Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

406 

В основе способа лежит соотношение 

( )

(1)

( )

(

1)

Y

Y

Y k

Yk

G

y

y

y k

y k

. 

(12.14) 

Структурная  схема  устройства,  реализующего  дискретную  оценку 

градиента,  показана  на  рис.  12.7,  на  котором  z

–1

  –  звено  задержки  на 

один шаг квантования. 

y

Y

G

Y k

( )

Y k–

(

1)

y k–

(

1)

y k

( )

y

Y

KT

KT

ЭХ

z

–1

–

–

z

–1

kT 

kT 

Рис. 12.7. Структурная схема устройства оценки  

градиента способом конечных разностей 

Достоинство данного метода заключается в высокой помехозащи-

щенности,  так  как  фильтрующие  свойства  обусловлены  усреднением 

переменных на интервале дискретизации.

12.6.3. ОЦЕНКА  ЗНАКА  ГРАДИЕНТА 

В некоторых случаях для организации движения к экстремуму дос-

таточно  оценивать  только  знак  градиента,  т.  е.  определять  функцию 

sgn G

, которую можно представить следующим образом: 

sgn

G

G

G

, 

(12.15) 

12.6. Способы оценки градиента 

407 

или после несложных преобразований 

sgn

sgn

sgn

Y

Y

Y

Y

Y

y

y

G

y

Y

y

Y

y

y

y

. 

 (12.16) 

Предполагая, что шаг квантования Т достаточно мал, заменим в вы-

ражении (12.16) дифференциалы конечными разностями 

( )

(

1),

(

1).

Y

Y

Y k

Y k

y

y

y k

y k

Это позволяет представить соотношение (12.16) в виде 

sgn

sgn

sgn

sgn

sgn

Y

G

Y

y

y

, 

 (12.17) 

которое  и  используется  для  оценки  знака  градиента  как  аппаратным, 

так и программным способом. 

12.6.4. СПОСОБ СИНХРОННОГО ДЕТЕКТИРОВАНИЯ 

В  основе  этого  способа  лежит  идея  синхронного  детектора,  кото-

рый  используется  в  радиотехнике  для  выделения  на  фоне  основного 

сигнала дополнительной составляющей [22]. 

Способ  синхронного  детектирования  (рис.  12.8)  предполагает  до-

бавление к основному сигналу на входе экстремальной характеристики 
y дополнительного поискового синусоидального сигнала малой ампли-

туды и высокой частоты 

sin

y

A

t

с последующим выделением со-

ответствующей составляющей из выходного сигнала Y. 

На  рис.  12.8  ГСК  –  генератор  синусоидальных  колебаний;  ФЧУ  – 

фазочувствительное устройство; Ф – усредняющий фильтр. 

Сравнение  фаз входного и выходного периодических сигналов по-

зволяет  сделать  вывод  о  том,  движется  ли  система  к  экстремуму  или 

удаляется  от  него,  т.  е.  получить  оценку  знака градиента. Введение в 

систему  специального  усредняющего  фильтра  дает  возможность  оце-

нить и его значения. 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

408 

y 

z   G 

Y 

 ГСК 

 ФЧУ 

Ф 

Asin( t) 

Рис. 12.8  Схема оценки градиента способом  

синхронного детектирования 

Работу способа синхронного детектирования иллюстрирует рис. 12.9.  
Наличие колебаний на входе приводит к появлению колебаний та-

кой же частоты на выходе, причем при прохождении экстремума коле-
бания на выходе изменяют фазу на 180º. 

y

0

y

 Y
 Y

0

t

t

t

t

Y

0 

y

0 

y

Y

t

t

Рис. 12.9. Диаграмма, иллюстрирующая из-
менение  фазы  периодического  поискового  
     сигнала при переходе через экстремум

12.6. Способы оценки градиента 

409 

Для сравнения сигналов со входа и выхода экстремального объекта 

используется специальное фазочувствительное устройство. Если вход-

ной  и  выходной сигналы имеют одну и ту же фазу, то на его выходе 

появляется положительный сигнал, в противном случае – отрицатель-

ный.  Этот  сигнал,  пройдя  через  специальный  усредняющий  фильтр, 

будет пропорционален частной производной G. 

В  качестве  ФЧУ  может  быть  использован  блок  умножения,  имею-

щий два входа (рис. 12.10). 

t 

Y 

y 

t 

Входной и выходной поисковый сигналы в фазе 

Y 

y 

t 

t 

t 

t 

Входной и выходной поисковый сигналы в 

противофазе 

а 

б 

а 

б 

y 

Y 

Y 

y 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

Y 

y 

t 

Входной и выходной поисковый сигналы в фазе 

Y 

y 

t 

t 

t 

t 

Входной и выходной поисковый сигналы в 

противофазе 

а 

б 

а 

б 

y 

Y 

t 

t 

t 

t 

t 

t 

Рис. 12.10. Графики, иллюстрирующие работу 

ФЧУ на базе блока умножения: 

а – входной и выходной поисковый сигналы в фазе;  

б – в противофазе  

Покажем  теперь  аналитически,  что 

способ синхронного детектирования по-

зволяет  получить  оценку  частной  про-

изводной. 

При  малой  амплитуде  поискового 

сигнала  можно  считать,  что  статиче-

ская  экстремальная  характеристика  в 
малой  окрестности  рабочей  точки 

*

y  

линейна  (рис.  12.11),  поэтому  заменим 

ее  касательной.  В  этом  случае  уравне-

ние  статической  экстремальной  харак-

теристики принимает вид 

Y

*

Y 

y

*

y 

Y 

y

*

y

*

y 

Рис. 12.11. Линеаризация ста-

тической  экстремальной  ха-

рактеристики в рабочей точке 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

410 

(

)

Y

Y

k y

y

, 

(12.18) 

где k – тангенс угла наклона касательной, который определяется соот-

ношением 

Y

k

y

. 

(12.19) 

Таким образом, k  =  G. В дальнейшем используем это обозначение. 

Сигнал на входе экстремального объекта представляет собой сумму 

sin

y

y

A

t

. 

(12.20) 

Для  простоты  будем  полагать,  что  y   =    0  (преобразования  не  изме-
нятся  и  в  общем  случае,  но  станут  более  громоздкими).  Выражение 

(12.18) с учетом (12.19) и (12.20) принимает вид 

sin

Y

Y

GA

t . 

  (12.21) 

Запишем теперь выражение для сигнала на выходе ФЧУ: 

sin

YA

t

(12.22) 

или с учетом (12.21) 

2

2

sin

sin

Y A

t

GA

t . 

(12.23) 

Так как усредняющий фильтр усредняет сигналы на периоде, то на 

его выходе получим 

2

2

2

2

0

0

sin

sin

z

t d t

Y A

t

GA

t d t . 

(12.24) 

Представив  в  (12.24)  интеграл  суммы  в  виде  суммы  интегралов,  запи-

шем 

2

2

2

2

0

0

sin

sin

z

Y A

td t

GA

td t . 

(12.25) 

Первый интеграл в выражении (12.25) на периоде будет равен нулю, а 
во втором 

2

sin

t  выразим через косинус двойного угла: