Файл: Г.М. Гринфельд ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ уч. пособие.doc

Таким образом, получаем всего пять частотных характеристик: амплитудно-фазовую W(jω), амплитудно-частотную A(ω), фазо-частотную φ(ω), вещественную частотную P(ω) и мнимую частотную Q(ω). Между этими характеристиками, кроме зависимостей (2.30) – (2.31), имеются следующие очевидные связи:

; (2.32)

(2.33)

. (2.34)

Частотные характеристики системы не зависят от времени. В этом их принципиальное отличие от временных характеристик. Если временные характеристики определяют поведение системы в переходном процессе при различных типовых входных воздействиях, то частотные выражают зависимость параметров установившихся выходных синусоидальных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Частотные характеристики широко используются в инженерной практике при анализе и синтезе САУ. Особым их достоинством является то, что они могут быть получены экспериментальным путем, что особенно важно для систем, аналитические уравнения которых не представляется возможным получить из-за их сложности или малоизученности технологического процесса.

Несмотря на то, что частотные характеристики, например W(jω),отображают только установившиеся процессы в системе, они в полной мере определяет и ее динамические свойства.

Подставляя производные сигналов (t)иравные

….

…. ,

в дифференциальное уравнение (2.5), получим:

=

= .

Из полученного выражения определяем АФХ системы:

. (2.35)

Сравнивая выражения (2.18) и (2.35) делаем заключение, что выражения для АФЧХ W(jω)системы может быть получено по ее передаточной функцииW(p), в которой достаточно переменнуюp заменить на jω:

W( jω) = .(2.36)

Если в выражении (2.18) осуществить аналогичную замену p на jω, получим:

, (2.37)

где и– изображения Фурье входного и выходного сигналов.

На основании выражения (2.37) амплитудно-фазовую частотную характеристику можно определить как отношение изображений Фурье выходного и входного сигналов системы при нулевых начальных условиях:

Выражению (2.26), связывающему с помощью преобразования Лапласа передаточную функцию системы с ее временной характеристикой – функцией веса , соответствуют следующие зависимости для амплитудно-фазовой частотной характеристики:

(2.38)

(2.39)

Первое выражение определяет амплитудно-фазовую частотную характеристику системы по его весовой функции, а второе, наоборот, – весовую функцию по . По частотным характеристикам САУ можно непосредственно определить ее реакцию не только на импульсное воздействие, но и на входное воздействие любого вида.

Преобразуя выражение (2.35), в котором приняты следующие обозначения:

A(jω)=;

B(jω)=

получим:

, (2.40)

где индексами и отмечены действительные (U) и мнимые (V) части соответствующих комплексных величин в числителе и знаменателе.

Преобразуя (2.40), окончательно имеем:

где:

Для инженерных расчетов особенно широко используются частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе, в том числе логарифмическая амплитудно-частотная L(ω), связанная с АЧХ системы зависимостью:

L(ω) = 20lg A(ω). (2.41)

Смысл приведенного выражения заключается в следующем. Определим усиление системой мощности сигнала, в виде отношения мощности на выходе Р_вых к мощности на входе Р_вх. Этот показатель, для удобства оцениваемый в логарифмическом масштабе, с учетом того, что мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, записывается в виде:

В качестве единицы усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-либо устройство принят Бел (по имени американского

Рис. 2.6. Логарифмическая амплитудно-частотная L(ω) и фазо-частотная характеристики в совмещенной системе координат

изобретателя А. Белла). Но поскольку 1 Бел является слишком крупной единицей (ей соответствует изменение мощности в десять раз), в теории автоматического регулирования за единицу измерения принят децибел 1 дБ = 0,1 Б.

С учетом этого можно записать:

где величина L(ω ) выражена в децибелах.

Используемая совместно с L(ω ) фазо-частотная характеристика строится в полулогарифмическом масштабе: по оси ординат откладывается значение фазы в градусах или радианах, а по оси абсцисс –. При этом единицей измерения частоты являетсядекада. Декадой называется частотный интервал, граничные значения которого соотносятся в десять раз. В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную единице.

При решении практических задач на оси абсцисс указываются не значения lgω, а, что более удобно, значения самой частоты ω. Очевидно, что при использовании логарифмического масштаба точка на оси абсцисс, соответствующая ω = 0, находится слева в бесконечности, т.е. логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от некоторого значения, которое определяется данными конкретной задачи. На рис. 2.6 приведен примерный вид логарифмической амплитудно-частотной характеристики L(ω) и фазо-частотной характеристик , построенных в совмещенной системе координат.

В дальнейшем для краткости будем в названии различных частотных характеристик опускать слово «частотная», говоря просто о логарифмической амплитудной характеристике L(ω) (ЛАХ), амплитудно-фазовой характеристике W(jω) (АФХ) и т.п.

2.4. Элементарные звенья систем автоматического управления

Математическое описание системы начинают с разбиения ее на звенья и составления математических моделей этих звеньев. При этом передаточная функция, временные и частотные характеристики, которыми описываются звено, не учитывают его физической природы, т.е. рассматривается математическая модель, а не реальное конструктивное исполнение и принципы работы звена. Очевидно, что при составлении математического описания системы целесообразно ориентироваться на математические модели звеньев стандартного вида, так называемые типовые звенья. Рассмотрим их основные характеристики.