ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1110
Скачиваний: 7
41
Напряженность поля находим, вычисляя градиент
E
=
−∇
ϕ
=
Z
ρ
(
r
0
)(
r
−
r
0
)
|
r
−
r
0
|
3
dV
0
.
(4.10)
Если система состоит из точечных зарядов, то вместо (4.9) и (4.10) получим
ϕ
(
r
) =
X
e
a
|
r
−
r
a
|
,
E
=
X
e
a
(
r
−
r
a
)
|
r
−
r
a
|
3
.
Проверим, что (4.9) есть решение уравнения Пуассона (4.6). Подействовав
на
ϕ
оператором Лапласа и использовав (4.8)
∆
ϕ
(
r
) =
Z
∆
r
ρ
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV
0
=
−
4
π
Z
ρ
(
r
0
)
δ
(
r
−
r
0
)
dV
0
=
−
4
πρ
(
r
)
,
убеждаемся, что это так.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§19; [4] §36; [3] §§1.1-1.5.
4.2. Энергия электростатического поля
Плотность энергии электростатического поля дается формулой (3.44) при
B
= 0
:
W
=
E
2
8
π
.
Вычислим, исходя из этой формулы, энергию неподвижной системы зарядов:
U
=
1
8
π
Z
E
2
dV ,
где интегрирование проводится по всему пространству. Подставляя сюда
E
=
−∇
ϕ
, можно преобразовать
U
следующим образом
U
=
−
1
8
π
Z
(
E
,
∇
ϕ
)
dV
=
−
1
8
π
Z
div (
ϕ
E
)
dV
+
1
8
π
Z
ϕ
div
E
dV .
Первый интеграл здесь преобразуется в поверхностный
Z
V
div (
ϕ
E
)
dV
=
Z
S
ϕ
E
d
S
и для ограниченной системы зарядов обращается в нуль при интегрировании
по бесконечной поверхности, охватывающей всё пространство. Действитель-
но, при удалении от системы
ϕ
убывает не медленнее
1
/r
, а
E
— не медленнее
42
1
/r
2
(подробнее см. разд. 4.3), тогда как сама поверхность растет как
r
2
. Под-
ставляя во второй интеграл
div
E
= 4
πρ
, находим следующее выражение для
энергии системы зарядов
U
=
1
2
Z
ρϕ dV .
(4.11)
Рассмотрим систему точечных зарядов. Подставляя (3.8) в (4.11), получим
для
U
сумму вместо интеграла
U
=
1
2
X
a
e
a
ϕ
a
,
(4.12)
гдe
ϕ
a
=
ϕ
(
r
)
|
r
=
r
a
— потенциал, созданный в точке
r
a
(в которой находится
заряд
e
a
) всеми зарядами системы. Запишем
ϕ
a
=
X
b
(
b
6
=
a
)
e
b
|
r
a
−
r
b
|
+
e
a
|
r
a
−
r
a
|
,
и, соответственно,
U
=
1
2
X
a,b
(
b
6
=
a
)
e
a
e
b
|
r
a
−
r
b
|
+
1
2
X
a
e
2
a
|
r
a
−
r
a
|
.
Здесь первая сумма, в которой индексы
a
и
b
не совпадают, представляет
собой энергию взаимодействия точечных зарядов. Вторая сумма есть сум-
ма собственных энергий точечных зарядов. Каждый член в ней расходится
ввиду расходимости кулоновского потенциала при
r
→
0
. Очевидная бес-
смысленность этого результата означает, что классическая электродинами-
ка становится неприменимой на малых расстояниях. Трудность с расходи-
мостью собственной энергии является фундаментальной и проявляется не
только в классической электродинамике, но и в современной теории элемен-
тарных частиц, основу которой составляют квантовая механика и теория
относительности. Для того чтобы избежать расходимости, следует считать
элементарные частицы протяженными. Но это неизбежно означает наличие
у них внутренней структуры, т.е. “неэлементарность”. Обратим внимание,
что на ограниченную область применимости классической электродинамики
указывают противоречия внутри неё самой.
Ввиду невозможности вычислить в рамках классической электродинами-
ки собственную энергию зарядов, ограничиваются вычислением энергии их
взаимодействия:
U
int
=
1
2
X
b
6
=
a
e
a
e
b
|
r
a
−
r
b
|
=
X
b>a
e
a
e
b
|
r
a
−
r
b
|
.
43
В частности, энергия взаимодействия двух зарядов дается выражением
U
12
=
e
1
e
2
|
r
1
−
r
2
|
.
Рассмотрим теперь непрерывное распределение зарядов. Пусть имеют-
ся две ограниченные системы (не обязательно разделенные в пространстве)
с плотностями
ρ
1
,
ρ
2
, которые создают поля с потенциалами
ϕ
1
,
ϕ
2
. Вос-
пользовавшись принципом суперпозиции и подставив в (4.12)
ρ
=
ρ
1
+
ρ
2
и
ϕ
=
ϕ
1
+
ϕ
2
, будем иметь
U
=
U
11
+
U
22
+
U
12
,
где
U
11
=
1
2
Z
ρ
1
ϕ
1
dV ,
U
22
=
1
2
Z
ρ
2
ϕ
2
dV ,
U
12
=
1
2
Z
(
ρ
1
ϕ
2
+
ρ
2
ϕ
1
)
dV .
(4.13)
Величины
U
11
и
U
22
представляют собой собственные энергии систем 1 и 2,
а
U
12
– энергия их взаимодействия (в механике её называют потенциальной
энергией взаимодействия). Энергию взаимодействия можно записать в дру-
гом виде, если воспользоваться формулой
ϕ
1
,
2
(
r
) =
Z
ρ
1
,
2
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV
0
.
Поменяв местами в одном из слагаемых в
U
12
из (4.13) переменные интегри-
рования
r
и
r
0
, получим
U
12
=
Z Z
ρ
1
(
r
)
ρ
2
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV dV
0
=
Z
ρ
1
ϕ
2
dV
=
Z
ρ
2
ϕ
1
dV .
(4.14)
Энергию одной системы тоже можно записать через двойной интеграл
U
11
=
1
2
Z Z
ρ
1
(
r
)
ρ
1
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV dV
0
.
Обратим внимание на множитель
1
/
2
, отличающий энергию одной системы
от энергии взаимодействия двух систем (4.14).
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§22; [4] §37.
44
4.3. Поле на больших расстояниях от системы зарядов.
Дипольный момент
Рассмотрим систему зарядов, локализованную в некоторой области про-
странства. Потенциал создаваемого ею поля определяется формулой (4.9)
ϕ
(
r
) =
Z
ρ
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV
0
(4.15)
или, если заряды точечные,
ϕ
(
r
) =
X
a
e
a
|
r
−
r
0
a
|
.
(4.16)
Эти общие выражения для потенциала упрощаются, если поле рассматрива-
ется на большом расстоянии от системы
r
À
l
, где
l
– характерный размер
системы. Выберем начало координат внутри системы, тогда в (4.15), (4.16)
r
0
∼
l
. Упростим (4.15), (4.16), разлагая
1
|
r
−
r
0
|
= (
r
2
−
2
rr
0
+
r
0
2
)
−
1
2
=
1
r
Ã
1
−
2
rr
0
r
2
+
r
0
2
r
2
!
−
1
2
в них по степеням
r
0
/r
с учетом членов, имеющих относительную малость
∼
(
r
0
/r
)
:
1
|
r
−
r
0
|
≈
1
r
+
rr
0
r
3
.
(4.17)
Подставляя (4.17) в (4.16), получим
ϕ
(
r
)
≈
P
e
a
r
+
(
r
,
P
e
a
r
0
a
)
r
3
.
(4.18)
Здесь
q
=
X
a
e
a
есть полный заряд системы, сумма
d
=
X
a
e
a
r
0
a
(4.19)
называется
дипольным моментом
(или электрическим дипольным момен-
том) системы зарядов. Если заряды в системе распределены непрерывно, то
выражения для
q
и
d
принимают вид
q
=
Z
ρ
(
r
0
)
dV
0
,
d
=
Z
ρ
(
r
0
)
r
0
dV
0
.
45
Простейшей системой, обладающей дипольным моментом, является
эле-
ментарный диполь
, который состоит из двух точечных зарядов
+
e
и
−
e
,
находящихся на расстоянии
l
друг от друга. Дипольный момент такой систе-
мы есть
d
=
e
l
,
где вектор
l
направлен от отрицательного заряда к положительному.
Перепишем (4.18), используя введенные обозначения
ϕ
(
r
) =
q
r
+
dr
r
3
+
. . . .
(4.20)
Продолжая разложение (4.17), мы могли бы определить не только диполь-
ный, но и высшие мультипольные моменты системы (квадрупольный и т.д.).
Поэтому разложение (4.20) называется разложением электростатического по-
тенциала по мультипольным моментам. Как следует из вывода, это есть раз-
ложение по степеням
l/r
. Действительно, оценивая второй член в (4.20)
d
∼
ql,
dr
r
3
∼
ql
r
2
,
видим, что он меньше первого в
l/r
раз. Точно так же на больших расстоя-
ниях каждый следующий член разложения по мультиполям меньше преды-
дущего в
l/r
¿
1
раз.
Главным членом в (4.20) является потенциал точечного заряда
ϕ
q
=
q/r
.
Смысл его очевиден: на больших расстояниях детали распределения заряда
не существенны и система эквивалентна точечному заряду, помещенному в
начало координат. Но если полный заряд равен нулю, то первым неисчезаю-
щим членом оказывается
потенциалом диполя
ϕ
d
=
dr
r
3
,
этим определяется его важное значение во многих задачах электродинами-
ки. Такой потенциал создает на больших расстояниях нейтральная система
зарядов (например, молекула).
Дипольный момент электронейтральной системы (у которой
X
e
a
= 0
)
оказывается не зависящим от выбора системы отсчета: сдвинув начало на
вектор
b
r
0
a
=
r
a
+
b
,
будем иметь в новой системе отсчета
d
0
=
X
e
a
r
0
a
=
X
e
a
(
r
a
+
b
) =
X
a
e
a
r
a
+
b
X
a
e
a
=
X
a
e
a
r
a
,