ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 662
Скачиваний: 2
26
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
1.2.2
Напряженное состояние в точке
Изучим напряженное состояние в точке. Как известно из линейной алгебры,
любая симметричная матрица представима в виде
k
σ
ij
k
=
U
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
U
∗
,
где матрица
U
ортогональна. Перейдем к новой системе кординат с помощью
ортогональной матрицы
W
x
0
1
x
0
2
x
0
3
=
W
x
1
x
2
x
3
и установим, что тензор напряжений в этой системе координат запишется так:
k
σ
0
ij
k
=
W
k
σ
ij
k
W
∗
=
W U
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
U
∗
W
∗
.
Из этой записи очевидно, что положив
W
=
U
∗
, мы придем к системе коорди-
нат, в которой тензор напряжений оказывается следующего простого вида:
k
σ
0
ij
k
=
U
∗
U
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
U
∗
U
=
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
.
Описанная процедура называется
приведением тензора напряжений к глав-
ным осям
.
Напряжения на трех площадках, перпендикулярных главным осям, пред-
ставляют векторы, направленные по этим осям. Величины этих напряжений,
нормальных к площадкам
s
1
, s
2
, s
3
, называются
главными напряжениями
и
могут быть вычислены как характеристические корни матрицы
¯
¯
¯
¯
¯
¯
σ
11
−
s σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
−
s σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
−
s
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0
.
Мы выбрали для главных напряжений обозначения
s
1
, s
2
, s
3
, а не
σ
1
, σ
2
, σ
3
, кото-
рые часто используются для той же цели, чтобы оставить обозначения
σ
1
, σ
2
, σ
3
для компонент вектора напряжений на какой-либо площадке.
1.2. Напряжения
27
Занимаясь изучением напряженного состояния в некоторой точке, мы будем
предполагать, что система координат выбрана так, что в этой точке тензор
напряжений приведен к главным осям и, следовательно, имеет вид
k
σ
ik
k
=
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
.
Вектор напряжения, действующий на площадке с единичной нормалью
n
, име-
ющей компоненты
n
1
, n
2
, n
3
(
n
2
1
+
n
2
2
+
n
2
3
= 1)
, определяется так:
Σ
=
σ
1
σ
2
σ
3
=
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
n
1
n
2
n
3
=
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
n
1
n
2
n
3
=
s
1
n
1
s
2
n
2
s
3
n
3
.
Спроектируем этот вектор на нормаль к площадке и на саму эту площадку.
Длины проекций представляют собой нормальное
σ
норм к площадке и каса-
тельное к ней
σ
кас напряжения. Очевидно, что
σ
норм
= (
Σ
,
n
) =
s
1
n
2
1
+
s
2
n
2
2
+
s
3
n
2
2
,
σ
2
норм
+
σ
2
кас
= (
Σ
,
Σ
) =
s
2
1
n
2
1
+
s
2
2
n
2
2
+
s
2
3
n
2
2
.
Поставим такую задачу
. Пусть нам известны главные напряжения, а так-
же нормальная и касательная составляющие напряжения на некоторой площад-
ке. Можно ли определить направление такой площадки?
Координаты единичного вектора нормали к такой площадке должны удо-
влетворять уравнениям
n
2
1
+
n
2
2
+
n
2
3
= 1
,
s
1
n
2
1
+
s
2
n
2
2
+
s
3
n
2
2
=
σ
норм
,
s
2
1
n
2
1
+
s
2
2
n
2
2
+
s
2
3
n
2
2
=
σ
2
норм
+
σ
2
кас
.
Это линейная система алгебраических уравнений относительно с определителем
Вандермонда
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
s
1
s
2
s
3
s
2
1
s
2
2
s
2
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
28
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
отличным от нуля, если среди главных напряжений нет равных. Решая эту
систему, найдем
n
2
1
=
µ
σ
норм
−
s
2
+
s
3
2
¶
2
+
σ
2
кас
−
µ
s
2
−
s
3
2
¶
2
(
s
1
−
s
2
)(
s
1
−
s
3
)
,
n
2
2
=
µ
σ
норм
−
s
3
+
s
1
2
¶
2
+
σ
2
кас
−
µ
s
3
−
s
1
2
¶
2
(
s
2
−
s
3
)(
s
2
−
s
1
)
,
n
2
3
=
µ
σ
норм
−
s
1
+
s
2
2
¶
2
+
σ
2
кас
−
µ
s
1
−
s
2
2
¶
2
(
s
3
−
s
1
)(
s
3
−
s
2
)
,
Пусть оси выбраны так, что для главных напряжений выполняются неравенства
s
3
> s
2
> s
1
. Тогда для неотрицательности правых частей в выражениях для
n
2
1
, n
2
2
, n
2
3
необходимо и достаточно выполнения неравенств
µ
σ
норм
−
s
2
+
s
3
2
¶
2
+
σ
2
кас
≥
µ
s
2
−
s
3
2
¶
2
µ
σ
норм
−
s
3
+
s
1
2
¶
2
+
σ
2
кас
≥
µ
s
3
−
s
1
2
¶
2
µ
σ
норм
−
s
1
+
s
2
2
¶
2
+
σ
2
кас
≥
µ
s
1
−
s
2
2
¶
2
Изобразим допускаемую этими неравенствами область значений на плоскости
(
σ
норм
, σ
кас).
На рис.1.4 эта область заштрихована между полуокружностями, построен-
ными на отрезках
[
s
1
, s
2
]
,
[
s
2
, s
3
]
,
[
s
1
, s
3
]
,
оси
σ
норм, как на диаметрах. Диаграм-
ма, показанная на рис. называется “диаграммой Мора”. Из диаграммы Мора
видно, что наибольшее касательное напряжение равно
(
s
3
−
s
1
)
/
2
, при этом
нормальное напряжение обязано быть равным
(
s
3
+
s
1
)
/
2
. Определи, на какой
площадке такое наибольшее касательное напряжение достигается. Для этого
при заданных значениях
σ
кас
= (
s
3
−
s
1
)
/
2
и
σ
норм
= (
s
3
+
s
1
)
/
2
вычислим по
нашим формулам
n
2
1
, n
2
2
, n
3
1
. В результате получим:
n
2
1
= 1
/
2
, n
2
2
= 0
, n
2
3
= 1
/
2
.
Таким образом, наибольшее касательное напряжение достигается на площадках
1.2. Напряжения
29
S
3
S
2
S
1
S
3
_
S
1
(
) /2
s
s
Íîðì
Êàñ
Рис. 1.4:
с нормалями
n
(
n
1
, n
2
, n
3
) :
n
1
=
±
1
/
√
2
, n
2
= 0
, n
3
=
±
(
∓
)1
/
√
2
, т.е. на плоско-
стях, делящих пополам угол между плоскостями с наибольшим и наименьшим
нормальными напряжениями
s
1
, s
3
. Матрицу, характеризующую напряженное
состояние, обычно раскладывают в сумму двух матриц (матрицу, кратной еди-
ничной, и матрицу с нулевым следом, называемую
девиатором
тензора напря-
жений:
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
=
σ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+
σ
11
−
σ
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
−
σ
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
−
σ
,
где
(
σ
=
σ
11
+
σ
22
σ
33
)
/
3
.
Если
k
σ
ik
k
=
U
s
1
0 0
0
s
2
0
0 0
s
3
U
∗
(
UU
∗
=
I
)
,
то
k
σ
ik
−
δ
ik
(
σ
11
+
σ
22
σ
33
)
/
3
k
=
=
U
s
1
−
s
1
+
s
2
+
s
3
3
0
0
0
s
2
−
s
1
+
s
2
+
s
3
3
0
0
0
s
3
−
s
1
+
s
2
+
s
3
3
U
∗
.
30
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
При одновременном увеличении или уменьшении всех диагональных эле-
ментов матрицы
k
σ
ik
k
на одно и то же число описываемые ею касательные
напряжения на площадках не меняются. Это очевидно из диаграммы Мора. Го-
ворят, что совокупность касательных напряжений характеризуется девиатором
тензора напряжений. След тензора напряжений, поделенный на 3, называется
средним напряжением
.
Рассмотрим вектор напряжения, действующий на площадку, перпендикуляр-
ную некоторому вектору
x
:
Σ
=
σ
1
σ
2
σ
3
=
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
x
1
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
x
2
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
x
3
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
с компонентами
σ
i
=
σ
ij
/
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
, и вычислим его проекцию на некото-
рый другой вектор
y
, которая определяется формулой
1
p
y
2
1
+
y
2
2
+
y
2
3
(
Σ
,
y
) =
σ
i
y
i
p
y
2
1
+
y
2
2
+
y
2
3
=
(
σ
ij
x
j
)
y
i
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
p
y
2
1
+
y
2
2
+
y
2
3
=
=
σ
ij
y
i
x
j
p
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
p
y
2
1
+
y
2
2
+
y
2
3
Благодаря симметрии
σ
ij
=
σ
ji
это выражение симметрично относительно
векторов
y
,
x
.
Закон взаимности.
Проекция на вектор
y
напряжения на площадке, пер-
пендикулярной вектору
x
, равна проекции на вектор
x
напряжения на пло-
щадке, перпендикулярной вектору
y
.
Наряду с билинейной формой
σ
ij
y
i
x
j
, характеризующей напряженное состо-
яние, рассматривают квадратичную форму
σ
ij
x
i
x
j
, которая однозначно опре-
деляется билинейной, в свою очередь, билинейную также определяет:
σ
ij
y
i
x
j
=
σ
ij
x
i
y
j
=
1
2
[
σ
ij
(
x
i
+
y
i
)(
x
j
+
y
j
)
−
σ
ij
x
i
x
j
−
σ
ij
y
i
y
j
]
.
Приведенная интерпретация билинейной формы показывает, что эта фор-
ма инвариантна при ортогональных преобразованиях систем координат. Сле-
довательно инвариантна и квадратичная форма
σ
ij
x
i
x
j
. Выделение девиатора