Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

12.3. Типовые модели экстремальной характеристики объекта 

401 

       Y 

y 

Рис. 12.4. Экстремальная харак- 

теристика типа «модуль» 

Y 

y 

Рис. 12.5. Экстремальная харак-

теристика типа «парабола» 

В  общем  случае  уравнение  экстремальной  характеристики  типа 

«парабола» будет 

2

1

0

0

( )

( )

( )

Y

k t y y t

Y t , 

 (12.3) 

где k

1

(t)  также  отражает  наклон  ветвей  параболы;  y

0

(t)  –  горизонталь-

ный дрейф экстремальной характеристики; Y

0

(t) – вертикальный дрейф 

экстремума. 

3.  Экстремальная  характеристика  типа  «парабола  n-го  порядка» 

описывается уравнением 

1

1

0

2

0

0

0

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ),

n

n

n

Y

k t y

y t

k t y

y t

k t y

y t

Y t





где k

i

(t) – коэффициенты, которые отражают наклон ветвей параболы, 

1,

i

n ;  y

0

(t)  –  горизонтальный  дрейф  экстремальной  характеристики; 

Y

0

(t) – вертикальный дрейф экстремума. 

4.  Матричное описание экстремальной характеристики: 

T

Y

y D t y . 

(12.4) 

Зависимость  элементов  матрицы  D(t)  отражает  изменение  во  вре-

мени параметров экстремальной характеристики. 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

402 

12.4. УСЛОВИЕ  ЭКСТРЕМУМА 

Рассмотрим экстремальную характеристику произвольного вида 

1

( ),

,

n

Y

Y y

Y

R

y

R , 

 (12.5) 

полагая для простоты, что отсутствует дрейф экстремума. 

Как  известно,  необходимым  условием  экстремума  является  равен-

ство нулю градиента, полученного для этой характеристики [37], т. е. 

выполнение условия 

0

G

, 

(12.6) 

где 

1

m

Y

y

G

Y

y



  –  градиент  (вектор  частных  производных)  выходной 

переменной объекта. 

Для того чтобы определить тип экстремума характеристики (12.5), 

можно задать небольшие приращения по переменным  y  относительно 
значения 

0

y  в виде 

0

y

y  и исследовать полученные значения выхо-

да Y. В случае, когда справедливы соотношения 

0

0

0

0

0

0

(

)

( ) ,

(

)

(

),

Y y

y

Y y

Y y

y

Y y

(12.7) 

Y

0

 представляет собой точку минимума. 

Если значения выхода Y при небольших отклонениях от Y

0 

удовле-

творяют условиям 

0

0

0

0

0

0

(

)

(

),

(

)

(

),

Y y

y

Y y

Y y

y

Y y

(12.8) 

то Y

0

 соответствует точке максимума характеристики (12.5). 

12.5. Постановка задачи синтеза экстремальных систем 

403 

12.5. ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ  СИНТЕЗА  

ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ 

Цель экстремального управления состоит в обеспечении минимума 

или  максимума  заданной  функции  качества  Y(t,y)  при  недостаточной 

априорной информации об объекте. 

Задача  синтеза  экстремальной  системы  заключается  в  отыскании 

для объекта типа (12.1) такого управляющего воздействия  u( ), кото-

рое  позволяло  бы  автоматически  определить положение экстремума 

и  удерживать  в  нем  систему.  Формально  это  означает  выполнение 

условия 

0

extr ( , )

y

Y t y

Y , 

(12.9) 

где 

0

Y  – экстремальное значение выходной характеристики.  

Поскольку экстремальному значению 

0

Y   соответствует  определен-

ное значение 

0

y ,  задачу  синтеза  можно  переформулировать.  Для  экс-

тремального объекта (12.1) необходимо определить управляющее воз-
действие u( ), которое обеспечит выполнение свойства 

0

lim ( )

t

y t

y . 

(12.10) 

Как видим, задача синтеза экстремальной системы сводится к зада-

че стабилизации в точке экстремума 

0

y , а для контроля за достижени-

ем этой точки следует использовать условия (12.6) – (12.8). 

Таким  образом,  при  синтезе  экстремальных  систем  от  алгоритма 

управления требуются организация движения в точку экстремума, если 

градиент  выходной  характеристики  G  не  равен  нулю,  и  удержание 

объекта в точке экстремума, если он равен нулю.  

Анализ  задачи  синтеза  экстремальных  систем  управления  показы-

вает,  что  в  ней  можно  выделить  три  относительно  самостоятельные 

подзадачи: 

•  задача оценки градиента; 

•  организация движения системы к точке экстремума в соответст-

вии с условием 

0

G

; 

•  стабилизация системы в точке экстремума. 
 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

404 

12.6. СПОСОБЫ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА 

Задача  непрерывной  оценки  градиента  представляет  собой  само-

стоятельную и очень непростую техническую проблему. К настоящему 
времени разработаны различные способы оценки  градиента [1, 6, 19,  
32, 37, 40, 44]. Обсудим некоторые из них. 

12.6.1. СПОСОБ  ДЕЛЕНИЯ  ПРОИЗВОДНЫХ 

Рассмотрим суть данного способа на примере одноканальных объ-

ектов со статической экстремальной характеристикой  

1

( , ),

Y

Y y t

y

R . 

(12.11) 

Определим  полную  производную  выходной  переменной  по  

времени 

Y

Y

Y

y

y

t





. 

(12.12) 

Второе слагаемое в выражении (12.12) обусловлено наличием дрейфа. 
При медленном дрейфе экстремальной характеристики им можно пре-
небречь, так как 

0

Y

t  . В этом случае из выражения (12.12) можно 

определить  величину  градиента  как  отношение  двух  полных  произ-
водных по времени: 

Y

Y

G

y

y





. 

(12.13) 

Структурная  схема  устройства,  реализующего  оценку  градиента 

способом деления производных, представлена на рис. 12.6. 

Поскольку  операция  дифференцирования  на  практике  очень  кри-

тична  к  помехам,  для  оценки  производных  следует  использовать 
дифференцирующие  фильтры  ДФ  (на  рис.  12.6  они  показаны  пунк-
тиром). 

Достоинством  данного  способа  является  простота  технической 

реализации. 

12.6. Способы оценки градиента 

405 

d

dt

d

dt

y

y 

G 

Y

Y 

ДФ 

ДФ 

Рис. 12.6. Структурная схема устройства оценки  

градиента способом деления производных 

 
Недостатки  –  сложность  оценки  градиента  при  малых  значениях 

y

 (как следует из выражения (12.13)) и соответственно слабая помехо-

защищенность.  Для  уменьшения  влияния  помехи  рекомендуется  
использовать  дифференцирующие  фильтры  выше  первого  порядка  
(см. главу 11). 

12.6.2. СПОСОБ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 

Данный  способ  оценки  градиента  рассмотрим  также  для  однока-

нальных  объектов  со  статической  экстремальной  характеристикой 
(12.11). При этом в отличие от предыдущего способа производные Y  и 

y

 приближенно заменяются конечными разностями 

( )

(

1)

,

( )

(

1)

,

dy

y

y k

y k

y

dt

t

T

dY

Y

Y k

Y k

Y

dt

t

T





где k – дискретный момент времени; T – шаг квантования (дискретиза-

ции) по времени.