  обеспечения  в  ней  требуемых 

динамических и статических свойств. 

v

u

y

P

O

Рис. 11.1.  Функциональная  схема  

системы управления: 

O – объект управления; P – регулятор

Здесь  будем  рассматривать  одноканальные  объекты,  математиче-

ская модель которых имеет вид 

0

0

1

1

( , )

( , ) ,

,

( ),

,

,

n

x

f t x

B t x u

x

R

y

g x

u

R

y

R



(11.1) 

где 

0

1

2

( )

( ),

( ),

,

( )

T

n

f

f

f

f



  и 

0

1

2

( )

( ),

( ),

,

( )

T

n

B

b

b

b



  –  

вектор-функции; 

0

( )

f

 удовлетворяет условиям существования и един-

ственности  решений  дифференциального  уравнения;  функция 

( )

g x

допускает многократное дифференцирование. 

Явная  зависимость  функций 

0

( )

f

  и 

0

( )

B

  от  t  отражает  действие 

возмущений,  которые  могут  быть  порождены  как  нестационарностью 

характеристик самого объекта, так и действием сигнальных возмуще-

ний. Будем предполагать, что темп их изменения существенно меньше 

скорости основных процессов в объекте, причем известен только диа-
пазон изменения функций (например, в виде 

max

( )

i

i

f

f

, 

max

( )

i

i

b

b

, 

1,

i

n ). 

11.1. Постановка задачи синтеза нелинейных одноканальных систем 

373 

Цель управления состоит в определении такого управляющего воз-

действия 

( )

u

u

, которое обеспечивает выполнение свойства 

lim ( )

t

y t

v  

(11.2) 

с заданной статической точностью 

0

( )

( )

v

y

. 

Наряду с условием статики (11.2) предъявляются требования и к ха-

рактеру переходных процессов в виде оценок 

*

*

,

n

n

t

t

. 

 (11.3) 

На основе требований (11.2) и (11.3) формируется желаемое диффе-

ренциальное  уравнение  для  замкнутой  системы  относительно  пере-

менных состояния 

( , )

x

x

F x v



 (11.4) 

или выходной переменной  

( )

(

1)

( , ,

,

, )

n

n

y

F y y

y

v

 

. 

 (11.5) 

Здесь 

1

v

R  – входное(задающее) воздействие на систему. 

Для объектов (11.1) желаемое уравнение можно, как правило,  скон-

струировать в виде линейного дифференциального уравнения. Предла-

гается  следующая  процедура  его  формирования.  Сначала  выбирается 

распределение  корней,  соответствующее  требованиям  (11.3),  а  затем 

записывается желаемое характеристическое уравнение аналогично мо-
дальному методу синтеза (см. разд. 6.5). Поскольку  p d dt  есть опе-
ратор  дифференцирования,  нетрудно  получить  линейное  однородное 

дифференциальное уравнение. С учетом требования (11.2) записывает-

ся желаемое уравнение в виде (11.5). При необходимости от него мож-

но перейти также к описанию в форме (11.4). В примере 11.1 приведе-

на такая процедура. 

ПРИМЕР  11.1 

Сформировать желаемое дифференциальное  уравнение  второго поряд-

ка  таким  образом,  чтобы  соответствующие  ему  процессы  удовлетворяли 
следующим требованиям: 

3 c,

п

t

0,

lim ( )

t

y t

v

. 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

374 

Выберем  распределение  корней,  обеспечивающее  заданное  качество 

процессов, аналогично тому, как это сделано в разд. 6.5. Поскольку в сис-

теме не допускается перерегулирование, они должны быть вещественными 
и располагаться на  расстоянии не  ближе 

*

3

1

n

t

  от  мнимой  оси.  Та-

ким образом, выбираем следующие возможные корни: 

*

*

1

2

1, 5,

2

и формируем желаемое характеристическое уравнение 

*

*

2

1

2

( )

(

)(

)

3, 5

3

0.

C p

p

p

p

p

От  него  перейдем  к  желаемому  однородному  дифференциальному 

уравнению 

3,5

3

0

y

y

y





. 

С учетом требования (11.2) запишем уравнение 

3,5

3

3

y

y

y

v





, 

которое представим в виде 

3,5

3

3

( , , )

y

y

y

v

F y y v







, 

т.  е.  получим  окончательно  неоднородное  желаемое  дифференциальное 

уравнение, которое имеет форму (11.5). 

11.2. УСЛОВИЯ  РАЗРЕШИМОСТИ   

ЗАДАЧИ  СИНТЕЗА 

Поставив задачу синтеза, необходимо убедиться в том, что она бу-

дет иметь решение. С этой целью предварительно следует проанализи-

ровать возможности объекта управления и требования, предъявляемые 

к качеству работы системы. 

11.2.1. РЕАЛИЗУЕМОЕ  СОСТОЯНИЕ  РАВНОВЕСИЯ 

Реализуемым  будем  называть  такое  состояние  равновесия,  в  ко-

тором можно удержать систему с помощью конечного управляющего 

воздействия. 

Рассмотрим,  какие  состояния  равновесия  будут  реализуемыми  для 

объекта (11.1). Для этого исходное уравнение представим в форме 

11.2. Условия разрешимости задачи синтеза 

375 

1

1

1

( )

( ) ,

( )

( ) .

n

n

n

x

f

B

u

x

f

b

u




(11.6) 

Здесь 

1

1

2

1

,

,

,

T

n

x

x x

x



 – усеченный вектор состояния (без послед-

ней  координаты); 

1

1

2

1

( )

( ),

( ),

,

( )

T

n

f

f

f

f



  –  усеченная  вектор-

функция; 

1

1

2

1

( )

( ),

( ),

,

( )

T

n

B

b

b

b



  –  усеченная  вектор-функция, 

( , )

0

(

, )

n

x

b t x

x

t ; 

x

  –  область  допустимых  значений  пере-

менных состояния. 

Запишем для объекта (11.6) уравнения равновесного режима 

1

1

0

( )

( ) ,

0

( )

( ) .

n

n

f

B

u

f

b

u

 (11.7) 

Из второго уравнения (11.7) определим управляющее воздействие  

( )

( )

n

n

f

u

b

и подставим в первое. Получим уравнение 

1

1

( )

( )

( )

( )

0

( )

n

n

f

f

B

b

, 

 (11.8) 

которое  и  описывает  реализуемые  равновесные  состояния  объекта 

(11.1).  Отметим,  что  (11.8)  задает  в  пространстве  состояний  поверх-

ность (

1

n

)-го порядка (рис. 11.2). 

Реализуемым  состоянием  равно-

весия  для  данного  объекта  будет 

лишь  то,  которое  находится  на  этой 

поверхности.  Этот факт следует учи-

тывать при формировании уравнений 

(11.4) и (11.5). 

x

n

x

1

φ = 0 

Рис. 11.2. Иллюстрация реали-

зуемых равновесных состояний