Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

386 

и получим следующую математическую модель системы: 

( )

( )

( )

,

( )

( )

( )

.

y

f

b

k F

z

z

f

b

k F

z

z





(11.36) 

Выделим подсистему быстрых движений 

const,

( )

( )

( )

.

y

z

f

b

k F

z

z



Запишем  характеристическое  уравнение  подсистемы  быстрых  движе-

ний (рис. 11.6) 

1 0

p

bk

. 

ф

ф

( )

W

p

u

F

b

k

€

x&

x&

f

ˆx

ф

(

)

W

p

F 

ˆy

f 

u 

b 

k 

y

Рис. 11.6. Структурная схема контура  

быстрых движений 

В общем случае с учетом  ( )

D

p

 оно принимает вид 

(

)

0

D

p

bk

.  

 (11.37) 

Как видим, контур быстрых движений линейный, поэтому для ана-

лиза  устойчивости  можно  применять  известные  критерии  устойчиво-

сти  (см.  главу  4).  Если  используется  фильтр  первого  или  второго  по-

рядка, то этот контур будет устойчив при любых положительных зна-

чениях  ( )

b

. 

Выделим теперь медленные движения, полагая в (11.36) 

0 , 

( )

( )

( )

,

( )

( )

( )

.

y

f

b

k F

z

f

b

k F

z

z



Так как  ( )

( )

( )

f

b

k F

z

y

, то уравнения подсистемы медленных 

движений можно записать в форме 

11.3. Метод локализации 

387 

( , )

( , )

( , )

y

f t y

b t y k F y v

y



  

или окончательно 

( , )

( , )

( , )

1

( , )

1

( , )

f t y

b t y k

y

F y v

b t y k

b t y k



. 

(11.38) 

Таким  образом,  описание  медленных  процессов  в  системе  (11.38) 

совпадает с уравнением замкнутой системы с точным дифференциро-

ванием  (11.22).  Следовательно,  при  устойчивых  быстрых  движениях 

поведение системы определяют медленные процессы, которые при со-

ответствующем  выборе  коэффициента  регулятора  будут  с  заданной 

точностью  близки  к  желаемому  (11.20).  Расчетная  структурная  схема 

системы с фильтром представлена на рис. 11.7. 

ф

( )

W

p

v

x

u

F

f

b

k

t

t

x

€

x&

x&

y

v 

F 

k 

b 

f 

y 

t 

y 

u 

ˆy

t 

W

ф

(p) 

Рис. 11.7. Расчетная структурная схема системы  

с дифференцирующим фильтром

Отметим,  что  контур  локализации  здесь  инерционный  и  является 

контуром быстрых движений.  

11.3.5. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ   

ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕГО  ФИЛЬТРА 

В  подразд.  11.4.3  мы  показали,  что  при  достаточно  малом    диф-

ференцирующий фильтр позволяет получить оценку производной. Рас-

смотрим теперь работу устройства при наличии помех измерения. По-

скольку наиболее существенное влияние  ( )

h t

 оказывает на управляю-

щее воздействие (см. подразд. 11.4.2), которое является «быстрой» пе-

ременной, исследуем отдельно контур быстрых движений (рис. 11.8). 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

388 

( )

n

H

u

F

b

k

f

1

(

)

D

p

( )

n

y

y

H

Рис. 11.8. Контур быстрых движений  

с учетом помехи измерения 

Так как этот контур линейный и для него справедлив принцип су-

перпозиции, то определим реакцию  u  на воздействие  ( )

h t



: 

ф

ф

(

)

( )

1

(

)

W

p k

u

h t

W

p kb



, 

которую можно представить в виде 

к

(

)

(

)

kp

u

W

p h

h

D

p

kb

, 

(11.39) 

где 

к

(

)

W

p  – передаточная функция контура. 

Рассмотрим теперь влияние полинома 

(

)

D

p

, при этом выделим два варианта. 

1.  В 

случае  дифференцирующего 

фильтра первого порядка  ( )

1

D

p

p

. 

При  этом  асимптотическая  логарифми-

ческая амплитудно-частотная характери-
стика,  соответствующая 

к

(

)

W

p ,  имеет 

вид, показанный на рис. 11.9. 

Как  видим,  высокочастотная  помеха 

будет  проходить  с  постоянным  коэффи-

циентом усиления.  

При использовании фильтра второго порядка  ( )

D p

2

2

2

1

p

d p

соответствующая  асимптотическая  логарифмическая  амплитудно-

частотная характеристика представлена на рис. 11.10. Очевидно, что 

в  этом  случае  высокочастотная  помеха  будет  отфильтровываться 

контуром. 

L, дБ 

lgω 

+ 20, дБ/дек. 

Рис. 11.9. ЛАЧХ контура  

с фильтром первого порядка 

11.3. Метод локализации 

389 

2.  Таким  образом,  порядок 

D(μ

p)  полинома  должен  быть 

выше  порядка  требуемого  диф-

ференцирования  (хотя  бы  на 

единицу).  Только  при  этом  ус-

ловии  в  контуре  быстрых  дви-

жений будет подавляться высо-

кочастотная помеха измерения. 

Выбирать  конкретные  чис-

ленные  значения  параметров 

фильтрующего полинома необходимо с учетом условий разделимости 

движений  в  системе.  На  практике  можно  пользоваться  следующими 

соотношениями: 

*

0,1

,

(0,5

0,7),

T

d



(11.40) 

где 

*

T  – желаемая постоянная времени, 

*

*

3

n

t

T . 

11.3.6. СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 

Обсудим задачу синтеза системы управления на основе метода ло-

кализации  для  объекта,  математическая  модель  которого  имеет  вид 

уравнения произвольного порядка 

( )

(

1)

(

1)

( , ,

,

)

( , ,

,

)

n

n

n

y

f t y

y

b t y

y

u





, 

(11.41) 

где 

max

( )

f

f

, 

max

( )

b

b

 и  ( , )

0

,

[0; )

y

b t y

y

t

. 

Желаемая динамика задается эталонным уравнением n-го порядка 

( )

(

1)

( , ,...,

, )

n

n

y

F y y

y

v



. 

(11.42) 

Закон управления следует формировать в виде 

( )

( )

n

u

k F

y

. 

 (11.43) 

L, дБ 

lg ω 

+ 20 дБ/дек. 

–

20 дБ/дек. 

Рис. 11.10. ЛАЧХ контура с фильтром 

второго порядка 

Глава 11. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

390 

Подставив  (11.43)  в  (11.42),  запишем  уравнение  замкнутой  системы, 
которое разрешим относительно 

( )

n

y

: 

( )

( )

( )

( )

1

( )

1

( )

n

f

b

k

y

F

b

k

b

k

. 

 (11.44) 

Увеличивая коэффициент усиления, в пределе при  k

 получим 

( )

(

1)

( , ,...,

, )

n

n

y

F y y

y

v



.  Следовательно,  и  для  объекта  произволь-

ного порядка соответствующий выбор параметров регулятора позволя-

ет обеспечить в замкнутой системе требуемые процессы (11.42) с точ-

ностью (11.23). 

Аналогично  случаю,  рассмотренному  в  подразд.  11.3.1,  численные 

значения  коэффициента  k   рекомендуется  выбирать  по  соотношению 

(11.24), т. е. 

min

(20

100)

b

k



. 

Управляющее воздействие в замкнутой системе остается конечным 

даже при бесконечном коэффициенте усиления, его максимальное зна-

чение определяется соотношением (11.26) и не должно превышать ре-

сурса  управления  объекта.  При  действии  помехи  измерения  асимпто-

тическое управление имеет вид 

1

( )

( )

( )

( )

( )

n

u

b

F

f

h

t

. 

(11.45) 

Как видим, здесь присутствует  n-я производная помехи, т. е. ее влия-

ние  усиливается  еще  больше,  чем  в  системах  первого  порядка.  Оче-

видно,  что  в  систему  нужно  добавить  дифференцирующий  фильтр  с 

порядком фильтрующего полинома выше порядка требуемого диффе-

ренцирования (рис. 11.11). 

1

p

1

d

n

d

1

p

1

l

d

1

p

( )

ˆ

n

n

x

(

1) ( )

ˆ

n

n

x

ˆx

ˆx

x

1

p

1

d

n

d

1

p

1

l

d

1

p

( )

ˆ

n

n

x

(

1) ( )

ˆ

n

n

x

ˆx

ˆx

( )

ˆ

n

n

y

1 (

1)

ˆ

n

n

y

ˆy  

ˆy  

n

d

1

n

d

1

d

y  

Рис. 11.11. Структурная схема фильтра произвольного порядка