ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1102
Скачиваний: 7
81
Следует иметь в виду, что истинные (являющиеся решением указанной за-
дачи) поля в средах, которые называют микроскопическими, характеризуют-
ся чрезвычайной нерегулярностью. Эта нерегулярность обусловлена атомной
структурой. Если взять отдельный атом, то электрическое поле, порождае-
мое им, вблизи ядра меняется на порядки на расстояниях
∼
10
−
8
см; элек-
трическое и магнитное поля, создаваемые атомом, претерпевает существен-
ные изменения во времени на интервалах
∼
10
−
16
с. В большинстве задач не
требуется детального знания микрополей, а интерес представляют их усред-
ненные значения. Поэтому необходимо произвести усреднение микроскопиче-
ских уравнений Максвелла, сглаживающее нерегулярности, обусловленные
атомной структурой вещества, и получить уравнения на
макроскопические
поля.
Определим среднее значение некоторой функции
f
(
r
, t
)
(например, ком-
поненты электромагнитного поля) следующим образом:
f
(
r
, t
) =
1
∆
V
∆
t
Z
∆
V
dV
0
+∆
t/
2
Z
−
∆
t/
2
dt
0
f
m
(
r
+
r
0
, t
+
t
0
)
,
(8.2)
где интегрирование производится по некоторому пространственному объему
∆
V
возле точки
r
и промежутку времени
∆
t
возле момента времени
t
. Объем
усреднения
∆
V
должен содержать большое число атомов, но быть малым по
сравнению с той областью пространства, где уже существенно меняется сама
усредненная величина. Аналогичным образом время усреднения
∆
t
должно
быть большим по сравнению с характерным атомным временем, но малым
по сравнению с временем изменения самой усредненной величины. Если эти
условия соблюдены, то усредненная величина не содержит резких колебаний,
связанных с атомной структурой вещества, а является плавной функцией
координат и времени.
Дифференцируя обе части (8.2) по какой либо координате или по времени
t
(соответствующую переменную обозначим буквой
x
), в предположении, что
операции дифференцирования и интегрирования переставимы, будем иметь:
∂f
∂x
=
1
∆
V
∆
t
Z
∆
V
dV
0
+∆
t/
2
Z
−
∆
t/
2
dt
0
∂f
m
(
r
+
r
0
, t
+
t
0
)
∂x
,
или
∂f
∂x
=
∂f
m
∂x
.
(8.3)
Проведем усреднение уравнений микроэлектродинамики по физически
малым объемам и времени. Следует иметь в виду, что вид уравнений макро-
скопической электродинамики существенно зависит от физической природы
82
среды, а также от характера изменения поля со временем. Поэтому наиболее
рациональный подход состоит, по-видимому, в том, чтобы проводить вывод
и исследование этих уравнений для каждой категории физических объектов
(проводники, диэлектрики, постоянные, переменные поля и т.д.) в отдельно-
сти. Однако мы с целью большей наглядности запишем здесь общую систе-
му уравнений макроэлектродинамики (8.18). При ее выводе будем считать
справедливыми ряд допущений, которые соответствуют в основном предпо-
ложению о диэлектрическом характере среды.
Запишем сначала микроскопические уравнения Максвелла в следующем
виде:
(8
.
4
.
1)
rot
E
m
=
−
1
c
∂
B
m
∂t
,
(8
.
4
.
2)
rot
B
m
=
4
π
c
(
j
m
+
j
ext
) +
1
c
∂
E
m
∂t
,
(8
.
4
.
3)
div
B
m
= 0
,
(8
.
4
.
4)
div
E
m
= 4
π
(
ρ
m
+
ρ
ext
)
.
(8.4)
Здесь микроскопические напряженность электрического и индукция магнит-
ного поля обозначены
E
m
и
B
m
. Заряды и токи в (8.4) состоят из двух частей.
Микроскопические заряды и токи среды обозначены
ρ
m
и
j
m
; напомним, что
они неизвестны и зависят от полей
E
m
и
B
m
, которые сами в значительной
степени и определяют. Часть зарядов и токов может быть обусловлена внеш-
ними по отношению к данной задаче причинами. Такие заряды и токи, не
зависящие от
E
m
и
B
m
, обозначают
ρ
ext
и
j
ext
и называют
сторонними
2
.
Усредним уравнения (8.4). Обозначим
E
m
=
E
,
B
m
=
B
,
ρ
m
=
ρ ,
j
m
=
j
.
(8.5)
Учитывая также равенство (8.3), согласно которому производная от среднего
равна среднему значению производной, можно написать
rot
E
m
= rot
E
,
div
B
m
= div
B
,
∂
E
m
∂t
=
∂
E
∂t
,
и т.д.
(8.6)
Считая величины
ρ
ext
и
j
ext
макроскопическими, не меняющимися при усред-
нении, приходим к следующему виду для усредненных уравнений Максвелла
(8
.
7
.
1)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
(8
.
7
.
2)
rot
B
=
4
π
c
(
j
+
j
ext
) +
1
c
∂
E
∂t
,
(8
.
7
.
3)
div
B
= 0
,
(8
.
7
.
4)
div
E
= 4
π
(
ρ
+
ρ
ext
)
.
(8.7)
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§1.
2
В ряде задач заряды среды (не обязательно электронейтральной) удобно разделять на
связанные
и
свободные
.
83
8.2. Система уравнений Максвелла в средах
В макроскопических уравнениях (8.7) плотности зарядов
ρ
и токов
j
сре-
ды являются неизвестными функциями координат и времени, поэтому число
неизвестных больше числа уравнений и система (8.7) принципиально нераз-
решима. Очевидно, что
ρ
и
j
необходимо выразить через некоторые макро-
скопические величины, характеризующие свойства вещества и зависящие от
величины электромагнитного поля. Оказывается удобным предварительно
выразить
ρ
и
j
через плотности макроскопических электрического и магнит-
ного дипольных моментов среды.
Выразим плотность зарядов среды
ρ
через некоторый вектор
P
соотно-
шением
ρ
=
−
div
P
(8.8)
и выясним смысл вектора
P
. Для этого рассмотрим произвольное электро-
нейтральное тело конечных размеров. Его полный заряд равен нулю
Z
ρ dV
=
Z
div
P
dV
= 0
.
(интегрирование здесь ведется по всему объему тела). Преобразуем послед-
ний интеграл по теореме Остроградского-Гаусса
Z
div
P
dV
=
Z
P
d
S
= 0
.
(8.9)
Поскольку вне тела
ρ
= 0
, то равенство (8.9) выполняется для любой по-
верхности интегрирования, охватывающей тело и проходящей всюду вне его.
Поэтому можно считать, что
P
= 0
вне тела. Вычислим дипольный момент
внутренних зарядов тела; в отличие от полного заряда эта величина может
быть не равна нулю. По определению дипольного момента это есть интеграл
Z
r
ρ dV
. Подставим сюда
ρ
в виде (8.8)
Z
r
ρdV
=
−
Z
r
div
P
dV
(8.10)
и будем считать, что интегрирование ведется по объему, выходящему за пре-
делы тела. Преобразуем правую часть в (8.10), используя соотношение
Z
r
div
P
dV
=
−
Z
P
dV
+
Z
(
d
SP
)
r
.
(8.11)
Последнее равенство следует из теоремы Остроградского-Гаусса
Z
div
a
dV
=
I
a
d
S
,
84
если в ней положить
a
= (
cr
)
P
(
c
– произвольный постоянный вектор) и
учесть, что
div (
cr
)
P
= (
cP
) + (
cr
)div
P
.
Подставляя (8.11) в (8.10) и учитывая, что вне тела
P
= 0
, получаем
Z
r
ρdV
=
−
Z
P
dV .
(8.12)
Таким образом, вектор
P
представляет собой дипольный момент единицы
объема диэлектрика и называется
вектором поляризации
3
.
Наряду с объемной плотностью (8.8) вектор
P
определяет также и по-
верхностную плотность
σ
зарядов, распределенных по поверхности поляри-
зованного тела. Если проинтегрировать формулу (8.8) по элементу объема,
заключенному между двумя бесконечно близкими площадками
S
, примыка-
ющими с обеих сторон к поверхности диэлектрика
−
ρ
∆
V
=
e
P
n
S
−
P
n
S
и учесть, что на наружной площадке
e
P
n
= 0
, то получим
P
n
=
σ
(8.13)
— нормальная составляющая
P
(по внешней нормали к поверхности) равна
плотности поверхностного заряда.
В более общем случае на границе раздела двух сред выполняется равен-
ство
P
1
n
−
P
2
n
=
σ ,
(8.14)
где вектор нормали направлен из первой среды во вторую.
Выразим теперь плотность тока
j
через векторы электрической и магнит-
ной поляризации. Используем уравнение непрерывности
∂ρ
∂t
+ div
j
= 0
,
которое при при подстановке в него (8.8) дает
div
µ
j
−
∂
P
∂t
¶
= 0
.
(8.15)
Из (8.8) следует, что
j
−
∂
P
∂t
=
c
rot
M
,
(8.16)
3
Следует заметить, что соотношение (8.8) не определяет величину
P
однозначным образом, поскольку
к
P
можно прибавить любой вектор вида
rot
f
. Одно из значений
P
имеет смысл дипольного момента
единицы объема.
85
где множитель
c
(скорость света) введен для удобства. Из (8.16) следует, что
плотность тока зарядов среды
j
может быть представлена в виде суммы двух
слагаемых. Первое, имеющее вид
∂
P
/∂t
, называется
током поляризации
, по-
скольку этот ток связан с перетеканием зарядов, составляющих электриче-
ский дипольный момент вещества. Смысл вектора
M
во втором слагаемом
можно выяснить аналогично тому, как это сделано выше для вектора
P
, од-
нако соответствующие рассуждения оказываются более сложными (см. [2]) и
мы их здесь опускаем. Оказывается, что при отсутствии электрического по-
ля, когда
∂
P
/∂t
= 0
, вектор
M
имеет смысл магнитного момента единицы
объема среды и называется
вектором намагниченности
. При наличии пере-
менного электрического поля,
∂
P
/∂t
6
= 0
, величина
M
может не совпадать
с вектором намагниченности. Тем не менее, формула (8.16),
j
=
∂
P
∂t
+
c
rot
M
,
(8.17)
сохраняет свою силу, если
M
не считать плотностью магнитного момента.
Возвращаясь к системе уравнений (8.7) и подставляя в нее соотношения
(8.10) и (8.17) для плотностей зарядов и токов, получаем
(8
.
18
.
1)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
(8
.
18
.
2)
rot(
B
−
4
π
M
) =
4
π
c
j
ext
+
1
c
∂
∂t
(
E
+ 4
π
P
)
,
(8
.
18
.
3)
div
B
= 0
,
(8
.
18
.
4)
div (
E
+ 4
π
P
) = 4
πρ
ext
.
(8.18)
Уравнения (8.18) приобретает наибольшее сходство уравнениями Макс-
велла в вакууме, если ввести два новых вектора поля
D
=
E
+ 4
π
P
(8.19)
и
H
=
B
−
4
π
M
.
(8.20)
Вектор
D
называется
электрической индукцией
, а вектор
H
—
напряженно-
стью магнитного поля
. Эти векторы учитывают токи и заряды вещества.
Теперь система уравнений (8.18) принимает вид (очевидно, что в случае про-
водящих сред в правую часть (8.21.2) наряду со сторонним током
j
ext
должен
входить ток проводимости
j
c
)
(8
.
21
.
1)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
(8
.
21
.
2)
rot
H
=
4
π
c
j
ext
+
1
c
∂
D
∂t
,
(8
.
21
.
3)
div
B
= 0
,
(8
.
21
.
4)
div
D
= 4
π
(
ρ
+
ρ
ext
)
.
(8.21)