Файл: 17.06.вкр.docx

Заметим, что из разложения следует, что любое решение, для которого, неограниченно возрастает. В частности, если весь спектр лежит внутри правой полуплоскости, тои ненулевое решениеуходит на бесконечность при, причем нормамонотонно возрастает.

Определение 2.1 Оператор со спектром, распадающимся на два спектральным множества соответственно внутри правой и левой полуплоскостикаждое из которых непусто, называетсяэ-дихотомическим. Вместе с ним будем называть э - дихотомическим и дифференциальное уравнение .

Очевидно, что фазовое пространство э-дихотомического уравнения распадается в прямую сумму , причем решения, начинающиеся в, экспоненциально убывают, а решения, начинающиеся в, экспоненциально растут.

Если предположить, фазовое пространство гильбертово, то все рассуждения естественно проводить, рассматривая вместо нормгильбертовы нормы[12]. В этом случае проведенная выше перенормировка имеет простой геометрический смысл.

Пусть . Тогда для решения уравнения справедливо соотношение

из которого следует, что для угла между направлением радиус-вектораи вектора, касательного к интегральной кривой уравнения, имеет место оценка

Таким образом, и векторное поле касательных к интегральным кривым уравнения в каждой точке направлено существенно внутрь сферы с центром в нуле, проходящей через эту точку.

Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда спектр лежит внутри левой полуплоскости. В этом случае по теоремеI. 5.1.1[1] существует ограниченный равномерно положительный оператор , такой, что

Приведенные ранее соображения останутся справедливыми, если оценки производить в новой метрикеэквивалентной прежней.

В самом деле, ограниченность и равномерная положительность оператора обеспечивают топологическую эквивалентность норм.

С другой стороны, если , то для решенияуравнения будем иметь

Напомним, что требуемый оператор можно получить как решение уравнения

где - произвольный, равномерно - положительный оператор. Полагая, например, ,[5] мы получим

т.е.

Система сфер в этом случае заменяется системой эллипсоидовс центром в нуле, внутрь которых входят интегральные кривые. Рассмотрение в банаховом пространстве нормы , аналогичнойобобщает приведенные выше геометрические соображения, связанные с так называемым методом Ляпунова[12].

Роль эллипсоидов при этом играют выпуклые центрально-симметрические тела, ограниченные поверхностями

Несколько более сложная, но достаточно ясная геометрическая картина получается и в том случае, когда спектр оператора имеет также компоненту, внутри правой полуплоскости, т.е. когда уравнениеявляется э-дихотомическим.

Рассмотрим случай, когда фазовое пространство гильбертово. Справедлива теорема [12]

Теорема 2.1 Для того, чтобы уравнение было э - дихотомическим, необходимо и достаточно, чтобы оператор был равномернодиссипативным по отношению к некоторому эрмитову индефинитному оператору:

При любом выборе оператораудовлетворяющего этому соотношению, инвариантное подпространство оператора, соответствующее части спектра, лежащей внутри правой (левой) полуплоскости, равномерно отрицательно (положительно).

Индефинитная форма порождает в гильбертовом пространстве две системы гиперболоидов: плюс гиперболоиды определяются уравнением и минус-гиперболоиды – при .

Нетрудно проверить, что из равномерной диссипативности оператора следует для решений уравнения соотношение

показывающее, что индефинитная форма убывает для любого решенияэтого уравнения.

Если точка находится на минусгиперболоиде, то дальнейшее уменьшение величиныс ростомозначает, что траекторияпересекает гиперболоиды со все большими по абсолютной величине отрицательными значениями, а следовательно, уходит на бесконечность.

В случае, когда точка находится на плюс – гиперболоиде, в подпространствеуменьшение формыкоторая наэквивалентна обычной, приводит к неограниченному приближению траектории к центру.

Если же точка находится на плюс – гиперболоиде, вне подпространства, то пересекая гиперболоидыс уменьшающимися значениями, траектория выходит на конуси переходит на систему минусгиперболоидов, удаляясь затем на бесконечность.