Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

Таким образом, нелинейная зависимость выходной величины от входной в нелинейном элементе приближенно заменяется линейной зависимостью, описываемой выражением (8.21).

Выполнив в выражении (8.21) преобразование Лапласа, получим:

Как и для непрерывных звеньев введем в рассмотрение передаточную функцию нелинейного гармонически линеаризованного элемента, как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:

. (8.22)

Таблица 8.1

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей

Статическая характеристика нелинейного элемента
Линейная характеристика с зоной нечувствительности		0
Линейная характеристика с ограничением		0
Линейная характеристика с зоной нечувствительности и ограничением		0
Характеристика «люфт»
Идеальная релейная характеристика		0
Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности		0
Неоднозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности
Кубическая парабола:		0
Характеристика «петля гистерезиса»

Передаточная функция нелинейного элемента имеет существенное отличие от передаточной функции линейной системы, заключающееся в том, чтозависит от амплитуды и частоты входного сигнала.

Выражение (8.22) запишем в виде:

q(A) + q₁(A), (8.23)

где q(A), q₁(A) – коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые как отношения коэффициентов ряда Фурье для первой гармоники выходных колебаний к амплитуде входных колебаний:

q(A) =q₁(A) =. (8.24)

Заменяя в выражении (8.23) р на , получим выражение длякомплексного коэффициента передачи нелинейного элемента:

q(A) +j q₁(A), (8.25)

являющегося аналогом АФХ для линейного звена.

В качестве примера определим выражение для комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента с релейной статической характеристикой (8.14). Коэффициенты ряда Фурье A₁и B₁ для указанной нелинейности равны:

;

B₁ .

Очевидно, что коэффициент B₁будет равен нулю для любого нелинейного элемента с нечетно-симметричной статической нелинейностью.

Тогда, согласно выражениям (8.24) и (8.25) получим:

q(A) =;q₁(A) = 0 и W(A) = .

Значения коэффициентов гармонической линеаризации для нескольких типовых нелинейностей приведены в таблице 8.1.

8.5. Методы определения параметров автоколебаний

Если в замкнутой нелинейной системе САУ возникают автоколебания с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Незатухающие колебания в замкнутых системах возникают в том случае, когда характеристическое уравнение системы содержит пару мнимых сопряженных корней.

Характеристический полином замкнутой системы (рис.8.1) при осуществлении гармонической линеаризации входящего в нее нелинейного звена запишем в виде:

, (8.26)

где —передаточная функция линейной части системы; —передаточная функция нелинейного элемента после его линеаризации.

Если , то выражение (8.26) можно записать в виде:

. (8.27)

Заменяя в выражении (8.27) р на , получим комплексное выражение, в котором необходимо выделить вещественнуюи мнимую части:

[ q(A) +j q₁(A)] . (8.28)

При этом условие возникновения периодических колебаний в системе с частотой и амплитудойзапишем:

(8.29)

Если решения системы (8.29) комплексные или отрицательные, режим автоколебаний в системе невозможен. Наличие положительных вещественных решений для исвидетельствует о наличии в системе автоколебаний, которые необходимо проверить на устойчивость.

В качестве примера найдем условия возникновения автоколебаний в САУ, если передаточная функция ее линейной части равна:

(8.30)

и нелинейным элементом типа «петля гистерезиса».

Передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного элемента (см. табл. 8.1) имеет вид:

. (8.31)

Подставляя выражения (8.30) и (8.31) в выражение (8.26) и заменяя р на , найдем выражение для:

Отсюда в соответствии с выражением (8.29) получаем следующие условия возникновения автоколебаний в системе:

Решение системы уравнений (8.29) обычно затруднительно, так как коэффициенты гармонической линеаризации имеют сложную зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того, помимо определения амплитуды и частоты, необходимо оценить устойчивость автоколебаний в системе.

Условия возникновения автоколебаний в нелинейной системе и параметры предельных циклов можно исследовать, используя частотные критерии устойчивости, например, критерий устойчивости Найквиста. Согласно этому критерию при наличии автоколебаний амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой гармонически линеаризованной системы, равная