ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1108
Скачиваний: 7
51
Тогда для квазилинейного тока вместо (5.9), (5.10), (5.11) получаем:
A
(
r
) =
J
c
Z
d
l
R
,
(5.13)
B
(
r
) =
J
c
Z
[
d
l R
]
R
3
,
(5.14)
d
B
=
J
c
[
d
l R
]
R
3
.
(5.15)
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§24; [4] §43; [3] §§6.1-6.6.
5.2. Магнитный момент
Вычислим магнитное поле на больших расстояниях от ограниченной си-
стемы стационарных токов. В этом случае общее выражение для векторного
потенциала
A
(
r
) =
1
c
Z
j
(
r
0
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
можно упростить. Считаем, что
r
À
l
(
l/r
¿
1)
, где
r
— расстояние до
точки наблюдения,
l
— размеры области, внутри которой существуют токи.
Разложим
|
r
−
r
0
|
−
1
по
r
0
/r
, ограничиваясь двумя членами:
1
|
r
−
r
0
|
=
1
r
−
r
0
∇
1
r
+
...
=
1
r
+
rr
0
r
3
+
... .
На больших расстояниях это быстро сходящийся ряд. Подставив это разло-
жение в (5.16), получим
A
(
r
) =
1
cr
Z
j
(
r
0
)
dV
0
+
1
cr
3
Z
j
(
r
0
)(
rr
0
)
dV
0
.
(5.16)
Покажем, что
Z
j
dV
0
= 0
.
(5.17)
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса
Z
div
a
dV
=
I
a
d
S
,
(5.18)
в которой положим
a
= (
cr
)
j
, где
c
– постоянный вектор. Вычислим дивер-
генцию
div
a
= div (
cr
)
j
= (
∇
,
(
cr
)
j
) = (
cr
)(
∇
j
) + (
j
,
∇
(
cr
)) = (
cr
) div
j
+ (
cj
)
.
52
Подставляя в (5.18), интегрирование в которой будем вести по всей области,
где имеются токи, получим:
Z
V
r
div
j
dV
+
Z
V
j
dV
=
I
S
r
j
n
dS .
Но
div
j
= 0
по условию стационарности, а на границе области
j
n
|
S
= 0
,
так как ток через граничную поверхность не протекает. Таким образом, из
последнего равенства следует равенство (5.17). Оно означает, что в разло-
жении (5.16) члена, аналогичного потенциалу точечного заряда в (4.20), не
существует.
Рассмотрим теперь второй член в (5.16). Можно показать, что
Z
V
(
rr
0
)
j
(
r
0
)
dV
0
=
1
2
Z
[[
r
0
j
(
r
0
)]
r
]
dV
0
.
(5.19)
Используя это интегральное тождество, представим
A
(
r
)
в виде
A
(
r
) =
1
2
cr
3
Z
[[
r
0
j
(
r
0
)]
r
]
dV
0
.
Введем вектор
M
=
1
2
c
Z
[
rj
(
r
)]
dV ,
(5.20)
который называется
магнитным моментом
системы (или магнитным ди-
польным моментом). С его помощью векторный потенциал на больших рас-
стояниях записывается в виде
A
(
r
) =
[
Mr
]
r
3
.
(5.21)
Итак,
M
определяет магнитное поле на больших расстояниях от системы
токов.
Докажем теперь тождество (5.19). Можем записать
[[
r
0
j
]
r
] =
j
(
rr
0
)
−
r
0
(
j r
) =
j
(
rr
0
)
−
r
0
div
r
0
((
rr
0
)
j
)
.
(5.22)
Действительно,
div
r
0
(
rr
0
)
j
= (
rr
0
)div
j
+ (
j
,
∇
r
0
(
rr
0
)) = (
jr
)
,
(5.23)
так как
div
j
= 0
и
∇
r
0
(
rr
0
) =
r
. Проинтегрируем соотношение (5.22) по всему объему
Z
[[
r
0
j
]
r
]
dV
0
=
Z
(
rr
0
)
j
dV
0
−
Z
r
0
div
r
0
(
rr
0
)
j
dV
0
.
(5.24)
53
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса
Z
div
a
dV
0
=
I
a
d
S
0
и возьмем вектор
a
равным
a
= (
cr
0
)(
rr
0
)
j
,
c
−
постоянный вектор
.
Тогда
div
r
0
a
= (
cr
0
)div
r
0
(
rr
0
)
j
+ (
∇
(
cr
)
,
(
rr
0
)
j
) = (
cr
0
)div
r
0
(
rr
0
)
j
+ (
c
,
(
rr
0
)
j
)
,
(5.25)
Поскольку
Z
div
a
dV
0
=
I
a
n
dS
0
= 0
,
так как
j
n
|
S
= 0
, то из (5.25) получаем
Z
r
0
div
r
0
(
rr
0
)
j
dV
0
=
−
Z
(
rr
0
)
j
dV
0
.
Подставляя последнее равенство в (5.24), убеждаемся в справедливости (5.19).
Вычислим с помощью (5.21) индукцию магнитного поля на больших рас-
стояниях
B
(
r
) = rot
A
(
r
) =
3(
Mn
)
n
−
M
r
3
,
n
=
r
r
.
(5.26)
Таким образом, из (5.21), (5.26) следует, что поле магнитного момента
обладает осевой симметрией относительно
M
. На больших расстояниях
r
→
∞
от системы стационарных токов
A
∼
1
/r
2
, B
∼
1
/r
3
.
Рассмотрим два простых примера вычисления магнитных моментов.
1. Магнитный момент плоского контура с током. Пусть постоянный ток
J
течет по плоскому контуру, образованному тонким проводником. Заменяя
j
dV
→
Jd
l
в формуле (5.20) и учитывая, что
d
S
=
1
2
[
r
d
l
]
,
где
d
S
=
n
dS
,
dS
— площадь треугольника, образованного радиус-вектором
r
, проведенным к элементу тока, и элементом контура
d
l
, получим
M
=
1
2
c
Z
[
rj
]
dV
=
J
2
c
I
[
r
d
l
] =
J
c
I
d
S
=
J
c
n
I
dS
=
J
c
S
n
.
Итак, магнитный момент плоского контура определяется произведением то-
ка
J
на площадь контура
S
(т.е. не зависит от формы контура) и направлен
по нормали к плоскости контура.
54
2. Магнитный момент системы частиц с одинаковым отношением заряда
к массе
e
i
m
i
=
e
m
(например, системы одинаковых частиц). Записав плотность
тока в виде
j
=
X
e
a
v
a
δ
(
r
−
r
a
)
,
получим для магнитного момента
M
=
1
2
c
X
e
i
[
r
i
v
i
] =
1
2
c
X
e
i
m
i
[
r
i
p
i
] =
e
2
mc
X
[
r
i
p
i
]
,
или
M
=
e
2
mc
L
,
где
L
=
X
[
r
i
p
i
]
— полный момент импульса системы. Если имеется одна
частица, то формула (5.27) дает связь между магнитным моментом, создава-
емым движением одной частицы в пространстве, и ее механическим момен-
том. Многим частицам, как заряженным (электроны, протоны), так и ней-
тральным (нейтроны), присущ внутренний (спиновый) магнитный момент,
определяемый их внутренней структурой. Между спиновыми магнитным
M
s
и механическим
L
s
моментами выполняется соотношение
M
s
=
η
s
L
s
, однако
коэффициент пропорциональности
η
s
не совпадает с
e/
2
mc
и различен для
разных частиц. Спиновый магнитный момент представляет собой квантовое
явление, не объясняемое классической электродинамикой.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§25; [4] §44.
5.3. Магнитная энергия постоянных токов
Вычислим полную магнитную энергию ограниченной системы стационар-
ных токов. Исходим из выражения для плотности магнитной энергии (фор-
мула (3.44) при
E
= 0
):
W
=
B
2
8
π
.
Интегрируя по всему пространству
U
=
Z
B
2
8
π
dV
и преобразуя подынтегральное выражение,
B
2
=
BB
=
B
rot
A
= (rot
B
,
A
) + div [
AB
]
,
55
приходим к
U
=
1
8
π
Z
(rot
B
,
A
)
dV
+
1
8
π
Z
div [
AB
]
dV
=
1
2
c
Z
jA
dV
+
I
1
8
π
[
AB
]
d
S
,
где в первом интеграле учтено, что
rot
B
=
4
π
c
j
, а ко второму интегралу при-
менена теорема Остроградского-Гаусса. Поскольку на больших расстояниях
A
∼
1
r
2
,
B
∼
1
r
3
,
то второй интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, и
U
=
1
2
c
Z
j A
dV
(5.27)
(ср. с выражением (4.11) для энергии электростатического поля).
Найдем энергию системы проводников с током. Плотность тока в такой си-
стеме есть, очевидно,
j
=
X
a
j
a
. Запишем векторный потенциал
A
=
X
a
A
a
,
где
A
a
— векторный потенциал, создаваемый
a
-м проводником; в силу ли-
нейности уравнений электродинамики значение
A
a
не зависит от наличия
других проводников и силы тока в них. Подставляя в (5.27)
A
и
j
, получим
U
=
1
2
c
X
a
Z
j
a
A
a
dV
+
1
2
c
X
ab
a
6
=
b
Z
j
a
A
b
dV .
Поскольку
X
ab
a
6
=
b
x
a
y
b
=
1
2
X
ab
a
6
=
b
(
x
a
y
b
+
x
b
y
a
) =
X
a<b
(
x
a
y
b
+
x
b
y
a
)
,
то энергию
U
можно представить в виде
U
=
X
a
U
aa
+
X
a<b
U
ab
,
где
U
aa
=
1
2
c
Z
j
a
A
a
dV
(5.28)
— собственная магнитная энергия
a
-го проводника,
U
ab
=
1
2
c
Z
j
a
A
b
dV
+
1
2
c
Z
j
b
A
a
dV