Файл: Г.М. Гринфельд лекции по курсу дискретные системы автоматического управления.doc

Пусть, тогда величины дискрет: и т. д. На рис. 22 приведен график решетчатой функциии возможный вид графика функции(штриховая линия).

Рис.22. Переходная функция к примеру 17

3. Анализ устойчивости и точности

ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

3.1 Прямой метод оценки устойчивости.

Устойчивость замкнутой линейной системы зависит от расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р. Условие устойчивости заключается в том, что все корни должны находиться в левой полуплоскости. Так как дискретные системы с АИМ иявляются линейными, указанное условие распространяется на них.

Каждому корню на плоскостирсогласно (13) соответствует кореньна плоскостиz. Очевидно, что любой изр-корней, лежащий на мнимой оси, определяетz-корень, для которого

и который, следовательно, расположен на единичной окружности, проведенной из начала координат комплексной плоскости z.Всем корнямс отрицательными вещественными частями соответствуютz-корни, у которых. Если же вещественная часть корняположительна, то. Таким образом, замкнутая линейная дискретная система устойчива, если всеz-корни ее характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

Пример 18. Необходимо оценить устойчивость замкнутой дискретной системы, структурная схема которой приведена на рис. 23. Передаточные функции в непрерывной части системы равны:

;.

Величины интервала квантования: Передаточная функция замкнутой системы:

.

Полюса полученной передаточной функции (корни характеристического уравнения) . Величина модуля комплексно-сопряженных корней:

.

Так как все три корня находятся внутри единичного круга, можно сделать заключение, что система устойчива.

Рис.23. Структура дискретной САУ к примеру 18

Для дискретных систем, порядок характеристического уравнения превышает третий, определение корней этих уравнений представляет собой достаточно трудную задачу. Это обуславливает широкое применение косвенных методов оценки устойчивости (критериев устойчивости), не предполагающих вычисление корней характеристического уравнения.

3.2 Критерий устойчивости Шур-Кона.

Алгебраический критерий устойчивости Шур-Кона позволяет анализировать устойчивость замкнутых дискретных САУ по их характеристическому уравнению, записанному в z-изображениях:

.

Для оценки устойчивости системы определяются знаки у kопределителейразмерностью, гдеiнеобходимо изменять от 1 доk.

Каждый из этих определителей состоит из четырех подопределителей размерностью , которые заполняются коэффициентами характеристического уравнения по следующим правилам. Элементы главных диагоналей первого и четвертого подопределителей равны коэффициенту, а второго и третьего – коэффициенту.Далее каждый из подопределителей удобно заполнять по столбцам сверху вниз. При этом индексы в первом и втором подопределителях возрастают, а в третьем и четвертом - убывают. Когда значение индекса устойчивости дискретной САУ элемента достигаетk, дальнейшее заполнение столбца производится нулями.

III

IIIIV

Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы определители при четномi были положительны, а при нечетномi – отрицательны. При первом же нарушении указанного правила, выявленном в процессе измененияi от 0 доk, можно сделать заключение о неустойчивости системы.

Пример 19. Необходимо оценить устойчивость замкнутой дискретной САУ, рассмотренной в предыдущем примере.

Ее характеристическое уравнение:

.

При i=1:

Поскольку сформулированные выше условия на первом этапе оценки устойчивости не нарушены, необходимо перейти к составлению и вычислению определителя, соответствующего i=2:

Как и следовало ожидать, повторная проверка устойчивости данной системы дает тот же результат – система устойчива. Очевидно, что для этой системы проще оценивать устойчивость по расположению корней характеристического уравнения. Но для систем более высокого порядка использование критерия Шур-Кона может быть эффективным, поскольку задача составления определителей при их кажущейся громозкости легко формализуется и решается с использованием ЭВМ.

3.3 Критерий устойчивости, использующий билинейное преобразование.

Билинейное преобразование: и(32)

переводит точки единичной окружности на плоскости zв точки, лежащие на мнимой оси плоскостиw, и наоборот. Любой точке, распложенной внутри этой окружности, согласно (32) соответствует точка левой полуплоскостиw, а точки, находящиеся вне окружности, отображаются в точки, принадлежащие правой полуплоскостиw.

Следовательно, условие устойчивости дискретной САУ, связанное с принадлежностью z-корней характеристического уравненияединичному кругу, равносильно условию принадлежности левойw-полуплоскости корней уравнения, полученного из исходного уравнения путем билинейного преобразования (32). Решение такой задачи может быть осуществлено с использованием известных критериев, разработанных для оценки устойчивости непрерывных систем, например критериев Рауса или Гурвица.

Пример 20. Необходимо оценить устойчивость замкнутой дискретной системы второго порядка, характеристическое уравнение которой в общем случае записывается в виде:

Используя билинейное преобразование (32), осуществляем переход к переменной w:

.

Согласно критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САУ является положительность коэффициентов ее характеристического уравнения. Следовательно, условие устойчивости рассматриваемой дискретной системы:

3.4. Абсолютно устойчивые системы.

Дискретные системы с конечным временем регулирования.

Если передаточная функция замкнутой устойчивой дискретной системы описывается дробно-рациональным выражением