ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2139
Скачиваний: 4
60
Через
q
ij
и
q
ij
обозначены нижние и верхние границы для внутриклеточной концен-
трации питательных веществ. Удельные скорости минерального питания в зависи-
мости от содержания веществ во внешней среде определяются формулой
v
ij
(
z
j
, q
ij
) =
v
ij
(
q
ij
)
z
j
k
ij
+
z
j
,
где функция
v
ij
(
q
ij
)
имеет предложенный С. Йоргенсеном вид:
v
ij
(
q
ij
) =
v
(0)
ij
q
ij
−
q
ij
q
ij
−
q
ij
.
В статье [2] модель (1) применяется для анализа фитопланктонных сообществ Чер-
ного моря.
2.
Поиск равновесных решений
Для исследования равновесий рассмотрим обобщение модели (1). Вместо кон-
кретных формульных представлений функций модели потребуем от них выполне-
ния следующих свойств: (*) функцию
µ
ij
(
q
ij
)
предполагаем строго возрастающей
по
q
ij
, а функцию
v
ij
(
z
j
, q
ij
)
— строго возрастающей по
z
j
и строго убывающей по
q
ij
; указанные функции предполагаются непрерывно дифференцируемыми в сво-
их областях определения. Равновесные решения
(
y
∗
, z
∗
, q
∗
)
системы (1) находим из
системы уравнений
min
j
=1
,...,n
µ
ij
(
q
∗
ij
)
−
D
y
∗
i
= 0
,
D
(
z
(0)
j
−
z
∗
j
)
−
m
X
i
=1
v
ij
(
z
∗
j
, q
∗
ij
)
y
∗
i
= 0
,
v
ij
(
z
∗
j
, q
∗
ij
)
−
q
∗
ij
·
min
j
=1
,...,n
µ
ij
(
q
∗
ij
) = 0
.
Отметим, что нас интересуют только неотрицательные равновесные решения. Если
y
∗
i
>
0
, то
min
j
=1
,...,n
µ
ij
(
q
∗
ij
) =
D
. Из третьего уравнения
v
ij
(
z
∗
j
, q
∗
ij
)
−
q
∗
ij
·
D
= 0
.
Поскольку функция
v
ij
(
z
∗
j
, q
ij
)
строго убывает по
q
ij
, а функция
q
ij
·
D
строго возрас-
тает по
q
ij
, то из уравнения
v
ij
(
z
j
, q
ij
)
−
q
ij
·
D
= 0
можно однозначно определить
q
ij
:
q
ij
=
e
q
ij
(
z
j
)
.
Утверждение 1.
Функция
e
q
ij
(
z
j
)
строго возрастает.
Введем функ-
цию
e
µ
ij
(
z
j
) =
µ
ij
(
e
q
ij
(
z
j
))
. Функция
e
µ
ij
(
z
j
)
строго возрастает. Определим матрицу
Z
= (
z
ij
)
m,n
i,j
=1
из условия
z
ij
=
e
µ
−
1
ij
(
D
)
.
Утверждение 2.
Условие
min
j
=1
,...,n
µ
ij
(
q
∗
ij
) =
D
эквивалентно следующему условию:
∀
j
:
z
∗
j
>
z
ij
,
∃
j
0
:
z
∗
j
0
=
z
ij
0
.
Следствие.
Если
y
∗
i
>
0
, то
∀
j
:
z
∗
j
>
z
ij
,
∃
j
0
:
z
∗
j
0
=
z
ij
0
.
Обозначим
I
=
{
1
,
2
, . . . , m
}
, J
=
{
1
,
2
, . . . , n
}
.
Выберем множество
I
∗
⊂
I
таких
i
, для которых
y
∗
i
>
0
. Для каждого
i
∈
I
∗
выпол-
няется условие
∀
j
:
z
∗
j
>
z
ij
,
∃
j
0
:
z
∗
j
0
=
z
ij
0
. Обозначим
z
0
j
= max
i
∈
I
∗
z
ij
. Справедливо
утверждение:
∀
j
:
z
∗
j
>
z
0
j
,
∀
i
∈
I
∗
∃
j
i
:
z
∗
j
i
=
z
0
j
i
. Обозначим
J
∗
=
{
j
i
:
i
∈
I
∗
}
—
множество
j
, для которых
z
∗
j
=
z
0
j
. Для каждого множества
I
∗
, I
∗
⊂
I
определяем
отображение
ϕ
:
I
∗
→ {
J
0
:
J
0
⊂
J
}
следующим образом:
ϕ
(
i
) =
{
j
:
z
ij
=
z
0
j
}
. Далее
выбираем множество
J
∗
таким образом, чтобы
∀
i
∈
I
∗
∃
j
∈
J
∗
:
j
∈
ϕ
(
i
)
. Потребуем,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
61
чтобы для всех
i, j
выполнялось неравенство
z
ij
>
0
. Выбрав множества
I
∗
и
J
∗
(нужно перебрать все возможные варианты), решаем систему соотношений:
y
∗
i
>
0
, i
∈
I
∗
,
y
∗
i
= 0
, i
∈
I
\
I
∗
,
z
∗
j
=
z
0
j
, j
∈
J
∗
,
z
∗
j
>
z
0
j
, j
∈
J
\
J
∗
,
X
i
∈
I
∗
e
q
ij
(
z
∗
j
)
y
∗
i
=
z
(0)
j
−
z
∗
j
, j
∈
J.
(2)
В этой системе мы фиксируем значения
z
∗
j
, j
∈
J
∗
и получаем СЛАУ относитель-
но
y
∗
i
:
P
i
∈
I
∗
e
q
ij
(
z
∗
j
)
y
∗
i
=
z
(0)
j
−
z
∗
j
, j
∈
J
∗
. Решив эту СЛАУ, найдем
y
∗
i
. Подставляем
y
∗
i
в уравнения
P
i
∈
I
∗
e
q
ij
(
z
∗
j
)
y
∗
i
=
z
(0)
j
−
z
∗
j
, j
∈
J
\
J
∗
и находим отсюда значения
z
∗
j
, j
∈
J
\
J
∗
(слева стоит строго возрастающая функция от
z
∗
j
, а справа — стро-
го убывающая функция от
z
∗
j
, поэтому можно применить метод дихотомии). Затем
проверяем неравенства
z
∗
j
>
z
0
j
, j
∈
J
\
J
∗
. Значения
q
∗
ij
можно найти следующим
образом:
q
∗
ij
=
e
q
ij
(
z
∗
j
)
. Условие
∀
i
∃
j
:
µ
ij
(
q
∗
ij
)
6
D
является необходимым и достаточным для локальной асимптотической устойчиво-
сти найденного равновесного решения [1].
3.
Решение СЛАУ с матрицей общего вида
методом Гаусса
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из
m
урав-
нений с
n
неизвестными:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
. . .
+
a
1
n
x
n
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
. . .
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
. . .
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
. . .
+
a
mn
x
n
=
b
m
.
(3)
Требуется найти все решения данной системы либо определить, что она несовместна
(не имеет решений). Вначале система (3) при помощи элементарных преобразований
приводится к ступенчатому виду:
x
j
1
+
a
0
1
,j
2
x
j
2
+
a
0
1
,j
3
x
j
3
+
. . .
+
a
0
1
,j
r
x
j
r
+
a
0
1
,j
r
+1
x
j
r
+1
+
. . .
+
a
0
1
,n
x
n
=
b
0
1
,
x
j
2
+
a
0
2
,j
3
x
j
3
+
. . .
+
a
0
2
,j
r
x
j
r
+
a
0
2
,j
r
+1
x
j
r
+1
+
. . .
+
a
0
2
,n
x
n
=
b
0
2
,
. . .
x
j
r
+
a
0
r,j
r
+1
x
j
r
+1
+
. . .
+
a
0
r,n
x
n
=
b
0
r
,
0 =
b
0
r
+1
,
. . .
0 =
b
0
m
.
Процесс преобразования системы (3) к ступенчатому виду называется прямым хо-
дом метода Гаусса. Переменные
x
j
1
, x
j
2
, . . . , x
j
r
называются главными переменными,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
62
все остальные переменные называются свободными. Если хотя бы одно число
b
0
i
6
= 0
,
где
i > r
, то система несовместна. Пусть
b
0
i
= 0
для всех
i > r
. Рассмотрим обрат-
ный ход метода Гаусса. Перенесем свободные переменные в правые части уравнений.
Получим
x
j
1
+
a
0
1
,j
2
x
j
2
+
a
0
1
,j
3
x
j
3
+
. . .
+
a
0
1
,j
r
x
j
r
=
b
0
1
−
a
0
1
,j
r
+1
x
j
r
+1
−
. . .
−
a
0
1
,n
x
n
,
x
j
2
+
a
0
2
,j
3
x
j
3
+
. . .
+
a
0
2
,j
r
x
j
r
=
b
0
2
−
a
0
2
,j
r
+1
x
j
r
+1
−
. . .
−
a
0
2
,n
x
n
,
. . .
x
j
r
=
b
0
r
−
a
0
r,j
r
+1
x
j
r
+1
−
. . .
−
a
0
r,n
x
n
.
Придадим свободным переменным произвольные значения, а значения главных пе-
ременных найдем по формуле
x
j
i
=
b
0
i
−
n
X
j
=
j
r
+1
a
0
ij
x
j
−
r
X
k
=
i
+1
a
0
i,j
k
x
j
k
, i
= 1
,
2
, . . . , r.
Рассмотрим прямой ход метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Сна-
чала находим в 1-м столбце максимальный по модулю элемент (главный элемент).
Если все элементы 1-го столбца равны 0, то переменная
x
1
уже исключена, перехо-
дим к исключению переменной
x
2
. Если же не все элементы 1-го столбца равны 0,
то меняем местами 1-ю строку и строку, в которой находится главный элемент, а
затем исключаем переменную
x
1
из 2-го, 3-го, . . . ,
m
-го уравнений, домножая 1-е
уравнение на коэффициенты
a
i,
1
и вычитая его из всех остальных уравнений. После
исключения переменной
x
1
аналогичным образом исключаем переменные
x
2
, x
3
и
т.д. Разработан модуль на языке программирования C++ для решения СЛАУ мето-
дом Гаусса в случае, когда матрица системы может быть квадратной вырожденной
или прямоугольной.
4.
Решение системы дифференциальных
уравнений
Требуется численно найти решение системы (1). В правых частях нескольких
уравнений системы присутствует функция минимума, которая является непрерыв-
ной во всех точках, но в некоторых точках может не иметь производной. В связи с
этим для численного решения системы необходимо использовать численные методы,
не использующие производных правых частей уравнений, например, метод Эйлера.
Для примеров система (1) решалась и методом Эйлера, и при помощи стандартного
решателя Wolfram Mathematica 8, но результаты полностью совпали. Разработа-
на программная система на языке программирования C++, в которой реализован
описанный алгоритм поиска равновесных решений. Программу можно скачать на
сайте
http://group22x.narod.ru/grenkin/
. Отметим, что система может иметь и кон-
тинуальное множество равновесий (в случае, когда СЛАУ имеет бесконечно много
решений).
Список литературы
1.
Абакумов А. И., Пак С. Я. Сосуществование видов в микробном сообществе. Модель-
ное исследование // Информатика и системы управления. 2012. № 3(33). С. 15–24.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
63
2.
Силкин В. А., Абакумов А. И., Паутова Л. А., Микаэлян А. С., Часовников В. К.,
Лукашева Т. А. Сосуществование черноморских и чужеродных видов в фитопланк-
тоне северо-восточной части Черного моря. Анализ гипотез вселения // Российский
журнал биологических инвазий. 2011. № 3. С. 24–35.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 539.37+514
ОТ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
К НЕЕВКЛИДОВОЙ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ
СРЕДЫ В ОПИСАНИИ ЗОНАЛЬНОЙ
ДЕЗИНТЕГРАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД
М.А. Гузев
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
guzev@iam.dvo.ru
Ключевые слова:
горные породы, зональная дезинтеграция, дефекты
структуры, неевклидова геометрия
Представлены результаты экспериментальных исследований явления зо-
нальной дезинтеграции горных пород и указана недостаточность класси-
ческой модели для описания этого явления. Рассматривается расширение
этой модели, основанное на введении неевклидова геометрического пара-
метра, совпадающего со скалярной кривизной тензора Римана. Показано,
что построенное решение в линейном приближении позволяет выполнить
моделирование осцилляционного поведения поля напряжений вокруг круг-
лой выработки.
1.
Экспериментальные исследования
Классические представления о деформировании и разрушении горных пород
вокруг подземных выработок достаточно хорошо описаны в рамках различных мо-
делей механики сплошной среды [1]. Основные закономерности сводятся здесь к
двум центральным положениям: на контуре выработки возникает концентрация на-
пряжений, которая, при превышении предела прочности, что соответствует сильно
сжатому состоянию горной породы, приводит к разрушению пород контура и об-
разованию одной зоны неупругих деформаций. В последнем случае максимум нор-
мальных тангенциальных напряжений располагается на границе упругой и неупру-
гой областей, а сама эта граница во времени может перемещаться вглубь массива.
Большинство экспериментальных результатов XX века находилось в полном соот-
ветствии с указанной теоретической картиной. Однако проведенные в 70-е годы
натурные исследования поведения горных пород в массиве показали, что законо-
мерности деформирования и разрушения сильно сжатых горных пород могут отли-
чаться от классических: изменение физических свойств горных пород в массиве этой
области носят осцилляционный периодический характер. Это фиксировалось иссле-
дователями в разных странах примерно в это же время. Существование периодиче-
ской изменчивости физических свойств пород вокруг подземных горных выработок,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.