Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

Для нормальной работы САУ необходимо, что­бы запас устойчивости по усилению α был не менее двух, а запас устойчивости по фа­зе – от 0,5 до 1 рад.

3.5.Оценка устойчивости по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ω_с < ω_кр.

На рис.3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).

По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ω_с, а запас устойчивости по усилению ΔL равен зна­чению ЛАХ на критической частоте ω_кр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL = |L(ω_кр)| (см. рис. 3.11, а).

Если ω_с = ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равным ΔL, то величина критического коэффициента усиления k_кр может быть вычислена по формуле:

20lg k_кр = 20lg k + ΔL.

Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода. При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой -π, при условии, что на частоте, при которой φ(ω) = – π, ЛАХ положительна.

Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графика φ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частоты ω пересечение этого уровня происходит снизу вверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходов m₊ , а число отрицательных переходов m_- .

В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.

m₊ – m_- = m/2, (3.23)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так как m₊ = 1, а m_- = 0, и условие (3.23) выполняется.

Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:

• во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необ­ходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек. Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω) равен -40 дБ/дек, обеспечить необходи­мый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фа­зе и становится передемпфированной с длитель­ным переходным процессом:

• во-вторых, запас устойчиво­сти системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.

3.6.Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим устойчивость САУ, в состав кото­рой входит звено чистого запаздывания. Передаточную функцию такой системы в разомкнутом состоянии запишем в виде

W(p) = W_бз(p)∙e^-τp, (3.24)

где W_бз(p) – передаточная функция разомкнутой систе­мы без учета звена чистого запаздывания; τ – время запаздывания.

Передаточной функции (3.24) соответствуют следую­щие амплитудно- и фазо-частотные характеристики ра­зомкнутой системы:

│W(p)│ = │W_бз(p)│;

L(ω)= L_бз(ω);

φ(ω) = φ_бз(ω) – ωτ,

где L_бз(ω), φ_бз(ω) – соответственно логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики разомкнутой системы без запаздывания.

Из этих характеристик следует, что запаздывание влияет только на фазо-частотную характеристику, созда­вая дополнительный отрицательный фазовый сдвиг. Поэтому устойчивые САУ, не содержащие звеньев чистого запаздывания, мо­гут становиться неустойчивыми при включении в их состав таких звеньев.

Рассмотрим устойчивую систему с запасом устойчивости по фазе, равным Δφ. При увеличении времени запаздывания τ ЛАХ системы не изменяется, а ее фазо-частотная характеристика деформируется и перемещается вниз. Следовательно, частота среза системы остается прежней, критическая частота уменьшается, а запас устойчивости по фазе сокращается. При увеличении τ до критического значения τ_кр наступает равенство:

ω_с = ω_кр,

т.е. система оказывается на границе устойчивости. При этом φ(ω_с) = – π . Очевидно, что такому состоянию системы соответствует равенство Δφ = ω_с∙ τ_кр, откуда величина критического времени запаздывания равна

τ_кр =.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение устойчивости САУ.

2. Сформулируйте необходимое условие устойчивости системы.

3. Поясните различие между прямым и косвенным методами оценки устойчивости.

4. Что такое критерии устойчивости? Каким образом они связаны с необходимым и достаточным условиями устойчивости?

5. Что такое граница устойчивости? Как по отношению к ней расположены полюса устойчивой системы?

6. Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица.

7. Каким образом по критерию Гурвица вычисляется критический коэффициент усиления и запас устойчивости по усилению?

8. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.

9. Что такое частота среза и критическая частота? Каким образом определяются эти частоты по годографам АФХ и ЛАФЧХ?

10. Что такое запасы устойчивости? Каким образом они определяются по годографам АФХ и ЛАФЧХ?

11. Как по ЛАЧХ определяется критический коэффициент усиления?

12. Как по ЛАФЧХ определяется критическое время запаздывания?

4. Качество динамических характеристик сау

4.1. Показатели качества процесса регулирования

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием эффективного функционирования системы. Не менее важно, чтобы процесс регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества. Требования к качеству переходного процесса могут быть самыми разнообразными, однако к числу наиболее существенных критериев, с помощью которых оценивается поведение системы в динамике, относятся следующие:

• показатели качества переходного процесса, определяемые по переходной функции системы;

• частотные критерии качества; корневые критерии качества;

• интегральные критерии качества.

Поскольку переходный процесс в системе определяется не только параметрами САУ, но и характером внешнего воздействия, оценку качества регулирования осуществляют по виду реакции системы на типовой входной сигнал. Наиболее часто характер протекания переходного процесса оценивается по переходной функции системы.

Основными показателями качества процесса регулирования, определяемыми по переходной функции системы (рис. 4.1), являются: время регулирования (t_p), перерегулирование (σ), частота (ω) и число колебаний.

Временем регулирования t_p называется временной интервал, отсчитываемый с момента приложения воздействия к системе до момента, начиная с которого отклонение регулируемой величины от ее установившегося значенияне превышает наперед заданной величины.

Обычно принимают равной 5 % отТаким образом, время регулирования определяет длительность переходного процесса, т.е. быстродействие системы. Величинаt_p должна быть ограничена не только сверху, но и снизу, поскольку при повышении быстродействия системы время регулирования уменьшается, но при этом возрастают динамические нагрузки, что отрицательно сказывается на сроке службы САУ.

Перерегулированием σ называется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения, выраженное в процентах.

Абсолютная величина отклонения определяется по графику переходной функции:

.

Соответственно перерегулирование равно:

℅. (4.1)

Допустимое значение перерегулирования определяется спецификой функционирования конкретной системы. Обычно оно составляет 10 – 30 %, но для ряда САУ перерегулирование принципиально недопустимо.

Колебательность переходного процесса определяется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования t_p, например, числом минимумов за этот интервал. Приемлемым считается от одного до трех колебаний. Иногда колебательность определяют, как отношение величин первого () и второго () максимумов переходной функции выраженное в процентах.

Частота колебаний равна:

где T – период колебаний.

В случае необходимости к перечисленным показателям качества процесса регулирования добавляются следующие: время достижения первого максимума, время первого достижения уровня установившегося значения, декремент затухания, равный:

,

и ряд других.