ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 676
Скачиваний: 2
46
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
уравнение энергии
:
du
dt
=
1
ρ
σ
ij
D
ij
−
1
ρ
c
i,i
+
z,
или
du
dt
=
1
ρ
Σ
:
D
−
ρ
∇ ·
c
+
z.
(1.52)
Уравнения (1.50) - (1.52) представляют собой пять независимых уравнений.
Неизвестными являются четырнадцать функций:
плотность
ρ
,
три компоненты вектора скорости
v
i
,
шесть компонент тензора напряжений
σ
ij
,
три компоненты вектора потока тепла
c
i
,
плотность внутренней энергии
u
.
Для этих функций должно быть выполнено в соответствии со вторым зако-
ном термодинамики неравенство Клаузиуса – Дюгема:
ds
dt
−
e
−
1
ρ
³
c
i
T
´
i
≥
0
.
(1.53)
В неравенстве Клаузиуса – Дюгема добавляются еще две неизвестные функ-
ции:
плотность энтропии
s
и
абсолютная температура
T
.
Итак, нужно сформулировать одиннадцать дополнительных уравнений.
Шесть из них называются
определяющими уравнениями
и характеризуют
физические свойства конкретной среды.
Закон теплопроводности дает еще три соотношения.
Два соотношения являются термодинамическими уравнениями состояния
(например, калорическое уравнение состояния и уравнение для энтропии).
Если пренебречь взаимодействием механических и термодинамических про-
цессов, то получим так называемую теорию
несвязанной
механики деформиру-
емой среды.
В этом случае механические процессы описываются
уравнением неразрывно-
сти
∂ρ
∂t
+ (
ρv
k
)
,k
= 0
,
или
∂ρ
∂t
+
∇ ·
(
ρ
v
) =
0
;
(1.54)
и
уравнениями движения
σ
ji,j
+
ρb
i
=
ρ
˙
v
i
,
или
∇
x
·
Σ
+
ρ
b
=
ρ
˙v
;
(1.55)
Это система четырех уравнений относительно десяти неизвестных. В несвя-
занной теории шесть определяющих соотношений — это соотношения, связыва-
ющие компоненты тензоров напряжений и деформаций и их скорости.
1.3. Основные законы механики сплошной среды
47
В несвязанной теории поле температур считается известным, или определя-
ется из решения задачи теплопроводности независимо от механической задачи.
При изотермических процессах температура предполагается постоянной и за-
дача является чисто механической.
1.3.6
Упругое тело.
Упругим называется тело, для которого напряжение в каждой точке есть од-
нозначная функция деформации:
σ
ij
=
ϕ
ij
(
ε
ij
)
(1.56)
Чтобы установить конкретный вид функций
ϕ
ij
требуются дальнейшие пред-
положения о свойствах материала.
Рассмотрим такой класс упругих материалов, для которых работа, произ-
веденная над элементарным объемом в замкнутом цикле по деформациям или
напряжениям, равна нулю. Такие материалы называются "гиперупругими".
Изменение внутренней энергии равно
dU
=
σ
ij
dε
ij
.
Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле записыва-
ется в следующем виде:
I
dU
= 0
.
(1.57)
Выполнение равенства (1.57) означает, что подынтегральное выражение есть
полный дифференциал. Следовательно,
σ
ij
=
∂U
∂ε
ij
.
(1.58)
Мы предполагаем, что соотношения (1.58) однозначно разрешимы относи-
тельно
ε
ij
. Введем функцию
Φ(
σ
ij
) =
σ
ij
ε
ij
−
U
(
ε
ij
)
.
(1.59)
Легко проверить, что
ε
ij
=
∂
Φ
∂σ
ij
.
(1.60)
48
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Функция
Φ(
σ
ij
)
называется "дополнительной работой".
Требование однозначной разрешимости уравнений (1.58) относительно де-
формаций эквивалентно условию выпуклости поверхности
U
(
ε
ij
) =
const в
пространстве деформаций или поверхности
Φ(
σ
ij
) =
const в пространстве на-
пряжений.
Закон Гука.
При малых деформациях, как следует из экспериментальных данных, зависи-
мость между напряжениями и деформациями линейная:
σ
ij
=
ijkl
ε
kl
(1.61)
и
ε
kl
= Π
ijkl
σ
kl
.
(1.62)
Тензор четвертого ранга
ijkl
называется тензором модулей упругости, а тен-
зор
Π
ijkl
— тензором упругих податливостей.
Вследствие соотношений (1.58) и (1.60), симметрии тензоров напряжения и
деформации из 81 компонент тензора четвертого ранга в трехмерном простран-
стве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы
имеют вид:
U
=
1
2
E
ijkl
ε
ij
ε
kl
,
Φ =
1
2
Π
ijkl
σ
ij
σ
kl
(1.63)
Закон Гука для изотропного материала.
Материал, свойства которого в точке не зависят от направления, называется
изотропным. Потенциал напряжений и упругая энергия изотропного тела не
должны меняться при повороте осей координат. Поэтому потенциал напряже-
ний должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная
однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит
от двух констант и представляется следующим образом:
U
=
1
2
(
λE
2
I
+ 2
µE
II
)
.
(1.64)
Константы
λ
и
µ
называются упругими постоянными Ламе. Если в (1.64) под-
ставить выражения для и , то получим
U
=
1
2
(
λδ
ij
δ
kl
+ 2
µδ
ik
δ
jl
)
ε
ij
ε
kl
.
(1.65)
1.3. Основные законы механики сплошной среды
49
Таким образом для изотропного материала
E
ijkl
=
λδ
ij
δ
kl
+ 2
µδ
ik
δ
jl
.
(1.66)
Если обозначить
E
I
= 3
ε
= 3(
ε
11
+
ε
22
+
ε
33
) =
θ
, то из (1.61) и (1.66)
получим:
σ
ij
=
λθδ
ij
+ 2
µε
ij
.
(1.67)
Соотношения (1.67) можно разрешить относительно деформаций:
ε
ij
=
1 +
ν
E
µ
σ
ij
−
3
ν
1 +
ν
σδ
ij
¶
,
(1.68)
где
ν
=
λ
2(
λ
+
µ
)
,
E
=
µ
(3
λ
+ 2
µ
)
λ
+
µ
= 2(1 +
ν
)
µ.
(1.69)
Упругая постоянная
E
называется модулем упругости, упругая постоянная
ν
— коэффициентом Пуассона. Подставляя выражение для
σ
в (1.69), получим:
ε
11
=
1
E
[
σ
11
−
ν
(
σ
22
+
σ
33
)]
, . . . γ
12
= 2
ε
12
=
1
µ
σ
12
, . . . .
(1.70)
Свертывая (1.67)по индексам
i
и
j
, получим
3
σ
= (3
λ
+ 2
µ
)
θ.
(1.71)
Если ввести обозначение
K
=
λ
+
2
3
µ
=
E
3(1
−
2
ν
)
,
то соотношение (1.71) запишется в виде:
σ
= 3
Kθ.
(1.72)
Величина
K
называется объемным модулем упругости.
Закон Гука можно записать в иной форме, если представить тензоры напря-
жения и деформации в виде суммы шарового тензора и девиатора:
σ
ij
−
σδ
ij
= 2
µ
(
ε
ij
−
εδ
ij
)
,
или
¯
σ
ij
= 2
µ
¯
ε
ij
.
(1.73)
Для положительной определенности квадратичной формы упругой энергии
необходимо и достаточно выполнение условий
λ >
0
µ >
0
. Отсюда следует, что
положительны модуль упругости
E
, объемный модуль упругости
K
и модуль
сдвига
µ
=
G
. Из этих условий следует ограничение на множество возможных
значений коэффициента Пуассона:
−
1
≤
ν
≤
1
/
2
.
50
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
1.4
Постановка краевых задач в линейной теории упру-
гости.
Полная система уравнений теории упругости включает следующие уравнения.
Уравнения равновесия
:
σ
ij,j
+
ρF
i
= 0;
(1.74)
соотношения закона упругости:
в общем случае:
σ
ij
=
∂U
∂e
ij
;
(1.75)
для линейно-упругого тела:
σ
ij
=
E
ijkl
e
kl
;
(1.76)
выражения компонент тензора деформаций через компоненты вектора пе-
ремещения:
e
ij
=
1
2
(
u
i,j
+
u
j,i
)
(1.77)
Уравнения (1.74) - (1.77) должны выполняться в каждой точке области
V
,
ограниченной поверхностью
S
. На границе области
S
должны быть поставлены
краевые условия. Пусть поверхность тела
S
состоит из двух частей:
S
=
S
T
+
S
u
.
Будем считать, что заданы следующие
краевые условия
:
u
i
=
u
∗
i
,
x
i
∈
S
u
(1.78)
σ
ij
n
j
=
T
∗
i
,
x
i
∈
S
T
(1.79)
Краевые условия могут быть поставлены и в более общей форме.
Задача теории упругости состоит в решении уравнений (1.74) - (1.77) с гра-
ничными условиями (1.78) - (1.79). В такой формулировке — это смешанная
краевая задача. Если , то краевая задача называется первой краевой задачей,
если — второй краевой задачей.
Несложно доказать, что
если решение смешанной краевой задачи существу-
ет, то оно единственно
.
1.4.1
Уравнения теории упругости в перемещениях. Уравнения Ла-
ме
Уравнения (1.74) - (1.77) можно свести к системе трех уравнений относительно
трех компонент вектора перемещений: