Файл: Тема Группировка данных статистического наблюдения. Средние величины.doc

Тема 3. Закон нормального распределения

В вариационных рядах существует определенная связь в изменении частот и значений варьирующего признака: с увеличением варьирующего признака величина частот вначале возрастает до определенной величины, а затем уменьшается. Такого рода изменения называются закономерностями распределения. Графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант называется кривой распределения.Кривая распределения, характеризует теоретическое распределение, т.е. то распределение, которое получилось бы при полном погашении всех случайных причин, искажающих основную закономерность.Одной из наиболее часто используемых форм теоретической кривой распределения, является нормальное распределение. График нормального распределения имеет форму колокообразной кривой, симметричной относительно (рис.1). Концы графика асимптотически приближаются к оси абсцисс. Кривая нормального распределения выражается уравнением: , (35) где - ордината кривой нормального распределения, - нормированные отклонения вариантов от средней арифметической, - математические константы ( 3,1415 и =2,71), - варианты вариационного ряда, -средняя величина распределения

---

, - среднее квадратическое отклонение.



Рис. 1 Кривая нормального распределения

Таблица 4

Группировка предприятий по формам собственности

Государственные предприятия						Негосударственные предприятия
Группы предприятий по величине выручки от реализации, тыс.руб.	Число предприятий	Середина интервала				Группы предприятий по величине выручки от реализации, тыс.руб.	Число предприятий	Середина интервала
2,50 -3,53	12	3,02	36,19	-8,06	780,43	15,47 –17,28	56	16,38	917,28	-1,8	181,44
3,53 - 4,56	7	4,05	28,33	-7,03	346,29	17,28 – 19,08	6	18,184	109,104	0,004	0,00
456 - 5,59	5	5,08	25,39	-6,00	180,15	19,08 – 20,89	15	19,988	299,82	1,80	49,03
5,59 - 6,62	7	6,11	42,76	-4,97	173,01	20,89 – 22,69	13	21,792	283,296	3,61	169,60
6,62 - 7,65	10	7,14	71,40	-3,94	155,28	22,69 – 24,50	5	23,596	117,98	5,41	146,66
7,65 - 8,68	12	8,17	98,05	-2,91	101,58	Итого__95___1727,48'>Итого	95		1727,48		546,74
8,68 - 9,71	10	9,20	92,02	-1,88	35,29
9,71 - 10,74	17	10,23	173,95	-0,85	12,21
10,74 - 11,77	10	11,26	112,64	0,18	0,34
11,77 - 12,81	56	12,29	688,49	1,21	82,60
12,81 - 13,84	42	13,33	559,67	2,25	211,78
13,84 - 14,87	47	14,36	674,76	3,28	504,57
Итого	235		2603,62		2583,52

---

При построении нормальной кривой по эмпирическим данным теоретические частоты ряда определяются по формуле: , (36)где -величина интервала, - среднее квадратическое отклонение.Величина определяется по таблице как функция .Для характеристики соответствия эмпирического распределения нормальному, необходимо выяснить случайны или существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой гипотезы о наличии нормального распределения в эмпирическом ряду.Для определения «нормальности» распределения необходимо сравнить среднюю арифметическую с Мо и Ме. Для нормального распределения .Кроме этого, для оценки близости эмпирических ( ) и теоретических ( ) частот используются различные показатели – критерии согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона ( ), В.И.Романовского ( ), А.Н.Колмогорова ( ), Б.С. Ястремского (L).Критерий Пирсона ( ) представляет собой сумму отношений квадратов расхождений между и к теоретическим частотам:

---

. (37)

Фактическое (рассчитанное) значение сравнивают с критическим, определяемым по специальным таблицам. Входами в таблицу являются уровень значимости и число степеней свободы.

Уровень значимости – вероятность допуска ошибки в утверждении нормального характера распределения – обычно принимается равным 5% или 1% ( =0,05 или 0,01).

Число степеней свободы , где - число групп в ряду распределения.

Если фактическое оказывается меньше табличного (критического), то расхождение между эмпирическими и теоретиче5скими частотами можно считать случайным.

Пример 5. По данным табл.1 рассчитайте значения теоретических частот распределения на основании эмпирических данных и постройте кривую нормального распределения. Сравните теоретические частоты с эмпирическими при помощи критерия Пирсона. Сделайте выводы.

Решение.

Для нахождения теоретических частот и построения кривой нормального распределения необходимо знать два параметра - и . Их значения рассчитаны ранее и составляют 13,12 тыс.руб. и 3,6 тыс.руб. соответственно.

Дальнейшие расчеты таковы:

1. 
   Находим стандартизованное отклонение (табл.2 гр.14). Отклонения отдельных вариант от средней ( ) рассчитано ранее (табл.2 гр.10)
   
2. 
   Зная величину , находим по таблице (см. Приложение 1).
   
3. 
   Рассчитываем множитель , который является постоянным для всего распределения и составляет .
   
4. 
   Значения теоретических частот вычисляются по формуле (36). Умножая последовательно 144,7 на величину , находим искомые теоретические частоты . Исчисленные значения теоретических частот получатся дробные, а частоты могут быть только целыми числами, поэтому округляем их до целого числа (табл.2 гр.16) и находим сумму
   

---

Как видно из табл.2, теоретические частоты близки к эмпирическим, хотя отдельные расхождения имеют место.Для наглядности строим график (рис.2), на котором по оси абсцисс откладываем значения признака , а по оси ординат значения эмпирических ( ) и теоретических ( ) частот. Рис. 2 Эмпирические и теоретические данныеНа построенном графике близость частот видна довольно четко, к тому же кривая, построенная по значениям теоретических частот имеет типичную (колокообразную) форму кривой нормального распределения. Для суждения о случайности или существенности расхождений рассчитаем критерий Пирсона, который вычисляется по формуле (37).Теоретическое значение определяется с учетом числа степеней свободы и степени вероятности. В нашем примере к=8 , вероятность 0,05. В соответствии с таблицей критических значений критерия Пирсона находим (к=8 и 0,05 )=15,51. Фактическое значение меньше табличного 15,51, значит, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами.

---