ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1106
Скачиваний: 7
61
Действительно, пусть электромагнитная волна описывается потенциалами
A
,
ϕ
. Пе-
рейдем к потенциалу
ϕ
0
с помощью преобразования
ϕ
=
ϕ
0
−
1
c
∂χ
∂t
,
в котором
χ
удовлетворяет уравнению
¤
χ
= 0
.
Дифференцируя это уравнение по времени, получим
¤
µ
1
c
∂χ
∂t
¶
= 0
.
Но такому же уравнению при
ρ
= 0
удовлетворяет скалярный потенциал. Это дает воз-
можность выбрать
χ
таким, чтобы
ϕ
0
равнялся нулю и иметь дело только с векторным
потенциалом.
Итак, будем считать, что
ϕ
= 0
и электромагнитное поле описывается
только векторным потенциалом
A
, который удовлетворяет однородному вол-
новому уравнению
∆
A
−
1
c
2
∂
2
A
∂t
2
= 0
.
(6.11)
Условие Лоренца принимает вид
div
A
= 0
.
(6.12)
Векторы поля
E
,
B
связаны с потенциалом
A
формулами
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
,
B
= rot
A
,
(6.13)
используя которые можно проверить, что
E
,
B
тоже удовлетворяет волново-
му уравнению
¤
E
= 0
,
¤
B
= 0
.
(6.14)
Из (6.11), (6.14) следует, что любая компонента
f
векторов
A
,
E
,
B
удо-
влетворяет волновому уравнению
∆
f
−
1
c
2
∂
2
f
∂t
2
= 0
.
Рассмотрим сначала решения этого уравнения, зависящие только от одной
координаты (
x
) и времени
t
. Такие решения называются
плоскими волнами
.
Уравнение на функцию
f
(
x, t
)
есть, очевидно, одномерное волновое уравне-
ние
∂
2
f
∂x
2
−
1
c
2
∂
2
f
∂t
2
= 0
.
(6.15)
62
Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение этого уравнения
имеет вид
f
(
x, t
) =
f
1
(
x
−
ct
) +
f
2
(
x
+
ct
)
,
(6.16)
где
f
1
и
f
2
— произвольные функции. Выясним смысл этого решения. Рас-
смотрим первое слагаемое в (6.16). Очевидно, что
f
1
(
x
−
ct
)
имеет одинаковое
значение для координат
x
и моментов времени
t
, удовлетворяющих соотно-
шениям
x
−
ct
= const
(условие постоянства аргумента). Это значит, что
если в момент времени
t
= 0
в некоторой точке
x
поле имело определенное
значение, то через промежуток времени
t
то же самое значение поле имеет
на расстоянии
ct
вдоль оси
x
от первоначального места. Можно сказать, что
все значения электромагнитного поля распространяются в пространстве со
скоростью
c
.
Таким образом,
f
1
(
x
−
ct
)
представляет собой плоскую волну, бегущую в
положительном направлении оси
x
. Очевидно, что
f
2
(
x
+
ct
)
представляет
собой волну, бегущую в отрицательном направлении оси
x
. Решение (6.16)
есть наложение двух возмущений (бегущих плоских волн), каждое из кото-
рых распространяется вдоль оси
x
(в сторону возрастания или убывания
x
)
со скоростью
c
.
Определим теперь взаимную ориентацию векторов
E
,
B
и направления
распространения поля. Рассмотрим волну, бегущую вправо вдоль оси
x
, век-
торный потенциал которой
A
(
x
−
ct
)
≡
A
(
ξ
)
.
Будем обозначать штрихом производную по аргументу
ξ
d
A
dξ
=
A
0
.
Из условия (6.12) следует
div
A
=
∂A
x
∂x
=
A
0
x
= 0
,
(6.17)
так что вектор
A
0
не имеет проекции вдоль направления распространения
волны:
A
0
⊥
n
,
n
— единичный вектор в направлении распространения волны.
Вычисляя напряженность электрического поля в соответствии с (6.13)
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
=
−
1
c
A
0
(
−
c
) =
A
0
,
видим, что и
E
⊥
n
.
63
Найдем магнитное поле
B
= rot
A
. Для вычисления ротора можно ис-
пользовать декартову систему координат:
B
x
=
∂A
z
∂y
−
∂A
y
∂z
=
dA
z
dξ
∂ξ
∂y
−
dA
y
dξ
∂ξ
∂z
= [
∇
ξ,
A
0
]
x
и аналогично для
B
y
и
B
z
. В результате получаем
B
= [
nA
0
]
,
(6.18)
или
B
= [
nE
]
.
(6.19)
Мы видим, что электрическое и магнитное поля
E
и
B
плоской волны на-
правлены перпендикулярно направлению распространения волны — плоские
электромагнитные волны в вакууме поперечны. Из (6.19) видно, далее, что
электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг дру-
гу и равны по абсолютной величине
B
⊥
E
,
B
=
E .
Вычислим вектор Пойнтинга в плоской волне. Поскольку
En
= 0
, то
g
=
c
4
π
[
EB
] =
c
4
π
[
E
[
nE
]] =
c
4
π
E
2
n
=
c
(
E
2
+
B
2
)
8
π
n
=
cW
n
,
(6.20)
где
W
=
E
2
+
B
2
8
π
— плотность электромагнитной энергии в плоской волне. Полученная форму-
ла наглядно демонстрирует перенос энергии в направлении распространения
волны со скоростью
c
.
Любая электромагнитная волна может быть представлена как суперпози-
ция плоских волн. Часто, однако, удобнее представлять поле в виде
сфери-
ческих волн
. Нетрудно получить соответствующее решение волнового урав-
нения. Оператор Лапласа
∆
, действующий на сферически-симметричную
функцию
U
(
r, t
)
, может быть представлен в виде (2.17), поэтому волновое
уравнение вне области, занятой источниками, записывается как
1
r
∂
2
∂r
2
(
rU
)
−
1
c
2
∂
2
U
∂t
2
= 0
.
(6.21)
Если искать его решение в виде
U
(
r, t
) =
f
(
r, t
)
r
,
64
то новая функция
f
(
r, t
)
будет удовлетворять одномерному волновому урав-
нению (ср. (6.15))
∂
2
f
∂r
2
−
1
c
2
∂
2
f
∂t
2
= 0
,
решения которого уже были найдены. Таким образом, общее решение (6.21)
уравнения имеет вид
U
=
f
1
(
r
−
ct
)
r
+
f
2
(
r
+
ct
)
r
.
(6.22)
Первое слагаемое описывает сферическую волну, расходящуюся из начала
координат со скоростью
c
. Ее амплитуда убывает с удалением от центра как
r
−
1
в силу того, что заданный поток энергии распределяется на все большую
площадь. Второе слагаемое описывает волну, испущенную из бесконечности
и сходящуюся к центру.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§27; [4] §§46,47.
6.3. Плоские монохроматические волны
Важным частным случаем электромагнитных волн является волна, в ко-
торой все величины зависят от времени по простому периодическому (гармо-
ническому) закону
cos(
ωt
+
α
)
. Такие волны называют
монохроматически-
ми
. Напомним, что любую периодическую функцию можно разложить в ряд
Фурье по гармоническим функциям
f
(
t
) =
X
n
=0
,
±
1
...
f
n
e
inωt
,
а “почти любую” непериодическую функцию можно представить в виде ин-
теграла Фурье
f
(
t
) =
∞
Z
−∞
f
ω
e
iωt
dω .
Величины
f
n
,
f
ω
характеризуют вклад гармонического колебания с частотой
ω
в
f
(
t
)
.
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в
положительном направлении оси
x
. В плоской волне зависимость всех вели-
чин от координат и времени имеет вид
x
−
ct
=
−
c
(
t
−
x
c
)
.
Поэтому в плоской монохроматической все величины зависят от
x, t
следую-
щим образом
cos (
ω
(
t
−
x/c
) +
α
) = cos(
ωt
−
kx
+
α
)
,
(6.23)
65
где
k
=
ω
c
– волновое число,
ω
– циклическая частота,
ωt
−
kx
+
α
– фаза
волны. Функция (6.23) периодична по
x
и
t
. Найдем период волны по времени
при фиксированной координате
ω
(
t
+
T
)
−
ωt
= 2
π ,
T
=
2
π
ω
и период по координате при фиксированном времени
k
(
x
+
λ
)
−
kx
= 2
π ,
λ
=
2
π
k
=
2
π
ω
c
=
cT .
Здесь
λ
— длина волны (расстояние, которое проходит волна за период
T
).
Запишем компоненты векторного потенциала в плоской монохроматиче-
ской волне, распространяющейся в положительном направлении оси
x
. В
этом случае
A
0
x
= 0
(см. (6.17)), так что и
∂A
x
/∂t
= 0
. Ясно, что постоянная
по времени составляющая
A
x
не может иметь отношение к электромагнитной
волне, поэтому можно положить ее равной нулю. Две другие составляющие
зависят от
x, t
по закону (6.23):
A
x
= 0
,
A
y
=
a
0
y
cos(
ωt
−
kx
+
α
y
)
,
A
z
=
a
0
z
cos(
ωt
−
kx
+
α
z
)
.
Выражения для
A
y
и
A
z
перепишем в виде
A
y
=
a
0
y
Re
n
e
−
iα
y
e
i
(
kx
−
ωt
)
o
,
A
z
=
a
0
z
Re
n
e
−
iα
z
e
i
(
kx
−
ωt
)
o
.
Введем комплексный вектор
A
0
=
¡
0
, a
0
y
e
−
iα
y
, a
0
z
e
−
iα
z
¢
,
тогда
A
= Re
n
A
0
e
i
(
kx
−
ωt
)
o
.
Введем волновой вектор
k
соотношением
k
=
k
n
,
где
n
— направление распространения волны. Теперь можем записать
kx
=
kr
(напомним, что мы рассматриваем волну, распространяющуюся вдоль оси
x
) и представить векторный потенциал в окончательном виде
A
= Re
n
A
0
e
i
(
kr
−
ωt
)
o
.