Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

12.6. Способы оценки градиента 

411 

2

2

0

1 cos 2

2

t

z

GA

d t . 

Полученное выражение преобразуем к виду 

2

2

2

2

0

0

cos 2

2

2

GA

GA

z

d t

td t . 

 (12.26) 

Поскольку интеграл  cos 2 t  на периоде равен нулю, на выходе фильт-
ра получим сигнал, пропорциональный градиенту 

2

z

A G . 

(12.27) 

Метод  синхронного  детектирования  работает  устойчиво,  хорошо 

защищен  от  помех  и  часто  применяется  в  реальных  системах  поиска 

экстремума. 

Аналогичный подход можно использовать и для оценки градиента в 

многоканальных системах. С этой целью к каждому значению выход-
ной переменной динамической части объекта 

(

1, )

i

y

i

m  добавляет-

ся  свой  поисковый  сигнал  определенной  частоты  и  амплитуды 
(

,

i

i

A ).  В  систему  необходимо  добавить  соответствующее  число по-

лосовых  фильтров,  каждый  из  которых  будет  выделять  свою  состав-

ляющую  выходного  сигнала 

Y

.  Наличие  m  усредняющих  фильтров 

позволяет получить отдельные компоненты вектора  G . 

12.6.5. ОЦЕНКА ГРАДИЕНТА  

С ПОМОЩЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ФИЛЬТРА 

Оригинальный способ оценки градиента разработан на кафедре ав-

томатики НГТУ (рис. 12.12). 

Покажем,  что  данное  устройство  действительно  позволяет  оцени-

вать  частную  производную.  С  этой  целью  для  промежуточной  пере-

менной z запишем соотношение  

1

ˆ

(

)

z

Y

Y

T

, 

(12.28) 

где  ˆ

Y   –  оценка  выходной  переменной  экстремального  объекта;  

T – постоянная времени фильтра.  

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

412 

ДФ 

p 

G 

y 

Y 

z 

y

ˆ

Y



ˆ

Y

1

p

1

T

p

y

y

ˆ

Y



Рис. 12.12. Структурная схема фильтра оценки градиента 

Дифференцируя по времени соотношение (12.28), получим уравне-

ние динамики фильтра оценки градиента относительно переменной  z: 

1

ˆ

z

Y

Y

T







. 

(12.29) 

Учитывая, что  ˆ

Y

zy



 , представим (12.29) в виде 

Tz

Y

zy







. 

(12.30) 

При достаточно малом значении постоянной времени (

0

T

) уравне-

ние (12.30) вырождается в соотношение 

,

Y

zy



  

(12.31) 

из которого следует 

Y

Y

z

G

y

y





. 

(12.32) 

Таким образом, предложенное устройство действительно позволяет 

оценивать  частную  производную,  причем  точность  оценки  будет  тем 

выше, чем меньше параметр T. 

На  практике  необходимую  для  оценки  градиента  производную  y  

рекомендуется  определять  с  помощью  дифференцирующего  фильтра 

(на  рис.  12.12  показан  пунктиром),  имеющего  малую  постоянную  

времени. 

12.7. Организация движения к экстремуму 

413 

12.7. ОРГАНИЗАЦИЯ  ДВИЖЕНИЯ  

К  ЭКСТРЕМУМУ 

Организация движения к экстремуму в автоматической системе ос-

нована  на  контроле  градиента  и использовании его в законе управле-

ния.  Такие  системы  называются  градиентными  экстремальными  сис-

темами  (рис.  12.13).  Существующие  способы  их  построения  исполь-

зуют  как  оценку  значения  градиента  (системы  с  управлением  по  гра-

диенту)  [32,  37],  так  и  оценку  знака  компонент градиента (системы с 

запоминанием экстремума, отдельные типы шаговых систем). 

y 

Y 

Динамическая 

часть 

Регулятор 

Блок оценки 

градиента 

u 

G 

Рис. 12.13. Обобщенная функциональная схема градиентной  

экстремальной системы 

12.7.1. ГРАДИЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 

Рассмотрим  организацию  движения к экстремуму на примере про-

стейшего  объекта  управления,  который  описывается  следующей  сис-

темой уравнений: 

,

,

( ).

x

u

y

x

Y

Y y



 (12.33) 

Сформируем  пропорциональный  градиенту  закон  управления  в 

виде 

( , )

u

kG y t

. 

 (12.34) 

Подставив (12.34) в уравнение объекта (12.33), получим уравнение 

замкнутой системы 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

414 

( , )

y

kG y t



, 

 (12.35) 

которое  представляет  собой  нелинейное  дифференциальное  уравнение 

относительно переменной y. Полагая 

0

y

, запишем уравнение статики 

( , )

0

kG y t

, 

(12.36) 

где зависимость G от t параметрическая. Поскольку 

0

k

, из выраже-

ния (12.36) следует 

( , )

0

G y t

. 

(12.37) 

Таким образом, в случае устойчивости замкнутой системы процес-

сы в ней будут сходиться к точке равновесия, которая является точкой 

экстремума.  Устойчивость  движения  в  замкнутой  системе  можно 

обеспечить  соответствующим  выбором  коэффициента  усиления  k , 
при этом выход на экстремум происходит автоматически. В некоторых 

случаях  с  помощью  коэффициента  k   кроме  устойчивости  можно 
обеспечить определенную длительность переходного процесса в замк-

нутой системе, т. е. заданное время выхода на экстремум. 

ПРИМЕР  12.1 

Для объекта, математическая модель которого имеет вид 

2

2 ,

,

y

u

Y

y



необходимо обеспечить выход на экстремум за заданное время 

3

n

t

с. 

В соответствии с (12.34) сформируем управление  

( )

u

kG y . 

Так  как  известна  модель  статической  экстремальной  характеристики, 

градиент можно определить аналитически, т. е. 

2

Y

G

y

y

, 

и организовать алгоритм управления  

2

u

ky . 

В этом случае получим уравнение замкнутой системы 

4

y

ky



. 

12.7. Организация движения к экстремуму 

415 

Как  видим,  она  имеет  первый  порядок,  и  для  ее  устойчивости  корень 

характеристического  уравнения 

1

4

p

k   должен  быть  отрицательным. 

Следовательно, необходимо выбирать коэффициент 

0

k

. 

Численное значение  k определим, используя корневые оценки переходного 
процесса. Так как 

3

n

t

, то получим 

0, 25

k

. Если выбрать 

0, 3

k

, 

то  алгоритм управления,  обеспечивающий выполнение  заданных требова-

ний, примет вид 

0,3

u

G

. 

y 

Y   

Блок оценки 

градиента 

u 

G 

k 

b 

1 

p 

Рис. 12.14. Структурная схема системы для примера 12.1

Структурная схема системы с рассчитанным законом управления пред-

ставлена на рис. 12.14. 

12.7.2. МЕТОД  «ТЯЖЕЛОГО  ШАРИКА» 

Рассмотренный в разд. 12.7.1 метод позволяет автоматически найти 

экстремум,  в  окрестности  которого  заданы  начальные  условия.  Если 

экстремальная характеристика помимо глобального имеет также и не-

сколько  локальных  экстремумов,  то  система  может  «остановиться»  в 

любом из них. 

По  аналогии  с  тяжелым  шариком,  который  скатывается  в  овраг, 

проскакивая локальные экстремумы, данный метод предполагает вве-

дение  в  систему  дополнительной  инерционности  для  придания  про-

цессам свойства «проскакивать» точки локальных экстремумов. 

Будем  рассматривать  объект,  поведение  которого  описывают 

уравнения  (12.33).  Чтобы  обеспечить  колебательные  переходные 

процессы в системе, добавим в обратную связь апериодическое звено 

с постоянной времени  T, которую и определим в результате синтеза 

(рис. 12.15).