Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

(8.10)

Наиболее просто выводится уравнение фазовой траектории для второй зоны (при ). Так каки, то дифференциальное уравне­ние для этой зоны можно записать следующим образом:

или .

Разделив последнее выражение на равенство , получим:

или .

Интегрируя последнее уравнение, находим:

, (8.11)

где – постоянная интегрирования.

При различных значениях на участке –а < х < а фазовый портрет системы представляет собой семейство параллельных прямых, угол наклона которых к оси абсцисс определяется величиной постоянной времени .

В первой зоне (при ) дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид:

.

С учетом порядок этого дифференциального уравнения может быть понижен:

или .

Разделив последнее уравнение на , получим:

или .

Проинтегрировав это уравнение, получим:

. (8.12)

Постоянная интегрированияможет быть найдена из начальных условий:

,

где () – координаты точки, с которой начинается построение фазовой траектории:

.

Подставляя в выражение (8.12) различные сочетания значений начальных условий , полу­чим семейство фазовых траекторий для диапазона значений регу­лируемой величины .

Семейство фазовых траекторий для диапазона третьей зоны () получим из уравнения (8.12), заменив в нем величину M на –M :

. (8.13)

Для рассматриваемой системы все фазовые траектории, описываемые выражениями (8.12) – (8.13), имеют вид логарифмических спиралей, сходящихся к началу координат.

Полная фазовая картина процесса автоматического регулирова­ния нелинейной системы, динамические свойства которой определяются дифференциальными уравнениями (8.10), имеет вид, представленный на рис. 8.14. Для других систем вид фазовых траекторий может быть иным. Например, на рис. 8.15 изображе­на фазовая картина для нелинейной системы с той же передаточной функцией линейной части, что и в предыдущем примере, но для случая, когда включенный в систему релейный элемент не имеет зоны нечувствительности, т.е.

(8.14)

Далеко не всегда при исследовании системы на фазовой плоскости удается получить аналитическое выражение для фазовых траекторий. В то же время для любой системы, линейная часть которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка, можно записать следующее уравнение:

которое может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(8.15)

Разделив первое уравнение системы (8.15) на второе, получим уравнение фазовой траектории в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:

. (8.16)

Построение фазовых траекторий в общем случае не требует решения этого уравнения и может быть выполнено методом изоклин. С этой целью на фазовой плоскости строят семейство изоклин-линий, соответствующих алгебраическому уравнению

, (8.17)

где – постоянная величина, для которой задается ряд произвольных значений от –до +.

Каждому значению Ссоответствует своя изоклина. Как следует из выражения (8.17) для каждой изоклины выполняется равенство:

,

т.е. изоклина представляет собой геометрическое место точек, в которых наклон фазовой траектории постоянен.

На рис 8.16 иллюстрируется методика построения фазовой траектории по нанесенному на плоскость семейству изоклин. На каждой изоклине стрелкой указан наклон (направление касательной), соответствующий значению. Из произвольно выбранной начальной точки с координатами (), находящейся на изоклине, проводятся два луча с наклонами, соответствующими значениями. Затем до пересечения со следующей изоклинойпроводится биссектриса угла, образованного указанными лучами. Точка пересечения с координатами () – очередная точка фазовой траектории, из которой осуществляются аналогичные построения.

По фазовой картине САУ можно судить об устойчи­вости системы и характере переходных процессов ней.

8.3. Метод гармонической линеаризации нелинейных звеньев

При подаче на вход линейной системы гармонического сигнала

(8.18)

на выходе системы также устанавливается гармонический сигнал, но с другой амплитудой и смещенный по фазе по отношению к входному. Если же синусоидальный сигнал подать на вход нелинейного элемента, то на его выходе формируются периодические колебания, но по форме существенно отличающиеся от синусоидальных. В качестве при­мера на рис. 8.17 показан характер изменения выходной переменной нелинейного элемента с релейной ха­рактеристикой (8.14) при поступлении на его вход синусоидальных колебаний (8.18).

Разлагая периодический сигнал на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье, представляем в виде суммы постоянной составляющей и бесконечного множества гармонических составляющих:

, (8.19)

где – постоянные коэффи­циенты ряда Фурье; – частота колебаний пер­вой гармоники (основная частота), равная частоте вход­ных синусоидальных колебаний;Т – период колебания первой гармоники, равный периоду входных синусоидальных колебаний.

Выходной сигнал нелинейного элемента поступает на вход линейной части САУ (см. рис. 8.1), которая, как правило, обладает существенной инерционностью. При этом высокочастотные составляющие сигнала (8.19) практически не проходят на выход системы, т.е. линейная часть является фильтром по отношению к высокочастотным гармоническим состав­ляющим. В связи с этим, а также учитывая, что ампли­туды гармонических составляющих в уменьшаются с ростом часто­ты гармоники, для приближенной оценки выходной величины нелинейного элемента, в большом числе случаев достаточно учитывать только первую гармониче­скую составляющую в.