ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1111
Скачиваний: 7
31
(3
.
32
.
1)
div
E
= 4
πρ ,
(3
.
32
.
2)
div
B
= 0
,
(3
.
32
.
3)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
(3
.
32
.
4)
rot
B
=
4
π
c
j
.
(3.32)
Уравнения (3.32.1), (3.32.2), (3.32.4) получены на основе законов электро-
статики и магнитостатики. Нетрудно проверить, что в случае переменных
полей, они (как оказывается, только одно из них), должны быть изменены.
Действительно, наряду с (3.32.1)—(3.32.4) должно выполняться уравнение
непрерывности (3.12)
div
j
+
∂ρ
∂t
= 0
.
Но поскольку
div rot
B
= 0
, то из (3.32.4) следует, что
div
j
= 0
. Противоре-
чие не возникает только в стационарном случае, когда
∂ρ/∂t
= 0
.
Поэтому, уравнение (3.32.4) нужно обобщить, добавив в него некоторое
слагаемое так, чтобы из (3.32.4) не следовало тождественного обращения в
нуль
div
j
. Запишем вместо (3.32.4)
rot
B
=
4
π
c
j
+
1
c
X
,
где
X
нужно найти из условия совместимости с уравнением непрерывности.
Возьмем дивергенцию от обеих частей последнего уравнения
div
X
=
−
div 4
π
j
.
(3.33)
Преобразуем правую часть, используя (3.12) и (3.32.1)
4
π
div
j
=
−
4
π
∂ρ
∂t
=
−
∂
∂t
div
E
=
−
div
∂
E
∂t
.
Таким образом,
div (
X
−
∂
E
∂t
) = 0
,
следовательно,
X
=
∂
E
∂t
+ rot
a
,
где
a
– произвольный вектор. Максвелл предположил, что
rot
a
= 0
, так что
вместо (3.32.4) следует использовать уравнение
rot
B
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
∂t
.
(3.34)
32
Появившаяся в последнем уравнении производная
∂
E
/∂t
(которая делает его
похожим по виду на (3.32.3)), по историческим причинам называется иногда
“
током смещения
”:
∂
E
/∂t
= 4
π
j
с
.
Исправление Максвелла привело к устранению противоречий в уравнени-
ях электромагнетизма.
Уравнения Максвелла
(3
.
35
.
1)
div
E
= 4
πρ ,
(3
.
35
.
2)
rot
B
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
∂t
,
(3
.
35
.
3)
div
B
= 0
,
(3
.
35
.
4)
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
(3.35)
описывают очень широкую область электромагнитных явлений и становятся
неприменимыми лишь тогда, когда существенными оказываются квантовые
эффекты. Подчеркнем, что уравнения Максвелла не вытекают из каких-либо
более общих теоретических положений, а является обобщенной записью на-
блюдавшихся на опыте фактов.
С математической точки зрения уравнения Максвелла есть система ли-
нейных уравнений в частных производных первого порядка. Система содер-
жит два векторных и два скалярных уравнения (т.е. восемь уравнений в
проекциях) для определения шести неизвестных (трёх проекций
E
и трёх
проекций
B
), но можно убедиться, что система (3.35) непротиворечива. Фор-
мально уравнения (3.35.1), (3.35.3) можно рассматривать как универсальные
начальные условия для (3.35.2), (3.35.4). Действительно, возьмем диверген-
цию от обеих частей (3.35.4). Так как
div rot
E
= 0
, то это приводит к
∂
∂t
div
B
= 0
(можно сказать, что уравнение (3.35.3) “почти следует” из уравнения (3.35.4)).
Следовательно,
div
B
не зависит от времени и эта константа определяется
начальными условиями. Уравнение (3.35.3) требует, чтобы она всегда была
равна нулю.
Аналогичным образом, уравнение (3.35.1) “почти следует” из уравнения
(3.35.2). Действительно, взяв дивергенцию от обеих частей (3.35.2)
4
π
c
div
j
+
1
c
∂
∂t
div
E
= 0
и использовав уравнение непрерывности, получим
∂
∂t
(div
E
−
4
πρ
) = 0
,
т.е. разность
div
E
−
4
πρ
не зависит от времени. Согласно (3.35.1) начальные
условия должны быть такими, чтобы эта разность была равна нулю.
33
Проинтегрируем обе части уравнений (3.35.1), (3.35.3) по объёму и вос-
пользуемся теоремой Остроградского, а обе части уравнений (3.35.2), (3.35.4)
проинтегрируем по незамкнутой поверхности и воспользуемся теоремой Сток-
са. В результате получаем
уравнения Максвелла в интегральной форме
:
(3
.
36
.
1)
I
E
d
S
= 4
π
Z
ρ dV,
(3
.
36
.
2)
I
B
d
l
=
4
π
c
Z
j
d
S
+
1
c
∂
∂t
Z
E
d
S
,
(3
.
36
.
3)
I
B
d
S
= 0
,
(3
.
36
.
4)
I
E
d
l
=
−
1
c
∂
∂t
Z
B
d
S
.
(3.36)
Напомним ещё раз, как уравнения Максвелла (в интегральной форме) со-
поставляются с теми экспериментальными законами, которым они обязаны
своим происхождением. Уравнение (3.36.1) есть теорема Гаусса, которая ока-
зывается справедливой не только для статического, но и для зависящего от
времени поля
E
. Уравнение (3.36.2) обобщает закон Ампера (с добавлением
к нему максвелловского тока смещения). Уравнение (3.36.3), которое назы-
вают теоремой Гаусса для магнитного поля, выражает отсутствие в природе
магнитных зарядов. Наконец, (3.36.4) есть закон электромагнитной индук-
ции Фарадея.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§14.
3.4. Энергия электромагнитного поля
Общим следствием, которое вытекает из уравнений Максвелла, является
существование энергии электромагнитного поля. Для выяснения зависимо-
сти энергии от векторов поля рассмотрим замкнутую систему, состоящую из
электромагнитного поля и частиц. Запишем уравнение Максвелла с ротора-
ми для этой системы:
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
,
rot
B
=
4
π
c
j
+
1
c
∂
E
∂t
.
Умножим первое уравнение скалярно на
B
, а второе на
E
и вычтем из пер-
вого уравнения второе
1
c
E
∂
E
∂t
+
1
c
B
∂
B
∂t
=
E
rot
B
−
B
rot
E
−
4
π
c
j E
.
(3.37)
34
Принимая во внимание, что
1
c
E
∂
E
∂t
+
1
c
B
∂
B
∂t
=
1
2
c
∂
∂t
(
E
2
+
B
2
)
,
а
B
rot
E
−
E
rot
B
= div [
EB
]
,
и вводя
вектор Пойнтинга
g
соотношением
g
=
c
4
π
[
EB
]
,
(3.38)
перепишем (3.37) в виде
∂
∂t
µ
E
2
+
B
2
8
π
¶
=
−
j E
−
div
g
.
(3.39)
Проинтегрируем обе части по некоторому объему и применим к интегралу
от
div
g
теорему Остроградского
Z
∂
∂t
µ
E
2
+
B
2
8
π
¶
dV
=
−
Z
j E
dV
−
I
g
d
S
.
(3.40)
Вычислим сначала интеграл от первого слагаемого справа. Представляя плот-
ность тока в виде (3.11), получим
Z
j E
dV
=
X
e
a
v
a
E
a
,
где
E
a
— напряженность электрического поля в точке, где находится заряд
e
a
. Запишем силу, действующую на заряд
e
a
F
a
=
e
a
E
a
+
e
a
c
[
v
a
B
a
]
.
Умножив
F
a
скалярно на
v
a
и учитывая, что
(
v
a
[
v
a
B
a
]) = 0
, получим
v
a
F
a
=
e
a
v
a
E
a
.
Обозначим
ε
a
=
mv
2
a
/
2
— кинетическую энергию частицы. Поскольку
dε
a
dt
=
m
v
a
d
v
a
dt
=
v
a
F
a
,
то
Z
V
j E
dV
=
X
dε
a
dt
=
d
dt
X
ε
a
.
35
Теперь (3.40) переходит в
d
dt
Z
V
E
2
+
B
2
8
π
dV
+
X
ε
a
=
−
I
S
g
d
S
.
(3.41)
Если интегрирование производится по всему пространству, то интеграл
по поверхности исчезает (поле на бесконечности равно нулю) и
d
dt
µZ
E
2
+
B
2
8
π
dV
+
X
ε
a
¶
= 0
.
(3.42)
Таким образом, для замкнутой системы, состоящей из электромагнитно-
го поля и частиц, сохраняется величина, стоящая в написанном уравнении в
скобках. Второй член в этом выражении есть кинетическая энергия частиц.
Первый же член, следовательно, есть энергия самого электромагнитного по-
ля
U
=
Z
E
2
+
B
2
8
π
dV .
(3.43)
Величину
W
=
E
2
+
B
2
8
π
(3.44)
можно назвать плотностью энергии электромагнитного поля; это есть энер-
гия единицы объёма поля.
При интегрировании по некоторому конечному объёму поверхностный ин-
теграл в (3.41), вообще говоря, не исчезает. Слева в (3.41) стоит изменение
полной энергии поля и частиц, поэтому интеграл
I
g
d
S
есть количество энер-
гии, которая “вытекает” через поверхность, ограничивающую этот объём в
единицу времени (поток энергии), а
g
d
S
= (
gn
)
dS
=
g
n
dS
— количество энергии поля, вытекающее через площадку
dS
. Таким образом,
проекция вектора Пойнтинга на направление
n
численно равна количеству
энергии, протекающей через единичную площадку, перпендикулярную на-
правлению
n
, в единицу времени, так что
g
есть вектор плотности потока
энергии электромагнитного поля.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§16,п.3; [4] §31; [9] гл.27,§§1-3.
3.5. Единственность решения уравнений Максвелла
Сформулируем следующее утверждение.