ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1105
Скачиваний: 7
56
— энергия взаимодействия проводников
a
и
b
. Интегрирование производится
по объему проводников. Интегралы в последнем равенстве равны между со-
бой, в чем легко убедится с помощью формулы (5.9). Используя указанную
формулу, найдем
U
ab
=
1
c
2
Z Z
j
a
(
r
)
j
b
(
r
0
)
|
r
−
r
0
|
dV
a
dV
0
b
.
(5.29)
При заданном законе распределения тока по объему проводника плот-
ность тока и создаваемое им поле пропорциональны силе тока:
j
a
∼
J
a
, A
a
∼
J
a
. Поэтому собственную и взаимную энергии можно записать в виде
U
aa
=
J
2
a
2
c
2
L
aa
,
U
ab
=
J
a
J
b
c
2
L
ab
,
(5.30)
где
L
aa
, L
ab
=
L
ba
— коэффициенты, которые не зависят от силы тока, но
зависят от формы и размеров проводника и от распределения токов внутри
проводников. Коэффициент
L
ab
зависит также от взаимного расположения
проводников
a
и
b
.
L
aa
и
L
ab
называются
коэффициентами самоиндукции
и
взаимной индукции
.
Если мы имеем дело с квазилинейными проводниками, то, заменив в (5.29)
j
dV
→
Jd
l
и сравнив результат с (5.30), найдем выражение для взаимной
индукции в виде двойного контурного интеграла
L
ab
=
I I
d
l
a
·
d
l
b
R
ab
.
Видно, что
L
ab
имеет размерность длины, причем по порядку величины
L
ab
≈
l
1
l
2
/R
, где
l
1
и
l
2
— длины проводников,
R
— среднее расстояние
между ними. Однако приближение бесконечно тонкого проводника неприме-
нимо при вычислении коэффициента самоиндукции, так как оно приводит к
расходимости соответствующего интеграла.
Установим связь коэффициентов индуктивности с магнитными потоками
для системы квазилинейных проводников. Заменив в (5.28)
j
a
dV
a
→
J
a
d
l
a
,
получим
U
aa
=
J
a
2
c
I
A
a
d
l
a
=
J
a
2
c
Z
rot
A
a
d
S
a
=
J
a
2
c
Z
B
a
d
S
a
=
1
2
c
J
a
Φ
aa
,
где
Φ
aa
=
Z
B
a
d
S
a
— поток магнитной индукции, создаваемой током в про-
воднике, через поверхность, ограниченную проводником. Аналогичное пре-
образование для
U
ab
приводит к
U
ab
=
1
c
J
a
Φ
ab
=
1
c
J
b
Φ
ba
,
57
где
Φ
ab
=
Z
B
b
d
S
a
— магнитный поток, создаваемый током в проводнике
b
через контур
a
. Сравнивая две последние формулы с (5.30), находим
Φ
aa
=
L
aa
J
a
/c ,
Φ
ab
=
L
ab
J
b
/c ,
(5.31)
т.е. индуктивности выступают как коэффициенты пропорциональности меж-
ду магнитным потоком и силой тока.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§26.
5.4. Токи в квазиоднородном магнитном поле
Пусть система токов, имеющая линейный размер
l
, находится во внешнем
постоянном магнитном поле с векторным потенциалом
A
. Магнитное поле
слабо меняется на протяжении размера системы:
L
À
l
, где
L
– расстояние,
на котором поле изменяется заметным образом. Введем систему координат
с началом в точке
O
. Пусть
r
– вектор, проведенный из
O
к точке
O
0
внутри
системы, а
r
0
– вектор, проведенный из
O
0
к элементу объема
dV
0
, в котором
имеется ток
j
(
r
0
)
. Тогда энергию взаимодействия тока с внешним магнитным
полем можем записать в виде:
U
=
1
c
Z
j
(
r
0
)
A
(
r
+
r
0
)
dV
0
.
(5.32)
Имея в виду медленность изменения магнитного поля, разложим векторный
потенциал
A
по степеням
r
0
. Запишем сначала разложение для компоненты
A
x
A
x
(
r
+
r
0
) =
A
x
(
r
) +
x
0
∂A
x
∂x
+
y
0
∂A
x
∂y
+
z
0
∂A
x
∂z
+
...
=
A
x
(
r
) + (
r
0
∇
)
A
x
+
. . . .
Теперь ясно, что разложение для вектора
A
имеет вид
A
(
r
+
r
0
) =
A
(
r
) + (
r
0
∇
)
A
(
r
)
. . . ,
(5.33)
где оператор
∇
действует на координаты
r
. Энергия
U
выражается как
U
=
1
c
A
(
r
)
Z
j
(
r
0
)
dV
0
+
1
c
Z
j
(
r
0
)(
r
0
∇
)
A
(
r
)
dV
0
.
(5.34)
В силу равенства (5.17) первое слагаемое обращается в нуль. Интеграл во
втором слагаемом преобразуется с помощью формулы ( 5.19), в которой
r
следует заменить вектором
∇
:
Z
j
(
r
0
)(
r
0
∇
r
)
dV
0
=
1
2
Z
[[
r
0
j
(
r
0
)]
∇
r
]
dV
0
.
(5.35)
58
Выражение (5.34) преобразуется к
U
=
1
2
c
Z ³
[[
r
0
j
(
r
0
)]
∇
r
]
A
(
r
)
´
dV
0
=
³ Z
1
2
c
[
r
0
j
(
r
0
)]
dV
0
,
[
∇
A
(
r
)]
´
.
Принимая во внимание определение магнитного момента (5.20) и связь маг-
нитной индукции с векторным потенциалом (5.5), запишем для энергии
U
U
≈
(
MB
)
,
где
B
— индукция внешнего магнитного поля.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§26.
6. Переменное электромагнитное поле
6.1. Уравнения для электромагнитных потенциалов
Запишем снова полную систему уравнений Максвелла
(6
.
1
.
1)
div
B
= 0
,
(6
.
1
.
2)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
(6
.
1
.
3)
div
E
= 4
πρ ,
(6
.
1
.
4)
rot
B
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
∂t
.
(6.1)
Из первого уравнения следует, что вектор
B
может быть представлен как
ротор некоторого другого вектора
A
=
A
(
r
, t
)
:
B
= rot
A
.
(6.2)
Подставляя последнее соотношение в (6.1.2), получим
rot
µ
E
+
1
c
∂
A
∂t
¶
= 0
.
(6.3)
Это означает, что поле
E
может быть представлено в виде
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
− ∇
ϕ ,
(6.4)
где
ϕ
=
ϕ
(
r
, t
)
– некоторая скалярная функция. Обратим внимание, что в
случае статических полей ( 6.2), ( 6.4) совпадают с ( 5.5), ( 4.4). Введенные
величины
A
и
ϕ
называются векторным и скалярным
потенциалами элек-
тромагнитного поля
. Эти потенциалы определены неоднозначно. Как уже
59
отмечалось, добавление к векторному потенциалу градиента произвольной
скалярной функции
A
=
A
0
+
∇
χ
не меняет величины
B
. Чтобы поле
E
при этом тоже не изменилось, необходимо изменить скалярный потенциал
ϕ
=
ϕ
0
−
1
c
∂χ
∂t
. Итак, преобразования
A
=
A
0
+
∇
χ ,
ϕ
=
ϕ
0
−
1
c
∂χ
∂t
(6.5)
не меняют векторов поля
B
и
E
. Эти преобразования называются
градиент-
ными
или
калибровочными преобразованиями
.
Найдем уравнения, которым удовлетворяют электромагнитные потенци-
алы. Для этого подставим (6.2), (6.4) в (6.1.3), (6.1.4)
−
∆
ϕ
−
div
1
c
∂
A
∂t
= 4
πρ ,
∇
div
A
−
∆
A
=
4
π
c
j
−
1
c
2
∂
2
A
∂t
2
−
1
c
∂
∂t
∇
ϕ .
Перегруппировав члены, приходим к
∆
ϕ
+
1
c
∂
∂t
div
A
=
−
4
πρ ,
∇
µ
div
A
+
1
c
∂ϕ
∂t
¶
−
4
π
c
j
= ∆
A
−
1
c
2
∂
2
A
∂t
2
.
Так как потенциалы определены неоднозначно, то на них можно наложить
дополнительные условия, чтобы упростить полученную систему уравнений.
Потребуем, чтобы потенциалы удовлетворяли дополнительному соотноше-
нию
div
A
+
1
c
∂ϕ
∂t
= 0
,
(6.6)
которое называется
условием Лоренца
. В результате получаем для
ϕ
и
A
разделенные уравнения
∆
ϕ
−
1
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
=
−
4
πρ ,
∆
A
−
1
c
2
∂
2
A
∂t
2
=
−
4
π
c
j
,
(6.7)
которые в математике называются неоднородными волновыми уравнениями
или неоднородными уравнениями Даламбера. Таким образом, мы пришли к
другой форме законов электродинамики, в точности эквивалентной уравне-
ниям Максвелла; во многих случаях уравнения для потенциалов оказывают-
ся более простыми в обращении.
60
Введем оператор Даламбера
¤
= ∆
−
1
c
2
∂
2
∂t
2
.
(6.8)
С его использованием уравнения для потенциалов записываются в виде
¤
ϕ
=
−
4
πρ ,
¤
A
=
−
4
π
c
j
.
(6.9)
Условие Лоренца не устраняет произвола в выборе потенциалов, а лишь огра-
ничивает класс допустимых функций
χ
, осуществляющих градиентное пре-
образование. Пусть на потенциалы
A
, ϕ
наложено условие Лоренца (6.6).
Перейдем к новым потенциалам
A
0
, ϕ
0
с помощью преобразования (6.5). По
условию имеем равенства
div
A
+
1
c
∂ϕ
∂t
= div
A
0
+∆
χ
+
1
c
∂ϕ
0
∂t
−
1
c
2
∂
2
χ
∂t
2
= div
A
0
+
1
c
∂ϕ
0
∂t
+∆
χ
−
1
c
2
∂
2
χ
∂t
2
= 0
.
Следовательно, потенциалы поля, удовлетворяющие условию Лоренца мож-
но преобразовывать с помощью соотношения (6.5), если функция
χ
подчиня-
ется однородному уравнению Даламбера
¤
χ
= 0
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§18; [9] гл.18,§6.
6.2. Электромагнитные волны
Рассмотрим электромагнитные поля, которые могут существовать в от-
сутствие токов и зарядов. Уравнения для их потенциалов получим, положив
в (6.7)
ρ
= 0
,
j
= 0
:
¤
A
= 0
,
¤
ϕ
= 0
.
(6.10)
В отличие от статического случая, для переменных полей эти уравнения мо-
гут иметь ненулевые решения. При этом изменение состояния (возмущение)
поля, существующего самостоятельно, без зарядов и токов обязательно име-
ет волновой характер. Поля такого рода называются
электромагнитными
волнами
.
В предыдущем разделе было отмечено, что условием Лоренца потенци-
алы определяются ещё не однозначно. Оказывается, что при отсутствии за-
рядов всегда с помощью градиентного преобразования можно обратить ска-
лярный потенциал в нуль.