Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

11.3. Метод локализации 

381 

Отметим, что все нелинейности и действующие на объект внешние 

возмущения,  отраженные  в  функциях  ( , )

f t y   и  ( , )

b t y ,  подавляются 

большим  коэффициентом  k ,  численные  значения  которого  рекомен-

дуется выбирать по соотношению 

min

(20

100)

b

k



. 

(11.24) 

В  этом  случае  точность  обеспечения  требуемых  свойств  (11.23)  

будет составлять  

(0,05

0,01) ( , )

f t y



, 

что соответствует обычной в практике 5%-ной зоне ошибок. 

Полученный  эффект  объясняется  структурной  локализацией  воз-

мущений, что иллюстрирует схема системы, показанная на рис. 11.3. 

(0)

y

v

y

u

F

f

b

k

(0)

y

t

t

y

Рис. 11.3. Структурная иллюстрация метода 

Как  видим,  система  двухконтурная:  внешний  контур  образован 

обычной  обратной  связью  по  выходной  переменной,  а  внутренний  – 

обратной связью по производной. Именно в нем локализовано влияние 

функций  ( , )

f t y

  и  ( , )

b t y

,  которое  подавляется  коэффициентом  уси-

ления  k . 

Отметим,  что  внутренний  контур  является  безынерционным,  так 

как не содержит инерционных звеньев. 

Для  реализации  закона  (11.21)  необходимо  убедиться  в  том,  что 

численные  значения  управления  в  любой  момент  времени  не  будут 

превышать  имеющегося  ресурса  объекта.  С  этой  целью  исследуем 

управляющее  воздействие  в  замкнутой  системе,  подставляя  в  (11.21) 

вместо  y  правую часть уравнения (11.19): 

( )

( )

( )

u

k F

f

b u . 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

382 

После несложных преобразований получим 

( )

( )

1

( )

k

u

F

f

b

k

. 

В  асимптотике  при  k

  управляющее  воздействие  в  замкнутой 

системе принимает вид 

1

( )

( )

( )

u

b

F

f

. 

(11.25) 

Отсюда следуют несколько важных выводов. 
1.  Асимптотическое  управление  (11.25)  совпадает  с  управляющим 

воздействием (11.16), соответствующим точному решению поставлен-
ной  задачи  синтеза.  Следовательно,  основанный  на  методе  локализа-
ции закон (11.21) представляет собой неявную реализацию «точного» 
управления (11.16). 

2.  Управляющее  воздействие  в  замкнутой  системе  остается  конеч-

ным даже при бесконечном коэффициенте усиления. 

3.  Выражение (11.25) позволяет определить максимальное значение 

управления в наихудшей ситуации, когда все функции достигают сво-
их предельных значений 

1

max

min

max

max

u

b

F

f

. 

Больше  этого  значения  управление  в  замкнутой  системе  быть  не 

может. Если выполняется условие 

1

max

min

max

max

u

b

F

f

U , 

 (11.26) 

то в ней можно обеспечить желаемые процессы (11.20). 

11.3.2. ОЦЕНКА  ВЛИЯНИЯ  ПОМЕХ  ИЗМЕРЕНИЯ 

Выходная  переменная  физической  системы  измеряется  датчиком, 

который  всегда  имеет  некоторую  помеху  измерения.  Как  известно, 

дифференцирование  усиливает  влияние  высокочастотных  помех,  по-

этому  в  системах  с  законом  управления  (11.21)  важно  оценить  их 

влияние. 

11.3. Метод локализации 

383 

Полагаем, что выходная переменная датчика имеет вид 

( )

y

y

h t



, 

 (11.27) 

где  ( )

h t  – помеха измерения. 

Закон управления (11.21) в этом случае принимает форму 

( , )

u

k F y v

y



 . 

 (11.28) 

С  учетом  (11.27)  и  (11.19)  запишем  управление  в  замкнутой  

системе 

( )

( )

( )

u

k F

f

b u

h  

или после преобразований 

( )

( )

1

( )

k

u

F

f

h

b k

 . 

 (11.29) 

В пределе при  k

 асимптотическое управление будет следующим: 

1

( )

( )

( )

u

b

F

f

h , 

 (11.30) 

где слагаемое  

1

( )

h

u

b

h  

 (11.31) 

определяет «вклад» помехи в управление. Сравнение (11.25) и (11.30) 

показывает,  что  при  наличии  помехи  измерения  может  требоваться 

больший ресурс управления для объекта, чем без нее. 

Выражение (11.30) следует иметь в виду при выборе датчика. 

11.3.3. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЙ  ФИЛЬТР 

При практической реализации закона управления (11.21) необходи-

мо оценивать производную  y . С этой целью в систему следует доба-
вить специальное устройство, реализованное на интеграторах, которое 

будем называть дифференцирующим фильтром [8]. Он представляет 

собой динамическую систему первого порядка

ˆ

ˆ

y

y

y



 (11.32) 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

384 

или второго 

2

ˆ

ˆ

ˆ

2

y

d y

y

y





, 

(11.33) 

выбираемую в зависимости от частотного состава и уровня помех из-
мерения.  Здесь  ˆy   –  измеренное  значение  выходной  переменной;    – 
малый параметр, отражающий инерционность фильтра. 

Структурная  схема  дифференцирующего  фильтра  второго  порядка 

показана на рис. 11.4. 

2

a

3

a

1

1

x

x

2

a

3

a

x

1

1

x

x

ˆy

ˆy

y

2d 

Рис. 11.4. Структурная интерпретация фильтра  

второго порядка 

Поскольку дифференцирующий фильтр является линейным звеном, 

можно записать его передаточную функцию 

ф

ˆ

1

( )

(

)

y

W

p

y

D

p

,  

 (11.34) 

где  ( )

D

p

  –  характеристический  полином  фильтра,  его  будем  назы-

вать также «фильтрующим» полиномом. 

Покажем,  что  это  устройство  действительно  позволяет  получить 

оценку производной, выражение для которой с учетом (11.34) предста-

вим в виде 

ˆ

(

)

p

y

y

D

p



. 

Так как p есть оператор дифференцирования, то  py

y

 и 

1

ˆ

(

)

y

y

D

p



 . 

11.3. Метод локализации 

385 

При 

0

 получим  ˆy

y



 , т. е. оценка производной совпадает с ее 

точным значением. Таким образом, для реализации закона управления 

(11.21) необходимо использовать дифференцирующий фильтр с малой 

инерционностью.  На  практике  достаточно,  чтобы  инерционность 

фильтра была на порядок меньше, чем основные процессы в системе. 

Заметим,  что  наличие  таких  звеньев  приводит  к  возникновению  в 

системе  разнотемповых  процессов,  причем  для  ее  работоспособности 

быстрые движения должны быть устойчивыми. 

11.3.4. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ ИНЕРЦИОННОСТЕЙ 

С помощью метода разделения движений выделим медленные и быст-

рые процессы в системе с дифференцирующим фильтром (рис. 11.5). 

( )

W

p

ˆx

x

ф

( )

W

p

v

x

u

F

f

b

k

t

t

x

ˆx

x

y 

y 

y

ˆy

W

ф

(p) 

Рис. 11.5. Структурная схема системы с фильтром  

При  использовании  фильтра  первого  порядка  уравнения  замкнутой 
системы имеют вид 

ˆ

( )

( )

( )

,

ˆ

ˆ.

y

f

b k F

y

y

y

y







(11.35) 

Поскольку  первое  уравнение  содержит  производную  в  правой  части, 
необходимо  сначала  представить  описание  в  стандартной  форме.  
С этой целью введем новую переменную 

1

ˆ

(

)

z

y

y