ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1107
Скачиваний: 7
46
т.е.
d
0
=
d
.
Напряженность электрического поля диполя вычисляется дифференци-
рованием потенциала
ϕ
d
E
d
=
−∇
dr
r
3
=
3(
dr
)
r
r
5
−
d
r
3
,
или
E
d
=
3(
dn
)
n
−
d
r
3
,
где
n
=
r
/r
– единичный вектор в направлении
r
.
Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой с равным нулю
полным зарядом, на больших расстояниях обратно пропорционален квадра-
ту, а напряженность поля – кубу расстояния:
ϕ
d
∼
r
−
2
, E
d
∼
r
−
3
.
Это поле
обладает осевой симметрией относительно направления
d
.
Если распределение зарядов в системе имеет сферическую симметрию,
то, как легко понять, вне области расположения зарядов поле в точности сов-
падает с полем точечного заряда
q
(равного суммарному заряду системы),
и, следовательно, все мультипольные моменты такой системы равны нулю.
Поэтому мультипольные моменты должны характеризовать асимметрию (от-
клонение от сферической симметрии) в распределении зарядов. Выясним, с
каким свойством в расположении зарядов связан дипольный момент. Пусть
e
+
a
,
r
+
a
и
e
−
a
,
r
−
a
есть положительные и отрицательные заряды системы и их
радиус-векторы, тогда дипольный момент можно записать в виде
d
=
X
e
+
a
r
+
a
+
X
e
−
a
r
−
a
=
P
e
+
a
r
+
a
P
e
+
a
X
e
+
a
+
P
e
−
a
r
−
a
P
e
−
a
X
e
−
a
=
=
R
+
X
e
+
a
+
R
−
X
e
−
a
,
где
R
±
=
P
e
±
a
r
±
a
P
e
±
a
(4.21)
— радиус-векторы “центров зарядов” положительных и отрицательных (ср.
(4.21) с выражением для центра масс системы). Если система электроней-
тральна,
X
e
+
a
=
−
X
e
−
a
=
e ,
то
d
=
e
(
R
+
−
R
−
)
и можно утверждать, что дипольный момент характеризует асимметрию в
расположении зарядов, связанную со смещением центров положительного и
отрицательного зарядов.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§21; [4] §40; [3] §1.7.
47
4.4. Система зарядов в квазиоднородном внешнем поле
Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем поле. Обозначим
ϕ
(
r
)
потенциал этого внешнего поля. Будем считать, что поле слабо меняется
на протяжении системы зарядов: если
l
— характерный размер системы, а
L
— характерное расстояние, на котором поле меняется заметным образом,
то
l
¿
L
. Вычислим при этом предположении энергию системы зарядов во
внешнем поле. Запишем общее выражение для энергии в виде
U
=
X
a
e
a
ϕ
(
r
+
r
0
a
)
.
(4.22)
Здесь предполагается, что радиус-векторы
r
0
a
проведены к зарядам из точки
O
0
, расположенной внутри системы, а сама точка
O
0
имеет радиус-вектор
r
относительно начала системы координат
O
. Имея в виду квазиоднородность
внешнего поля, разложим его потенциал в ряд по степеням
r
0
ϕ
(
r
+
r
0
) =
ϕ
(
r
) +
X
α
x
0
α
∂ϕ
∂x
α
+
· · ·
=
ϕ
(
r
) +
r
0
∇
ϕ
+
. . . .
Теперь перепишем выражение (4.22) для энергии
U
=
ϕ
(
r
)
X
e
a
+ (
∇
ϕ,
X
e
a
r
0
a
) +
. . .
(4.23)
Оценивая производные в (4.23)
∂ϕ
∂x
α
∼
ϕ
L
,
можем заключить, что разложение в (4.22) идет по параметру
l/L
.
Запишем выражение (4.23) через мультипольные моменты
U
=
qϕ
(
r
)
−
(
dE
) +
. . . .
(4.24)
Первый член в (4.23) представляет собой энергию точечного заряда во внеш-
нем поле, дифференцирование его по
r
дает известное выражение для силы
F
=
−∇
U
=
−
q
∇
ϕ
=
q
E
.
Если суммарный заряд системы равен нулю, то первое слагаемое в ( 4.24)
исчезает и энергия системы дается выражением
U
=
−
(
dE
)
(4.25)
(энергия диполя во внешнем поле). Вычисляя силу, действующую на систему,
находим
F
=
−∇
U
=
∇
(
dE
) = (
d
∇
)
E
+ [
d
,
rot
E
] = (
d
∇
)
E
.
48
Если поле однородное (
E
– постоянный вектор), то
F
= 0
,
но момент сил
K
не равен нулю. Действительно,
K
=
X
[
r
a
,
F
a
] =
X
[
r
a
, e
a
E
a
] =
{
E
a
≈
E
}
=
X
[
e
a
r
a
,
E
] =
hX
e
a
r
a
,
E
i
,
так что окончательно
K
= [
dE
]
.
(4.26)
Таким образом, дипольный момент не только определяет поле системы
на больших расстояниях от нее, но и действие на систему внешнего поля.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§22; [4] §42.
5. Постоянное магнитное поле
5.1. Основные уравнения. Закон Био-Савара-Лапласа
Индукция магнитного поля, не зависящего от времени, удовлетворяет си-
стеме уравнений (см. 4.1)
div
B
= 0
,
(5.1)
rot
B
=
4
π
c
j
.
(5.2)
Поскольку
∂ρ/∂t
= 0
, то из уравнения непрерывности вытекает условие ста-
ционарности токов:
div
j
= 0
.
(5.3)
Последнее соотношение можно получить и из уравнения (5.2), применив к
обеим частям операцию
div
. При расчете магнитных полей от симметричных
распределений токов полезна интегральная форма уравнения (5.2) (закон
Ампера):
I
B
d
l
=
4
π
c
Z
S
j
d
S
=
4
π
c
J .
(5.4)
Применим это уравнение для расчета магнитного поля, создаваемого длин-
ным цилиндрическим проводником, ток в котором имеет осевую симметрию
j
=
j
(
r
)
. Вследствие аксиальной симметрии
B
=
B
(
r
)
, причем вектор
B
лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику, и направлен по касатель-
ной к окружности с центром на оси проводника. Вычисляя циркуляцию
B
по такой окружности
I
B
d
l
=
I
Bdl
=
B
I
dl
=
B
2
πr ,
49
находим
B
(
r
) =
2
J
cr
,
где
J
=
Z
j
d
S
=
Z
jdS
= 2
π
r
Z
0
j
(
r
)
rdr .
В общем случае произвольного распределения токов уравнение (5.1) позво-
ляет представить
B
(
r
)
в виде ротора некоторого вектора
A
(
r
)
–
векторного
потенциала
:
B
= rot
A
.
(5.5)
Можно показать, что (5.1) и (5.5) эквивалентны. Действительно,
div rot
A
= 0
, так
что из (5.5) следует (5.1). Убедимся, что из (5.1) следует (5.5). Из (5.1) и теоремы Остро-
градского-Гаусса имеем
0 =
Z
V
div
B
dV
=
I
B
d
S
.
Поток
B
через замкнутую поверхность равен нулю, поэтому поток
B
через незамкнутую
поверхность, опирающуюся на контур, не зависит от формы поверхности, а зависит только
от контура:
Z
S
B
d
S
=
I
A
d
l
, где
A
- неизвестная функция. Вычисляя проекцию
rot
A
на
произвольное направление, находим
(rot
A
)
n
= lim
S
→
0
H
A
d
l
S
= lim
S
→
0
R
B
d
S
S
= lim
S
→
0
R
B
n
dS
S
= lim
S
→
0
B
n
R
dS
S
=
B
n
,
где
B
n
- значение
B
n
в какой-либо точке поверхности. Таким образом, из (5.1) следует
(5.5).
Отметим, что векторный потенциал определен неоднозначно, а именно,
градиентное преобразование
A
=
e
A
+
∇
χ
(
χ
– произвольная скалярная функция), очевидно, не изменяет значения
B
(
r
)
.
Подставим (5.5) в (5.2):
rot rot
A
= grad div
A
−
∆
A
=
4
π
c
j
.
(5.6)
Используя неоднозначность векторного потенциала, наложим на него допол-
нительное условие. Потребуем, чтобы
div
A
= 0
.
(5.7)
50
Если потенциал
e
A
не удовлетворяет этой калибровке, то, добавляя к нему
∇
χ
:
A
=
e
A
+
∇
χ
, можно обеспечить его выполнение. При этом функция
χ
должна быть такой, чтобы выполнялось уравнение
div
e
A
+ ∆
χ
= 0
.
Иначе говоря, последнее уравнение фиксирует функцию
χ
.
После выбора калибровки (5.7), из (5.6) приходим к уравнению Пуассона
для векторного потенциала
∆
A
=
−
4
π
c
j
.
(5.8)
Зная решение (4.9) для скалярного уравнения Пуассона (4.6), сразу можем
записать решение (5.8):
A
(
r
) =
1
c
Z
j
(
r
0
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
.
(5.9)
Найдем теперь магнитную индукцию
B
= rot
A
=
1
c
Z
rot
r
j
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV
0
.
Введем новую переменную
r
−
r
0
=
R
, так что
rot
r
= rot
R
. Вычисляем
rot
r
j
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
= rot
R
j
(
r
0
)
R
= [
∇
1
R
,
j
(
r
0
)] =
[
jR
]
R
3
и находим для магнитной индукции
B
(
r
) =
1
c
Z
[
j
(
r
0
)
,
R
]
R
3
dV
0
=
1
c
Z
[
j
(
r
0
)
,
r
−
r
0
]
|
r
−
r
0
|
3
dV
0
,
(5.10)
Таким образом, ток
j
, текущий в объеме
dV
0
, создает поле
d
B
=
1
c
[
j
(
r
0
)
,
R
]
R
3
.
(5.11)
В этом состоит
закон Био-Савара-Лапласа
.
Рассмотрим замкнутый
квазилинейный ток
(ток называется квазилиней-
ным, если линейные размеры поперечного сечения проводника пренебрежи-
мо малы по сравнению с линейными размерами контура и с расстоянием до
точки наблюдения). В этом случае
j
k
d
l
, или
j
=
j
n
l
, где
n
l
– единичный век-
тор касательной к контуру:
d
l
=
n
l
dl
. Вектор плотности тока можем поэтому
представить в виде
j
=
j
n
l
и записать
j
dV
=
j
dldS
=
jdSd
l
=
Jd
l
.
(5.12)