Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

376 

ПРИМЕР  11.2 

Определить  множество  реализуемых  равновесных  состояний  для  объ-

екта, математическая модель которого имеет вид 

1

1

2

2

1

2

,

2

3 .

x

x

x

u

x

x

x

u




Запишем уравнения статики 

0

0

1

2

0

0

1

2

0,

2

3

0.

x

x

u

x

x

u

Определим управляющее воздействие из первого уравнения 

1

2

u

x

x

и подставим во второе. После преобразования получим уравнение множе-

ства реализуемых равновесных состояний в виде 

0

0

2

1

0, 25

x

x . 

Как видим, графической интерпретацией этого множества в простран-

стве  состояний  является  прямая.  Стабилизировать  объект  управления  в 

других состояниях нельзя. 

11.2.2. РЕАЛИЗУЕМЫЕ  ЖЕЛАЕМЫЕ  УРАВНЕНИЯ 

Реализуемыми будем называть такие желаемые дифференциаль-

ные уравнения, которым можно подчинить поведение замкнутой сис-

темы с помощью конечных управляющих воздействий. 

Так как желаемые уравнения могут быть сформированы в  соответ-

ствии  с  требованиями  к  качеству  процессов  относительно  различных 

переменных, то для каждой из этих ситуаций получим условия реали-

зуемости. 

1.  Рассмотрим  случай,  когда  в  замкнутой  системе  требуется  обес-

печить  желаемые  свойства  по  переменным  состояния.  Представим 

уравнения объекта (11.1) в форме (11.6): 

1

1

1

( )

( ) ,

( )

( ) .

n

n

n

x

f

B

u

x

f

b

u




 (11.9) 

11.2. Условия разрешимости задачи синтеза 

377 

Аналогичным образом запишем желаемое уравнение (11.4) 

1

1

( ),

( ).

n

x

n

x

x

F

x

F





 (11.10) 

Приравнивая  правые  части  соответствующих  уравнений  (11.9)  и 

(11.10),  проверим,  существует  ли  конечное  управление,  обеспечиваю-

щее выполнение этого условия. В результате имеем 

1

1

1

( )

( )

( ),

( )

( )

( ).

x

n

n

n

x

f

B

u F

f

b

u F

 (11.11) 

Так как  ( ) 0

n

b

, то из (11.11) можно определить в явном виде 

1

( )

( )

( )

n

x

n

n

u

F

f

b

 (11.12) 

и подставить (11.12) в первое уравнение (11.11). Оно представляет со-

бой тождество только в том случае, когда желаемое уравнение для пе-
ременных 

1

x  задано в виде 

1

1

1

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

x

n

x

n

F

f

B

F

f

b

. 

Следовательно,  произвольным  образом  формировать  уравне- 

ния (11.4) в рассматриваемой ситуации нельзя. Реализуемыми  уравне-

ниями будут следующие: 

1

1

1

1

( )

( )

( )

( ) ,

( )

( ).

n

n

x

n

n

n

x

x

f

B

F

f

b

x

F





 (11.13) 

Отметим  здесь  важный  факт.  Мы  показали,  что  существует  закон 

управления (11.12), который обеспечивает точное решение поставлен-

ной задачи синтеза. Однако реализовать его на практике невозможно, 
так как полностью функции 

0

( )

f

и 

0

( )

B

 неизвестны, кроме границ их 

изменения. Следовательно, алгоритм управления (11.12) является пре-

дельным, к нему необходимо стремиться при проектировании реально-

го регулятора. 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

378 

ПРИМЕР  11.3 

Проверить, являются ли реализуемыми желаемые уравнения  

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

( ,

, )

2

,

( ,

, )

4

x

F x x v

x

x

v

x

F x x v

x

x

v




для объекта со следующей математической моделью: 

1

1

2

2

1

2

5

2 ,

2

3

.

x

x

x

u

x

x

x

u




Приравняем  правые  части  желаемого  уравнения  и  объекта  для  пере-

менной 

2

x : 

1

2

1

2

4

2

3

x

x

v

x

x

u

и определим управление 

1

2

u

x

x

v

. 

Приравняв правые части желаемого уравнения и объекта для перемен-

ной 

1

x , с учетом найденного управления получим

1

2

1

2

2

3

x

x

v

x

x

v . 

Следовательно, желаемые уравнения являются нереализуемыми для 

заданного объекта. 

Реализуемыми для него будут, например, следующие уравнения: 

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

( ,

, )

3

,

( ,

, )

4

.

x

F x x v

x

x

v

x

F x x v

x

x

v




2.  Обсудим теперь условия реализуемости для ситуации, когда же-

лаемое  уравнение  задано  относительно  выходных  переменных  в  виде 
(11.5). 

В этом случае будем последовательно n  раз дифференцировать y и 

перейдем от описания объекта в переменных состояния (11.1) к урав-

нению 

( )

(

1)

(

1)

( , ,

,

)

( , ,

,

)

n

n

n

y

f t y

y

b t y

y

u





, 

(11.14) 

где для функций  ( )

f

  и  ( )

b

  известен  только  диапазон  их  изменения: 

max

( )

f

f

, 

max

( )

b

b

. 

11.3. Метод локализации 

379 

Приравняем правые части уравнений (11.5) и (11.14) 

( )

( )

( )

F

f

b u

и при условии 

(

1)

( , ,

,

)

0

,

[0; )

n

y

b t y

y

y

t



 (11.15) 

определим управляющее воздействие 

1

( )

( )

( )

u

b

F

f

. 

(11.16) 

Как  и  в  предыдущем  случае,  уравнение  (11.16)  является  предель-

ным и обеспечивает точное решение задачи синтеза, но не может быть 

реализовано на практике из-за неизвестных функций  ( )

f

и  ( )

b

. 

Отметим, что условие (11.15) есть условие реализуемости желаемо-

го дифференциального уравнения (11.5). 

11.3. МЕТОД  ЛОКАЛИЗАЦИИ 

Метод локализации как метод синтеза нелинейных нестационарных 

систем  разрабатывается  научной  школой  при  кафедре  автоматики  

Новосибирского  государственного  технического  университета  около 

35  лет.  Его  основная  идея  заключается  в  использовании  (в  обратной 

связи) вектора скорости изменения переменных состояния  x  в случае 

описания объекта (11.1) или старшей производной выходной перемен-

ной  для  объектов  (11.14).  Таким  образом,  предлагается  [8]  формиро-

вать алгоритм управления в виде функции  

( , , )

u

u x x v



. 

(11.17) 

Использование в нем вектора скорости (старшей производной) позво-

ляет иметь косвенную оценку правой части дифференциального урав-

нения объекта, т. е. получать текущую информацию о нелинейных ха-

рактеристиках и внешних возмущениях. 

Достаточно простым законом управления типа (11.17) является сле-

дующий: 

( , )

x

u

K F x v

x , 

(11.18) 

где  K  – матрица коэффициентов усиления регулятора. 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

380 

Предварительно  на  примере  систем  первого  порядка  обсудим  воз-

можности алгоритма управления (11.18), а затем рассмотрим процеду-

ру синтеза для одноканальных объектов произвольного порядка. 

11.3.1. ОСНОВНЫЕ  СВОЙСТВА  СИСТЕМ   

ПЕРВОГО  ПОРЯДКА 

Математическая модель объекта первого порядка имеет вид 

1

( , )

( , ) ,

y

f t y

b t y u

y

R



, 

(11.19) 

причем 

max

( )

f

f

, 

max

( )

b

b

 и  ( , )

0

,

[0; )

y

b t y

y

t

. 

Эталонное  уравнение  для  выходной  величины  формируется  на  ос-

нове требований (11.2) и (11.3):  

( , )

y

F y v



. 

(11.20) 

Зададим закон управления 

( , )

u

k F y v

y  

 (11.21) 

и, подставляя (11.21) в (11.19), запишем уравнение замкнутой системы 

( , )

( , )

( , )

y

f t y

b t y k F y v

y



 , 

которое разрешим относительно  y : 

( , )

( , )

( , )

1

( , )

1

( , )

f t y

b t y k

y

F y v

b t y k

b t y k



. 

 (11.22) 

Будем увеличивать коэффициент усиления и в пределе при  k

вместо (11.22) получим 

( , )

y

F y v



. 

Таким образом, соответствующий выбор параметров регулятора по-

зволяет обеспечить в замкнутой системе требуемые свойства (11.20) с 
точностью 

( , )

( , )

1

( , )

f t y

F y v

b t y k

. 

 (11.23)