ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1103
Скачиваний: 7
66
В такой же форме можем записать и, например, вектор электрического поля
E
= Re
n
E
0
e
i
(
kr
−
ωt
)
o
,
(6.24)
где постоянный комплексный вектор
E
0
выражается через
A
0
.
Линейные операции (например, дифференцирование) и взятие веществен-
ной части — перестановочны. Поэтому до тех пор, пока над величинами про-
изводятся лишь линейные операции, можно опускать знак взятия веществен-
ной части и оперировать с комплексными величинами как таковыми (хотя
физический смысл имеет лишь их вещественная часть). Иметь дело с экспо-
нентой математически гораздо удобнее, чем с тригонометрическими функци-
ями, поскольку применение дифференциальных операторов не изменяет ее
вида. Так, подставив
A
=
A
0
e
i
(
kr
−
ωt
)
в (6.13), получим связь между напряженностями и векторным потенциалом
в плоской монохроматической волне
E
=
ik
A
,
B
= [
∇
(
i
(
kr
−
ωt
))
,
A
] =
i
[
kA
] = [
nE
]
(ср. (6.19) для плоской волны с произвольной зависимостью от времени).
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§28; [4] §48; [9] гл.20,§§1,2.
6.4. Поляризация волны
Ранее мы выяснили, что в плоской волне вектора
E
и
B
перпендикулярны
друг другу и направлению распространения волны в каждой точке простран-
ства. При этом
E
и
B
, вообще говоря, меняются по направлению. Характер
их движения называется
поляризацией
.
Запишем вектор электрического поля в плоской монохроматической волне
в виде (6.24):
E
= Re
n
E
0
e
i
(
kr
−
ωt
)
o
.
Выберем ось
x
по направлению распространения волны. Оказывается, что
в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны мож-
но выбрать оси
y
и
z
так, что компоненты
E
y
, E
z
будут иметь следующую
зависимость от
x
и
t
:
E
y
=
E
1
cos(
ωt
−
kx
+
α
)
,
E
z
=
±
E
2
sin(
ωt
−
kx
+
α
)
.
(6.25)
Проведем соответствующие вычисления. Разложим комплексную амплитуду
E
0
на
два вещественных вектора
E
0
=
g
1
+
i
g
2
:
E
= Re
{
(
g
1
+
i
g
2
)(cos (
ωt
−
kr
)
−
i
sin (
ωt
−
kr
))
}
=
=
g
1
cos (
ωt
−
kr
) +
g
2
sin (
ωt
−
kr
)
.
(6.26)
67
Скомбинируем из
g
1
и
g
2
взаимно перпендикулярные векторы
E
1
и
E
2
. Для этого запишем
E
1
=
g
1
cos
α
−
g
2
sin
α ,
E
2
=
g
1
sin
α
+
g
2
cos
α ,
(6.27)
где
α
– некоторый угол, который следует найти. Перемножая
E
1
и
E
2
скалярно, имеем
E
1
E
2
= 0
,
(
g
2
1
−
g
2
2
) sin
α
cos
α
+
g
1
g
2
(cos
2
α
−
sin
2
α
) = 0
,
откуда
tg 2
α
=
2
g
1
g
2
g
2
1
−
g
2
2
.
Выразив из (6.27)
g
1
,
g
2
через
E
1
,
E
2
g
1
=
E
1
cos
α
+
E
2
sin
α ,
g
2
=
E
2
cos
α
−
E
1
sin
α
и подставляя в (6.26), находим
E
=
E
1
cos(
ωt
−
kr
+
α
) +
E
2
sin(
ωt
−
kr
+
α
)
.
Напомним, что направление распространения волны выбрано за ось
x
. Если ориен-
тировать ось
y
по вектору
E
1
, то вектор
E
2
будет направлен по оси
z
(в положительную
или отрицательную стороны). Теперь очевидно, что
E
в этой системе координат имеет
вид (6.25).
Из (6.25) следует, что компоненты
E
y
,
E
z
связаны уравнением
E
2
y
E
2
1
+
E
2
z
E
2
2
= 1
.
(6.28)
Мы видим, таким образом, что в каждой точке пространства вектор элек-
трического поля вращается в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
пространения волны, причем его конец описывает эллипс (6.28). Такая волна
называется
эллиптически поляризованной
. Вращение происходит в направ-
лении по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси
x
, соот-
ветственно при знаке плюс или минус в (6.25).
Если
E
1
=
E
2
, то эллипс (6.28) превращается в круг, т.е. вектор
E
враща-
ется, оставаясь постоянным по величине. В этом случае говорят о
циркуляр-
но поляризованной
волне. Выбор осей
y
и
z
при этом становится, очевидно,
произвольным.
Наконец, если
E
1
или
E
2
равно нулю, то поле волны направлено везде
и всегда параллельно (или антипараллельно) одному и тому же направле-
нию. Волну называют в этом случае
линейно поляризованной
или поляризо-
ванной в плоскости. Эллиптически поляризованную волну можно, очевидно,
рассматривать как наложение двух линейно поляризованных волн.
Электрический вектор в плоской монохроматической часто записывается
следующим образом (ср. (6.24))
E
=
E
0
Re
n
e
e
i
(
kr
−
ωt
)
o
,
(
e
∗
e
) = 1
,
(6.29)
68
где
E
0
– вещественная амплитуда волны,
e
– единичный комплексный
век-
тор поляризации
. В системе координат, в которой эллипс поляризации имеет
канонический вид (6.28) (т.е. той, о которой шла речь выше) для вектора
e
можем записать (считаем, что ось
y
направлена вдоль главной оси эллипса
поляризации, т.е., что в (6.28)
E
1
> E
2
)
e
=
e
y
+
iη
e
z
p
1 +
η
2
.
(6.30)
Величина
η
может принимать значения от
−
1
до
+1
, соответствующие всем
видам эллиптической поляризации от левой круговой (
η
=
−
1
) до правой
круговой (
η
= +1
). При
η
= 0
волна линейно поляризована вдоль оси
y
.
Величина
l
= (
ee
) =
1
−
η
2
1 +
η
2
называется степенью линейной поляризации
волны; очевидно, что
0
6
l
6
1
, причем
l
= 1
при
η
= 0
и
l
= 0
при
η
=
±
1
.
Выражение
A
=
2
η
1 +
η
2
называется степенью круговой поляризации волны.
Нетрудно проверить, что
l
2
+
A
2
= 1
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§28; [4] §48; [5] Ч.I,§34.
6.5. Запаздывающие потенциалы
В разд. 4, 5 мы изучали постоянное поле, создаваемое покоящимися за-
рядами, в разд. 6.2 — переменное поле, но в отсутствие зарядов. Займемся
теперь изучением переменных полей при наличии произвольно движущихся
зарядов. Потенциалы электромагнитного поля определяются уравнениями
(6.7):
∆
ϕ
−
1
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
=
−
4
πρ ,
(6.31)
∆
A
−
1
c
2
∂
2
A
∂t
2
=
−
4
π
c
j
,
(6.32)
где
ρ
(
r
, t
)
,
j
(
r
, t
)
некоторые функции координат и времени. Следует подчерк-
нуть, что постановка задачи о нахождении электромагнитного поля при за-
данных источниках
ρ,
j
с самого начала носит приближенный характер. В
действительности создаваемое заряженными частицами поле влияет на их
движение, поэтому стоящие в правых частях
ρ,
j
сами зависят от искомых
потенциалов. Но во многих случаях обратным влиянием поля на движение
зарядов можно пренебречь.
Решение неоднородных линейных уравнений ( 6.31), ( 6.32) может быть
представлено, как известно, в виде суммы общего решения этих же уравне-
ний без правой части и частного решения уравнений с правой частью. Для
69
нахождения этого частного интеграла разделим все пространство на беско-
нечно малые участки и определим поле, создаваемое зарядом, находящимся
в одном из таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений истин-
ное поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми такими элементами.
Заряд
de
в заданном элементе объема является, вообще говоря, функцией от времени.
Если выбрать начало координат в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда
ρ
=
de
(
t
)
δ
(
r
)
,
r
– радиус-вектор, проведенный из начала координат. Чтобы найти поле,
создаваемое рассматриваемым зарядом, необходимо решить уравнение
∆
ϕ
−
1
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
=
−
4
πde
(
t
)
δ
(
r
)
.
(6.33)
Везде, кроме начала координат,
δ
(
r
) = 0
, и мы имеем уравнение
∆
ϕ
−
1
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
= 0
.
(6.34)
Очевидно, что в рассматриваемом случае
ϕ
обладает сферической симметрией, т.е.
ϕ
=
ϕ
(
r, t
)
. Поэтому, если написать оператор Лапласа в сферических координатах, то (6.34)
примет вид:
1
r
∂
2
∂r
2
(
rϕ
)
−
1
c
2
∂
2
ϕ
∂t
2
= 0
.
(6.35)
Для решения этого уравнения сделаем подстановку
ϕ
=
χ
(
r, t
)
/r
. Тогда для
χ
получим
∂
2
χ
∂r
2
−
1
c
2
∂
2
χ
∂t
2
= 0
.
Но это есть уравнение плоских волн, решение которого имеет вид (см. разд. (6.2))
χ
=
f
1
³
t
−
r
c
´
+
f
2
³
t
+
r
c
´
.
Поскольку мы ищем поле, создаваемое зарядом, находящимся в начале координат, то
надо оставить только расходящуюся волну
ϕ
=
f
(
t
−
r/c
)
r
.
(6.36)
Функция
f
в этом равенстве пока произвольна; выберем ее теперь так, чтобы получить
правильное значение для потенциала также и в начале координат. Иначе говоря, мы долж-
ны подобрать
f
так, чтобы в начале координат выполнялось уравнение (6.33). Это можно
сделать, заметив, что при
r
→
0
потенциал
ϕ
стремится к бесконечности, а потому его
производные по координатам растут быстрее, чем производные по времени. Следователь-
но, при
r
→
0
в уравнении (6.33) можно пренебречь членом
1
c
2
∂
2
∂t
2
ϕ
по сравнению с
∆
ϕ
.
Тогда оно переходит в уравнение для потенциала электростатического поля (4.6), которое
приводит к закону Кулона. Таким образом, в начале координат формула (6.36) должна
переходить в закон Кулона, откуда
ϕ
=
de
(
t
−
r/c
)
r
.
Отсюда легко перейти к решению уравнения (6.33) для произвольного распределения
зарядов. Для этого надо положить
de
=
ρdV
и проинтегрировать по всему пространству.
70
В результате приходим к следующему выражению для скалярного потен-
циала
ϕ
(
r
, t
) =
Z
ρ
(
r
0
, t
−
|
r
−
r
0
|
c
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
.
(6.37)
Аналогичную формулу можно получить для векторного потенциала
A
(
r
, t
) =
1
c
Z
j
(
r
0
, t
−
|
r
−
r
0
|
c
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
.
(6.38)
Напомним, что (6.37), (6.38) есть частные интегралы уравнений (6.31),
(6.32); обратим внимание что они не содержат никаких произвольных посто-
янных. Эти решения называются
запаздывающими потенциалами
.
Общее решение
ϕ
н.у.
неоднородных уравнений (6.31), (6.32) получим, при-
бавив к (6.37), (6.38) решение
ϕ
0
этих же уравнений без правой части
ϕ
н.у.
=
ϕ
0
+
ϕ ,
A
н.у.
=
A
0
+
A
.
(6.39)
Потенциалы
ϕ
0
и
A
0
, никак не зависящие от
ρ
и
j
, физически соответствуют
внешнему полю, действующему на систему. Потенциалы
ϕ
и
A
соответству-
ют полю, созданному самой системой; характер этого поля будет выяснен в
разд. (7.1).
Вид временного аргумента в (6.37), (6.38) показывает, что поле в точке
r
в момент
t
определяется состоянием источников в предшествующий момент времени
t
0
=
t
−|
r
−
r
0
|
/c
,
отличающийся на время распространения электромагнитного возмущения от источника в
точку наблюдения. Но следует подчеркнуть, что законы электродинамики не утверждают,
что при движении зарядов поля, оставаясь статическими, начинают просто запаздывать.
Например, потенциал поля движущегося точечного заряда
e
не равен
ϕ
(
r
, t
) =
e
|
r
−
r
0
|
(неверно)
,
где
r
0
— радиус-вектор точки, в которой заряд находился в момент
t
− |
r
−
r
0
|
/c
, а опреде-
ляется более сложной формулой (потенциалами Льенара-Вихерта).
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§32; [4] §62; [9] гл.21,§§2,3.
7. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
7.1. Поле системы зарядов на далеких расстояниях
Общие формулы для запаздывающих потенциалов ( 6.37), ( 6.38) весь-
ма сложны. Действительно, для вычисления потенциалов поля необходимо
брать значение плотности заряда и плотности тока в разные моменты вре-
мени в каждой точке системы. Поэтому конкретных точных выражений для