ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1109
Скачиваний: 7
36
Решение уравнений Максвелла
E
и
B
в некоторой области пространства
V
единствен-
ным образом определяется по заданной плотности источников, если заданы начальные
значения поля
E
(
r
,
0)
,
B
(
r
,
0)
во всех точках области и, кроме того, для одного из векто-
ров
E
или
B
задана касательная составляющая
E
τ
|
S
или
B
τ
|
S
на поверхности, ограничи-
вающей эту область в течение всего рассматриваемого промежутка времени.
Для доказательства предположим, что есть два разных поля —
E
1
,
B
1
и
E
2
,
B
2
, кото-
рые являются решениями уравнения Максвелла с одной и той же плотностью источников
и одинаковыми начальными и граничными условиями.
Образуем разности
E
0
=
E
2
−
E
1
и
B
0
=
B
2
−
B
1
. По предположению
E
0
6
= 0
,
B
0
6
= 0
.
Покажем, что
E
0
и
B
0
являются решением уравнений Максвелла с нулевой плотностью
источников и нулевыми начальными и граничными условиями. Функции
E
1
,
B
1
и
E
2
,
B
2
обращают уравнения Максвелла в тождества, а в силу линейности уравнений Максвелла,
из справедливости
rot
B
1
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
1
∂t
,
rot
B
2
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
2
∂t
следует справедливость
rot
B
0
=
1
c
∂
E
0
∂t
.
T.е.
E
0
и
B
0
удовлетворяют уравнениям Максвелла с нулевой плотностью тока
j
0
= 0
.
Начальные значения для
E
0
определяются по
E
1
(
r
,
0)
и
E
2
(
r
,
0)
E
0
(
r
,
0) =
E
2
(
r
,
0)
−
E
1
(
r
,
0)
и в силу сделанных предположений равны нулю. Аналогично, равны нулю начальные
значения
B
0
:
E
0
(
r
,
0) = 0
,
B
0
(
r
,
0) = 0
.
Точно так же, нулевыми являются граничные условия:
E
0
τ
|
S
= 0
или
B
0
τ
|
S
= 0
.
Так как
j
0
= 0
, то аналогично тому, как в п. 3.4 было получено соотношение (3.41), можно
получить
d
dt
Z
v
E
0
2
+
B
0
2
8
π
dV
=
−
c
4
π
I
([
E
0
B
0
]
d
S
) =
−
c
4
π
Z
([
E
0
B
0
]
n
)
dS .
Заметим, что либо вектор
E
,
либо вектор
B
параллелен
n
. Действительно, если, на-
пример,
E
0
τ
= 0
,
то
E
0
k
n
. Поэтому смешанное произведение под интегралом обращается
в нуль, и
Z
V
E
0
2
+
B
0
2
8
π
dV
= const
.
Но поскольку
E
0
=
B
0
= 0
при
t
= 0
, то
const
тоже равна нулю. Это возможно лишь если
E
0
= 0
и
B
0
= 0
тождественно во всех точках объёма.
Сделаем следующие замечания:
37
1) Если рассматривать решение во всем пространстве, а не в ограниченном объеме
V
,
то нужно задавать только начальные условия, так как
E
и
B
стремятся к нулю на
больших расстояниях.
2) Хотя в условии говорится о заданной плотности источников, плотность заряда ни-
где не использовалась, и задание
ρ
для доказательства теоремы не требуется. Дей-
ствительно, уравнение непрерывности
∂ρ/∂t
+ div
j
= 0
определяет
ρ
через
j
с
точностью до начальных значений
ρ
=
−
Z
t
0
div
j
dt
+
ρ
(
r
,
0)
. Но
ρ
(
r
,
0)
находится
по заданным начальным условиям для электрического поля
ρ
(
r
,
0) =
1
4
π
div
E
(
r
,
0)
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§17.
4. Постоянное электрическое поле
Записав общие уравнения электромагнитного поля и выяснив основные
вытекающие из них следствия, перейдем к рассмотрению различных частных
случаев электромагнитных полей. При этом будем переходить от простых
к более сложным случаям. Самым простым примером электромагнитных
полей являются стационарные, которые создаются неподвижными зарядами
или постоянными токами
∂ρ
∂t
= 0
,
∂
j
∂t
= 0
. В этих условиях в уравнениях
Максвелла производные по времени обращаются в нуль
∂
E
∂t
= 0
,
∂
B
∂t
= 0
и
уравнения принимают вид
div
E
= 4
πρ ,
div
B
= 0
,
rot
E
= 0
,
rot
B
=
4
π
c
j
.
(4.1)
Таким образом, система уравнений Максвелла в статическом случае рас-
падаются на две пары уравнений, так что постоянные электрическое и маг-
нитное поля существуют независимо друг от друга. Постоянное электриче-
ское поле создается неподвижными зарядами, постоянное магнитное поле
создается постоянными токами.
4.1. Основные уравнения постоянного электрического по-
ля
Для постоянного электрического (электростатического) поля уравнения
Максвелла имеют вид:
div
E
= 4
πρ ,
(4.2)
rot
E
= 0
.
(4.3)
38
Уравнение (4.3) будет выполняться, если взять напряженность электрическо-
го поля в виде
E
=
−∇
ϕ ,
(4.4)
где
ϕ
— произвольная скалярная функция, так как
rot grad
ϕ
= 0
.
Можно
показать, что не только из (4.4) следует (4.3), но и из (4.3) следует (4.4), то
есть при выборе
E
в виде (4.4) никакие решения уравнения (4.3) потеряны
не были.
Напомним эти известные из интегрального исчисления рассуждения. Из теоремы
Стокса и уравнения (4.3) следует, что циркуляция
E
равна нулю:
I
E
d
l
=
Z
rot
E
d
S
= 0
.
Это означает, что криволинейный интеграл от
E
не зависит от пути интегрирования
Z
1
a
2
E
d
l
=
Z
1
b
2
E
d
l
,
а зависит только от начальной и конечной точки
(2)
Z
(1)
E
d
l
=
ϕ
(1)
−
ϕ
(2) =
−
(2)
Z
(1)
dϕ
=
−
(2)
Z
(1)
∂ϕ
∂l
dl .
Записав производную по направлению через градиент
∂ϕ
∂l
= (
∇
ϕ,
n
l
)
и вводя элемент
контура
d
l
=
n
l
dl
, получим
(2)
Z
(1)
E
d
l
=
−
(2)
Z
(1)
(
∇
ϕ
n
l
)
dl
=
−
(2)
Z
(1)
∇
ϕ d
l
.
Отсюда приходим к (4.4).
Функция
ϕ
, введенная в (4.4), называется
потенциалом электростати-
ческого поля
. Ясно, что потенциал определен с точностью до константы, по-
скольку если
ϕ
0
=
ϕ
+ const
, то
E
=
−∇
ϕ
=
−∇
ϕ
0
.
Потенциальный характер электростатического поля, т.е. возможность пред-
ставить напряженность
E
в виде (4.4), означает, что работа
A
электрических
сил по перемещению заряда
e
из точки 1 в точку 2 не зависит от пути пере-
мещения заряда. Действительно,
A
=
(2)
Z
(1)
e
E
d
l
=
−
e
(2)
Z
(1)
∇
ϕ d
l
=
−
e
(2)
Z
(1)
dϕ
=
−
e
(
ϕ
2
−
ϕ
1
)
,
(4.5)
т.е. работа определяется разностью потенциалов начальной и конечной то-
чек. Если, в частности, эти точки совпадают, то работа обращается в нуль:
A
=
e
I
E
d
l
= 0
.
39
Таким образом, разность потенциалов в двух точках является однозначно
определенной величиной — через неё выражается работа электрических сил
по перемещению заряда между этими точками.
Подставляя (4.4) в (4.2), найдём уравнение, которому удовлетворяет элек-
тростатический потенциал
∆
ϕ
=
−
4
πρ ,
(4.6)
где
∆ =
∇
2
=
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
— оператор Лапласа. Уравнение (4.6) называется
уравнением Пуассона
. В
области, где зарядов нет, т.е.
ρ
= 0
, потенциал удовлетворяет уравнению
Лапласа
∆
ϕ
= 0
.
Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Из соображений
симметрии ясно, что оно будет направлено по радиусу-вектору, проведенно-
му из точки, в которой находится заряд, а его величина зависит только от
расстояния до заряда. Пусть заряд
e
находится в начале координат, тогда
E
=
E
(
r
)
r
r
,
где
r
– радиус-вектор, проведенный из начала координат. Для нахождения
E
применим ( 4.2) в интегральной форме, т.е. теорему Гаусса. В качестве
гауссовой поверхности выберем сферу. Поток через неё равен
I
S
r
E
d
S
=
I
S
r
EdS
=
E
I
S
r
dS
=
E
4
πr
2
.
По теореме Гаусса (3.36.1)
E
4
πr
2
= 4
πe ,
отсюда находим
E
=
e
r
3
r
.
(4.7)
В этом состоит закон Кулона. Естественно, что (4.7) следует из (3.36.1), так
как ранее сама теорема Гаусса (см. cтр. 27) была получена из закона Кулона.
Потенциал
ϕ
связан с напряженностью
E
соотношением
E
=
−∇
ϕ
(
r
) =
−
dϕ
dr
r
r
,
поэтому
dϕ
dr
=
−
e
r
2
,
ϕ
=
e
r
+ const
.
40
Если выбрать потенциал так, чтобы он исчезал на бесконечности,
ϕ
(
∞
) = 0
,
то
ϕ
=
e
r
.
Очевидно, что заряд
e
, находящийся не в начале координат, а в точке с
радиусом-вектором
r
0
, создает в точке
r
поле
ϕ
=
e
|
r
−
r
0
|
,
E
=
e
(
r
−
r
0
)
|
r
−
r
0
|
3
.
Отметим математическое соотношение, получающееся при подстановке в (4.6)
значений
ρ
и
ϕ
для точечного заряда
∆
r
1
|
r
−
r
0
|
=
−
4
πδ
(
r
−
r
0
)
.
(4.8)
Напомним также, что функция
G
(
r
,
r
0
)
, удовлетворяющая уравнению
∆
r
G
(
r
,
r
0
) =
δ
(
r
−
r
0
)
,
называется функцией Грина уравнения Лапласа. Сравнивая две последние
формулы, находим
G
(
r
,
r
0
) =
−
1
4
π
1
|
r
−
r
0
|
.
Линейность уравнений Максвелла обеспечивает выполнение
принципа су-
перпозиции
. Действительно, пусть заряды с плотностью
ρ
1
создают поле
E
1
, а заряды с плотностью
ρ
2
— поле
E
2
. Тогда выполняются равенства
div
E
1
= 4
πρ
1
и
div
E
2
= 4
πρ
2
. Складывая их, получим
div
E
1
+ div
E
2
= 4
πρ
1
+ 4
πρ
2
,
или
div (
E
1
+
E
2
) = 4
π
(
ρ
1
+
ρ
2
)
,
т.е. заряды с плотностью
ρ
1
+
ρ
2
создают поле
E
1
+
E
2
.
Используя закон Кулона и принцип суперпозиции, можно в общем виде
найти поле, создаваемое системой зарядов, распределенных в пространстве
с известной плотностью
ρ
. Заряд
ρ
(
r
0
)
dV
0
,
находящийся в бесконечно малом
объёме
dV
0
, создает в точке наблюдения
r
потенциал
dϕ
=
ρ
(
r
0
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
.
Интегрируя по объёму, приходим к
ϕ
(
r
) =
Z
ρ
(
r
0
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
.
(4.9)