ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1104
Скачиваний: 7
71
ϕ
и
A
с помощью этих формул получить не удается. Если, однако, точка
наблюдения находится достаточно далеко от системы движущихся зарядов,
выражения (6.37), (6.38) можно существенно упростить. Итак, пусть заряды
движутся в области, размер которой
a
, а поле рассматривается на больших
расстояниях
r
À
a
. Тогда выражение
|
r
−
r
0
|
в (6.37), (6.38) можно разложить
в ряд
|
r
−
r
0
|
= (
r
2
−
2
rr
0
+
r
0
2
)
1
2
=
r
Ã
1
−
2
rr
0
r
2
+
r
0
2
r
2
!
1
2
≈
r
µ
1
−
nr
0
r
¶
=
r
−
nr
0
,
(7.1)
где
n
=
r
r
— единичный вектор в направлении точки наблюдения. В знамена-
телях (6.37), (6.38) можно оставить только первый член из (7.1),
1
|
r
−
r
0
|
≈
1
r
.
В аргументах
ρ
и
j
в числителе оставляем два слагаемых:
ρ
µ
r
0
, t
−
|
r
−
r
0
|
c
¶
=
ρ
µ
r
0
, t
−
r
c
+
nr
0
c
¶
и аналогично для
j
. Хотя
nr
0
c
¿
r
c
, но последнее слагаемое в аргументах
ρ
и
j
можно отбросить лишь в том случае, когда за время
nr
0
c
конфигурация
зарядов в системе не успевает заметно измениться.
После упрощений запаздывающие потенциалы принимают вид
ϕ
(
r
, t
) =
1
r
Z
ρ
µ
r
0
, t
−
r
c
+
nr
0
c
¶
dV
0
,
(7.2)
A
(
r
, t
) =
1
c r
Z
j
µ
r
0
, t
−
r
c
+
nr
0
c
¶
dV
0
.
(7.3)
Уже отсюда становится ясно, что при фиксированном
n
=
r
r
зависимость от
r
и
t
в (7.2), (7.3) аналогична той, которая имеется в расходящейся сфери-
ческой волне (6.21). Другими словами, запаздывающие потенциалы на боль-
ших расстояниях имеют асимптотику расходящихся сферических волн. Это
и говорит о том, что произвольно движущиеся системы зарядов излучают
электромагнитные волны. Теперь можно сказать, что в уравнении (6.39)
ϕ
н.у.
=
ϕ
0
+
ϕ
ϕ
0
есть внешняя электромагнитная волна, а
ϕ
—
электромагнитная волна
,
созданная самой системой.
72
Найдем теперь электрические и магнитные поля, создаваемые системой
зарядов на большом расстоянии. Поскольку выражения для
ϕ
и
A
при
r
À
a
известны, то можно было бы воспользоваться связью векторов напряженно-
сти поля с потенциалами
E
=
−
1
c
∂
A
∂t
− ∇
ϕ,
B
= rot
A
,
причем производные в правой части вычислять приближенно (в частности,
не дифференцировать
1
r
, так как возникающее при этом слагаемое будет
иметь дополнительную малость на больших расстояниях). Но можно и вооб-
ще не проводить вычислений, а рассуждать следующим образом.
На достаточно больших расстояниях от системы поле на малых участках
пространства можно рассматривать как плоскую волну. Анализ показывает,
что для этого необходимо, чтобы расстояния были велики не только по срав-
нению с размерами системы (
r
À
a
), но и по сравнению с длиной излучаемых
волн (
r
À
λ
). Об этой области говорят как о
волновой зоне
излучения.
В плоской волне поля
E
и
B
связаны друг с другом соотношением (6.19)
B
= [
nE
]
.
Умножив это равенство векторно на
n
[
nB
] = [
n
[
nE
]] =
n
(
nE
)
−
E
(
nn
) =
{
(
nE
) = 0
}
=
−
E
,
выразим
E
через
B
и
n
E
= [
Bn
]
.
(7.4)
Кроме того, в плоской волне (см. (6.18))
B
= [
nA
0
]
, где
A
0
=
d
A
dξ
,
ξ
=
x
−
ct
(волна распространяется вдоль оси
x
). Поэтому
B
=
1
c
[ ˙
An
]
,
(7.5)
где
˙
A
=
∂
A
∂t
.
Таким образом, зная векторный потенциал
A
, находим
B
из (7.5) и
E
из (7.4)
E
=
1
c
h
[ ˙
An
]
n
i
.
(7.6)
Дифференцируя по времени
A
в (7.3), найдем, что при
r
→ ∞
˙
A
=
1
c r
Z
j
0
t
µ
r
0
, t
−
r
c
+
nr
0
c
¶
dV
0
∼
1
r
.
73
Отсюда и из (7.5), (7.6) следует, что на далеких расстояниях напряженности
поля оказывается обратно пропорциональными первой степени расстояния
от излучающей системы,
E, B
∼
1
r
, т.е. спадают медленнее постоянного поля.
Излучаемые системой электромагнитные волны уносят с собой опреде-
ленную энергию. Поток энергии дается вектором Пойнтинга
g
=
c
4
π
[
EB
]
,
который в плоской волне равен
g
=
c
B
2
4
π
n
,
т.е. через единичную площадку, перпендикулярную
n
, в единицу времени
протекает количество энергии, равное
|
g
|
=
c
B
2
4
π
.
Введем понятие
интенсивности излучения
dI
в элемент телесного угла
d
Ω
как количества энергии, протекающей в единицу времени
t
через элемент
площади
dS
=
r
2
d
Ω
шаровой поверхности с центром в начале координат и с
радиусом
r
. Это количество равно, очевидно,
dI
=
c
4
π
B
2
r
2
d
Ω
.
(7.7)
Поскольку поле
B
обратно пропорционально
r
, то, как видим, количество
энергии, излучаемое системой в единицу времени
t
в элемент телесного угла
d
Ω
, одинаково для всех расстояний (при одинаковой разности
t
−
r
c
). Так
и должно быть, поскольку излучаемая системой энергия распространяется
в окружающем пространстве со скоростью
c
, нигде не накапливаясь и не
исчезая.
Рекомендуемая литература: [4] §66; [5] Ч.I,S26.
7.2. Дипольное излучение
Проведем дальнейшее упрощение приближенного выражения ( 7.3) для
векторного потенциала на больших расстояниях. Очевидно, временем
nr
0
/c
∼
a/c
в подынтегральном выражении (7.3) можно пренебречь, если за это вре-
мя распределение зарядов мало изменяется. Найдем соотношения, которые
выражают это условие. Пусть
T
— характерное время, за которое заряды
смещаются заметным образом (например, при периодическом движении
T
есть время порядка периода движения зарядов).
Раскладывая
j
в (7.3) по
nr
0
/c
j
µ
r
0
, t
−
r
c
+
nr
0
c
¶
≈
j
³
r
0
, t
−
r
c
´
+
nr
0
c
∂
j
∂t
(7.8)
74
и оценивая производную
∂
j
∂t
∼
j
T
, видим, что второй член в ( 7.8) можно
отбросить, если
a
c
¿
T ,
т.е. время распространения электромагнитных возмущений в пределах из-
лучающей системы мало по сравнению с характерным временем движения
зарядов в системе. Последнее неравенство может быть переписано следую-
щим образом:
a
¿
λ
(7.9)
— размеры системы должны быть малы по сравнению с длиной излучаемой
волны
λ
=
cT
.
Условие (7.9) можно записать и в другом виде. Пусть
v
— характерная
скорость движения зарядов, тогда
T
∼
a
v
, так что
λ
∼
ca/v
. Из (7.9) находим
тогда
v
¿
c ,
(7.10)
т.е. скорости зарядов должны быть малы по сравнению со скоростью света.
Будем считать, что условие (7.9), (7.10) выполняется, и в разложении (7.8)
оставим только один член. Тогда для векторного потенциала (7.3) имеем
A
(
r
, t
) =
1
cr
Z
j
³
r
0
, t
−
r
c
´
dV
0
.
Подставляя сюда выражение
j
=
X
e
a
v
a
δ
µ
r
0
−
r
a
µ
t
−
r
0
c
¶¶
для плотности тока, преобразуем
A
к виду
A
(
r
, t
) =
1
cr
X
e
a
v
a
=
1
cr
d
dt
X
e
a
r
a
.
Вспоминая определение дипольного момента, окончательно запишем
A
(
r
, t
) =
1
cr
˙
d
µ
t
−
r
0
c
¶
.
(7.11)
Зная векторный потенциал в волновой зоне, найдем
B
и
E
по формулам (7.5),
(7.6):
B
=
1
c
[ ˙
An
] =
1
c
2
r
[¨
dn
]
,
(7.12)
E
= [
Bn
] =
1
c
2
r
h
[¨
dn
]
n
i
(7.13)
75
Мы видим, что в рассматриваемом приближении все характеристики излуче-
ния определяются дипольным моментом системы. Такое излучение называет-
ся
дипольным
. Приближение, в котором вычислены поля
E
и
B
называется
дипольным приближением
, условие применимости дипольного приближения
состоит в выполнении неравенств (7.9), (7.10).
Если
¨
d
= 0
, то дипольное излучение отсутствует. В частности, диполь-
ное излучение отсутствует, если заряды движутся равномерно. Отсутствие
излучения (в том числе, дипольного) при равномерном движении зарядов
непосредственно следует из принципа относительности, так как равномерно
движущийся заряд можно рассматривать в такой системе, где он покоится,
а покоящиеся заряды не излучают. Таким образом, заряды могут излучать
только, если они движутся с ускорением.
Подставляя (7.12) в (7.7), найдем интенсивность дипольного излучения
dI
=
c
4
π
B
2
r
2
d
Ω =
1
4
πc
3
[¨
dn
]
2
d
Ω =
1
4
πc
3
¨
d
2
sin
2
θd
Ω
,
(7.14)
где
θ
— угол между векторами
¨
d
и
n
. Это есть количество энергии, излуча-
емой системой в единицу времени в элемент телесного угла
d
Ω
. Подставив
d
Ω = sin
θdθdϕ
и интегрируя по
dθ
от
0
до
π
и по
dϕ
от
0
до
2
π
, найдем
полную интенсивность излучения
I
=
Z
dI
=
1
2
c
3
¨
d
2
π
Z
0
sin
2
θ
sin
θdθ
=
{
cos
θ
=
x
}
=
1
2
c
3
¨
d
2
1
Z
−
1
(1
−
x
2
)
dx .
(7.15)
Окончательно,
I
=
2¨
d
2
3
c
3
.
(7.16)
Если имеется всего один движущийся во внешнем поле заряд, то
d
=
e
r
и
¨
d
=
e
w
, где
w
– ускорение заряда. Полное излучение движущегося заряда
I
=
2
e
2
w
2
3
c
3
(7.17)
есть энергия, которую заряд теряет в единицу времени. В частности, движу-
щийся по орбите электрон должен терять энергию и падать на ядро. Клас-
сическая физика не может объяснить устойчивости атома.
Если условие дипольного приближения выполняется, но дипольный мо-
мент системы равен нулю или не зависит от времени (
¨
d
= 0
), то дипольное
излучение отсутствует, и для расчета поля излучения и его интенсивности
нужно учесть следующие члены разложения (7.8). Такая ситуация возникает,