ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1101
Скачиваний: 7
76
например, для замкнутой системы частиц с одинаковым отношением заряда
к массе
˙
d
=
X
e
a
v
a
=
X
e
a
m
a
p
a
=
e
m
P
.
Но в замкнутой системе полный импульс
P
есть интеграл движения (т.е.
величина, не изменяющаяся со временем), поэтому
¨
d
= 0
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§36; [4] §67; [5] Ч.I,§27.
7.3. Рассеяние электромагнитных волн свободными за-
рядами
Если на систему зарядов падает электромагнитная волна, то под ее вли-
янием заряды приходят в движение. Это движение сопровождается излуче-
нием во все стороны, т.е. происходит
рассеяние
первоначальной волны.
Рассеяние удобно характеризовать отношением количества энергии, ис-
пускаемой рассеивающей системой в данном направлении в единицу времени,
к плотности потока энергии, падающего на систему излучения. Это отноше-
ние имеет размерность площади и называется
сечением рассеяния
.
Пусть
dI
есть энергия, излучаемая системой в телесный угол
d
Ω
в едини-
цу времени при падении на неё волны с вектором Пойнтинга
g
. Тогда сечение
рассеяния в телесный угол
d
Ω
равно
dσ
=
dI
g
(7.18)
(черта над буквой означает усреднение по времени). Интеграл от
dσ
по всем
направлениям есть полное сечение рассеяния
σ
=
Z
dσ
=
Z
dσ
d
Ω
d
Ω
.
(7.19)
Рассмотрим рассеяние, производимое одним свободным зарядом. Пусть
на заряд падает плоская линейно поляризованная монохроматическая волна.
Ее электрическое поле можно записать в виде
E
=
E
0
cos(
kr
−
ωt
−
α
)
.
(7.20)
Будем предполагать, что скорость, приобретаемая зарядом под действием
поля падающей волны, мала по сравнению со скоростью света
v
¿
c
. То-
гда можно считать, что на заряд действует сила
e
E
, а силой
e
c
[
vB
]
можно
пренебречь. Поскольку условие (7.10) выполняется, для вычисления интен-
сивности рассеянного излучения воспользуемся формулой (7.14)
dI
=
[¨
dn
]
2
4
πc
3
d
Ω
.
(7.21)
77
Найдем
¨
d
=
e
¨
r
, используя уравнение движения
m
¨
r
=
e
E
.
Заметим, что частота излучаемой зарядом (т.е. рассеянной им) волны, равна,
очевидно, частоте падающей волны. Подставляя
¨
d
=
e
2
m
E
в (7.21), находим
dI
=
e
4
4
πm
2
c
3
[
En
]
2
d
Ω =
e
4
4
πm
2
c
3
E
2
sin
2
θd
Ω
.
С другой стороны, вектор Пойнтинга падающей волны равен
|
g
|
=
c
4
π
|
[
EB
]
|
=
c
4
π
E
2
.
Отсюда находим сечение рассеяния телесный угол
d
Ω
:
dσ
=
dI
g
=
e
4
m
2
c
4
sin
2
θd
Ω
,
(7.22)
где
θ
— угол между направлением рассеяния (вектором
n
) и направлени-
ем электрического поля
E
падающей волны. Мы видим, что эффективное
сечение рассеяния свободным зарядом не зависит от частоты.
Обозначая
r
0
=
e
2
mc
2
, перепишем (7.22) в виде
dσ
=
dI
g
=
r
2
0
sin
2
θd
Ω
.
(7.23)
Величина
r
0
(которую можно получить, приравнивая
e
2
/r
0
=
mc
2
) появляет-
ся во многих задачах электродинамики. Для электрона
r
0
= 2
.
8
·
10
−
13
см и
называется классическим радиусом электрона. Подчеркнем, что этому пара-
метру нельзя приписывать буквальный смысл радиуса элементарной части-
цы.
Определим полное сечение
σ
. Для этого выберем направление
E
в каче-
стве полярной оси и интегрируя (7.23) по
θ
и
ϕ
точно так же, как в (7.15),
находим:
σ
=
8
π
3
r
2
0
.
(7.24)
Последнее выражение называется
формулой Томсона
.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§40; [4] §78; [5] Ч.I,§36.
78
7.4. Рассеяние электромагнитных волн осциллятором
Излучение, поглощение и рассеяние волн атомными системами — кван-
товые процессы, последовательное описание которых возможно только на
основе квантовой механики и квантовой электродинамики. Но многие каче-
ственные характеристики этих явлений хорошо передаются моделью взаи-
модействия электромагнитной волны с гармоническим осциллятором. Под
осциллятором мы понимаем заряженную частицу, связанную упругой силой
с некоторым центром.
Рассмотрим здесь рассеяние электромагнитных волн осциллятором. Пусть
на осциллятор воздействует плоская монохроматическая линейно поляризо-
ванная волна. Предполагаем, что 1) скорость, приобретенная зарядом, много
меньше скорости света; 2) амплитуда колебаний мала по сравнению с дли-
ной волны внешнего поля
a
¿
λ
0
. Напомним, что
k
∼
1
/λ
0
, поэтому второе
условие позволяет опустить слагаемое
kr
в аргументе косинуса из ( 7.20).
Запишем уравнение движения осциллятора:
m
¨
r
+
κ
r
=
e
E
0
cos(
ωt
+
α
)
,
или
¨
r
+
ω
2
0
r
=
e
E
0
m
cos(
ωt
+
α
)
,
(7.25)
где
ω
0
=
p
κ
/m
— собственная частота осциллятора. В задаче о рассеянии
достаточно найти частное решение (7.25), поскольку собственные колебания
осциллятора при учете трения затухнут за время
γ
−
1
(см. ниже). Частное
решение уравнения (7.25) ищем в виде
r
=
A
cos(
ωt
+
α
)
,
(
A
— постоянный вектор), что приводит к
r
=
e
E
0
m
(
ω
2
0
−
ω
2
)
cos(
ωt
+
α
)
и
¨
d
=
e
¨
r
=
e
2
E
0
ω
2
m
(
ω
2
−
ω
2
0
)
cos(
ωt
+
α
)
.
Теперь из (7.14) находим интенсивность рассеянной волны, затем из (7.18)
сечение рассеяния:
dσ
d
Ω
=
e
4
ω
4
m
2
c
4
(
ω
2
−
ω
2
0
)
2
sin
2
θ
=
r
2
0
ω
4
(
ω
2
−
ω
2
0
)
2
sin
2
θ .
(7.26)
Выше мы не учитывали потерь энергии, обусловленных действующим
на осциллятор трением. Подчеркнем, что в задаче об ускоренном движении
79
заряженной частицы принципиально невозможно исключить эффекты тре-
ния, поскольку возникающее излучение электромагнитных волн приводит
к потере энергии частицей. Потеря энергии на излучение приводит к тому,
что на осциллятор действует
радиационная сила торможения
(ее называют
также силой лучистого трения или силой реакции излучения) со стороны из-
лучаемого им поля. В большинстве случаев сила лучистого трения мала по
сравнению с внешней силой, действующей на частицу (в (7.27)
γ
¿
ω
0
). При
учете силы трения, действующей на осциллятор, вместо уравнения движения
(7.25) будем иметь
¨
r
+
γ
˙
r
+
ω
2
0
r
=
e
E
0
m
cos(
ωt
+
α
)
(7.27)
и для сечения рассеяния в телесный угол
d
Ω
вместо (7.26) получим
dσ
d
Ω
=
r
2
0
ω
4
(
ω
2
−
ω
2
0
)
2
+
γ
2
ω
2
sin
2
θ .
(7.28)
Интегрируя по телесному углу, получаем полное сечение рассеяния
σ
=
8
πr
2
0
3
ω
4
(
ω
2
−
ω
2
0
)
2
+
γ
2
ω
2
.
(7.29)
Сравнивая (7.29) с формулой Томсона (7.24), видим, что сечение рассеяния
электромагнитной волны осциллятором, в отличие от рассеяния свободным
зарядом, зависит от частоты. Эта зависимость имеет следующие характер-
ные свойства
1) При низких частотах
ω
¿
ω
0
σ
≈
8
πr
2
0
3
ω
4
ω
4
0
∼
ω
4
∼
1
λ
4
.
Это соотношение представляет собой
закон Рэлея
. Оно показывает, что
волны с меньшей длиной волны рассеиваются сильнее. Синий свет рас-
сеивается сильнее красного. Очевидно, в этой области частот
σ
¿
8
3
πr
2
0
.
2) При приближении частоты внешнего поля к собственной частоте ос-
циллятора сечение рассеяния возрастает (явление резонанса) и точно
в резонансе (
ω
=
ω
0
)
σ
=
8
3
πr
2
0
ω
2
0
γ
2
À
8
3
πr
2
0
.
80
3) В высокочастотном пределе
ω
À
ω
0
зависимость от частоты исчезает
и связанная частица рассеивает как свободная
σ
=
8
3
πr
2
0
.
Фактически, однако, применимость этой формулы ограничена сверху
условием
~
ω
¿
mc
2
— энергия кванта электромагнитного поля должна
быть мала по сравнению с энергией частицы.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§39; [5] Ч.I,§36.
8. Уравнения электромагнитного поля в поля-
ризующихся и намагничивающихся средах
8.1. Исходные положения макроэлектродинамики
В принципиальном отношении электромагнитное поле в каждой точке
пространства в любой момент времени при заданной плотности источников
всегда может быть определено с помощью решения уравнений Максвелла
(см., например, (3.35)). Очевидно, что на практике такой — микроскопиче-
ский — подход не осуществим в том случае, если ищется электромагнитное
поле в веществе. Действительно, вещество построено из атомов, которые, в
свою очередь, состоят из заряженных частиц — электронов и ядер. Макро-
скопические количества вещества содержат очень большое (напомним, что
в
1
см
3
газа при нормальных условиях находится
10
19
атомов) число заря-
женных и находящихся в движении частиц. Уже отсюда ясно, что плотности
зарядов и токов вещества не могут быть заданы как известные функции
координат и времени, поскольку заранее неизвестно, как движутся заряды.
Следует иметь в виду, что заряженные частицы среды, с одной стороны, со-
здают поле, с другой стороны, испытывают воздействие поля. Поэтому, вооб-
ще говоря, уравнения Максвелла следует дополнить уравнениями движения
зарядов
m
¨
r
=
e
E
+
v
c
[
vB
] +
F
ext
(8.1)
(в правую часть здесь помимо силы Лоренца входит также сила
F
ext
неэлек-
тромагнитного происхождения, например, ядерная или гравитационная) и
решать их совместно. Такая постановка задачи о нахождении
самосогласо-
ванного электромагнитного поля
, являясь более строгой, оказывается и бо-
лее сложной и, конечно, тоже не может быть решена в микроскопическом
подходе.