ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2142
Скачиваний: 4
65
по-видимому, впервые установлено в 1972 году в работе В.А. Борисовца [2]. Он ука-
зал, что наблюдается образование 3–5 периодов изменчивости свойств горных пород
при длине периода 1,5–2 м. Несколько позднее изучение таких физических свойств
горных пород, как электросопротивление и плотность, было проведено В.Н. Опа-
риным геофизическими методами вокруг капитальных выработок на глубине до
1 км в г. Норильске [3]. В результате было установлено периодическое распреде-
ление физических свойств горных пород, указано на повторение зонами трещин
контура выработок, а также на уплотненный характер промежуточных зон. В рабо-
тах А.Ф. Морозова [4] исследование электросопротивления пород вокруг одиночной
подготовительной выработки, пройденной в осадочных породах на глубине 950 м,
дополнялось прямым исследованием трещинной структуры перископическим мето-
дом. Периодическое распределение техногенных трещин в массиве впереди очист-
ного забоя установлено в ЮАР на глубине 2300 м в работе G.R. Adams, A.J. Jager в
1980 году [5]. В исследованиях, проведенных перископическим методом, установле-
но наличие, по крайней мере, четырех зон трещин шириной 0,3–1,3 м, разделенных
промежуточными, относительно ненарушенными зонами. Таким образом, зональ-
ный характер формирования различного рода периодических трещинных структур
в массиве вокруг выработок надежно установлен экспериментально, но среди специ-
алистов по построению геомеханических моделей он до сих пор вызывает дискуссии.
Это заставляет исследовать наблюдаемые закономерности, а также разрабатывать
новые математические модели для описания геомеханической среды.
2.
Выбор модели
Выбор способа описания горных пород в сильно сжатом состоянии определяется
тем обстоятельством, что они проявляют способность как к упругому деформиро-
ванию (неразрушенные части массива), так и к разрушению. С макроскопической
точки зрения описание явления зональной дезинтеграции горных пород, естествен-
но, должно основываться на уравнениях механики сплошных сред и на принци-
пах неравновесной термодинамики. Степень детализации такого подхода зависит от
необходимости акцентировать внимание на разные особенности рассматриваемого
явления. Как мы указывали выше, характерной особенностью напряженно-дефор-
мированного состояния сильно сжатых пород является наличие периодических ос-
цилляционных структур. Поскольку в рамках классической модели нельзя описать
наличия периодических осцилляционных структур, то необходимо модифицировать
модель. С физической точки зрения формирование зон разрушения зависит от сте-
пени поврежденности горной породы, например, наличия пор, трещин и других
дефектов внутреннего строения среды. Однако классическая теория не учитывает
этот факт, поэтому следует использовать новые идеи и методы, чтобы выполнить
моделирование поведения горной породы, в частности, ввести дополнительные па-
раметры модели. В [6, 7] было показано, что в качестве таких параметров можно
использовать неевклидовы геометрические характеристики, которые в математике
определяют отличие внутренней геометрии рассматриваемого объекта от геометрии
евклидова пространства. Первая неевклидова модель сплошной среды [8] для описа-
ния распределения поля напряжений вокруг подземных выработок была сформули-
рована в рамках неравновесной термодинамики. Покажем, как получить основные
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
66
уравнения неевклидовой модели сплошной среды на основе классического вариаци-
онного принципа. Напомним, что в механике подземных сооружений [1] массив рас-
сматривается как невесомая среда, ослабленная полостью, моделирующей круглую
закрепленную выработку в условиях всестороннего сжатия
P
∞
. Задача о распределе-
нии поля напряжений вокруг выработки формулируется в стационарной постановке
и компоненты напряжений
σ
ij
удовлетворяют уравнению равновесия
∂σ
ij
∂x
j
= 0
. В ли-
нейном приближении плоские компоненты тензора напряжений даются формулами:
σ
rr
(
r
) =
P
∞
1
−
r
2
0
r
2
,
σ
ϕϕ
(
r
) =
P
∞
1 +
r
2
0
r
2
,
(1)
из которых видно, что классическое решение является монотонной функцией, не поз-
воляя моделировать периодические осцилляционные структуры. Задача может быть
сформулирована следующим образом: как минимально изменить классическую мо-
дель, чтобы описать волнообразное поведение компонент тензора напряжений? Хо-
рошо известно, что, в состоянии термического равновесия, уравнения равновесия
классической теории можно получить из условия, что деформации тела минимизи-
рует свободную энергию Гельмгольца
Z
F
(
A
ij
)
dV
, где
A
ij
являются компонентами
тензора деформации. Моделирование поведения горной породы явным образом тре-
бует введение неевклидовых параметров для описания внутреннего механического
состояния материала. С математической точки зрения отличие евклидовой геомет-
рии от неевклидовой геометрии определяется тензором Римана. Тогда естественное
расширение модели упругого континуума связано с учетом тензора Римана в сво-
бодной энергии в качестве дополнительного параметра. В качестве иллюстрации
данного подхода рассмотрим плоский случай. Для него скалярная кривизна
R
явля-
ется единственным инвариантом тензора Римана и условие евклидовости сводится к
требованию
R
= 0
. В линейном приближении скалярная кривизна дается формулой
R
= 2
∂
2
ε
11
∂x
2
∂x
2
−
2
∂
2
ε
12
∂x
1
∂x
2
+
∂
2
ε
22
∂x
1
∂x
1
,
где
ε
ij
определяют метрический тензор
g
ij
=
δ
ij
−
2
ε
ij
внутренней геометрии мате-
риала, при этом условие евклидовости тождественно удовлетворяется для тензора
малых деформаций
A
ij
=
1
2
∂U
i
∂x
j
+
∂U
j
∂x
i
.
Минимальное расширение классической
модели связано с переходом к свободной энергии
Z
F
(
A
ij
, ε
ij
, R
)
dV
[9]. Условие ми-
нимизации энергии приводит к системе уравнений для компонент напряжений
σ
ij
и тензора
ε
ij
. Чтобы использовать полученные соотношения, необходимо выбрать
свободную энергию, например, в виде
F
=
F
A
+
F
ε
+
F
Aε
+
F
R
,
где
F
A
и
F
ε
за-
висят от
A
ij
и
ε
ij
, и
F
Aε
характеризует взаимодействие полей
A
ij
и
ε
ij
. функция
F
R
зависит от скалярного параметра
R
. По аналогии с классической моделью мы
предполагаем, что
F
A
и
F
ε
определяются первым и вторым инвариантом своих тен-
зорных аргументов, а
F
Aε
зависит от произведения первых инвариантов тензоров
A
ij
и
ε
ij
. Опуская вычисления, приведем результат для задачи о распределении
поля напряжений вокруг круглой выработки:
σ
r
=
P
∞
1
−
r
2
0
r
2
+ (
C
+
B
−
A
)
∂
2
R
∂r
2
+
C
r
∂R
∂r
,
σ
θ
=
P
∞
1 +
r
2
0
r
2
+ (
C
+
B
)
∂
2
R
∂r
2
+
C
r
∂R
∂r
,
(2)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
67
где
A, B, C
феноменологические параметры. Из (1) – (2) видно, что поле напря-
жений равно сумме упругого и дополнительного полей. Последнее определяется
параметром неевклидовости
R
, уравнение для которого совпадает с классическим
уравнением Гельмгольца:
∆
R
+
γR
= 0
. Радиально симметричное решение этого
уравнения представляется через функции Бесселя и Неймана нулевого порядка:
R
=
a
1
J
0
(
r
√
γ
) +
b
1
N
0
(
r
√
γ
)
.
Эти функции определяют волновое поведение поля
напряжений. Работа выполнен при поддержке РФФИ, грант №11-01-00357.
Список литературы
1.
Булычев Н. С. Механика подземных сооружений. М.: Недра, 1994. 382 с.
2.
Борисовец В.А. Неоднородности волнового характера в породах вблизи выработок,
сооружаемых буровзрывным способом// Шахтное строительство. 1972. № 9. С. 7–11
3.
Опарин В. Н., Тапсиев А. П. О некоторых закономерностях трещинообразования во-
круг горных выработок// В сб.: Горные удары, методы оценки и контроля удароопас-
ности массива горных пород. Фрунзе: Илим, 1979, С. 342–349
4.
Зборщик М. П., Морозов А. Ф. Механизм разрушения слоистых пород и взаимодей-
ствие их с крепью полевых подготовительных выработок// II Всесоюз. конф. Пробле-
мы механики подземных сооружений: Тез.докл. Тула: ТПИ, 1982, С. 110–112
5.
Adams G.R., Jager A.J. Petroscopic observation of rock fracturing ahead of stop faces in
deep-level gold mines// J. South African Inst. Mining and Metallurgy. 1980. V. 80. No 6.
P. 204–209.
6.
Kondo K. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding// Proc.
Jpn Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. 1953. V. 2. P. 41–47.
7.
Bilby B. A., Bullough R., Smith E. Continues distributions of dislocations: a new
application of the methods of non - Riemannian geometry// Proc. Roy. Soc. 1955. V.
231. P. 263–273.
8.
Myasnikov V.P., Guzev M.A. Thermo-mechanical model of elastic-plastic materials with
defect structures// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2000. V. 33. P. 165–171.
9.
Гузев М.А. Структура кинематического и силового поля в Римановой модели сплош-
ной среды// ПМТФ. 2011. Т. 52. № 5. С. 39-48.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 539.3
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
ПОЛОГО ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ЦИЛИНДРА
Дац Е.П.
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 5
E-mail:
dats@iacp.dvo.ru
Мокрин С.Н.
Дальневосточный федеральный университет
Россия, 690000, Владивосток, Суханова 8
E-mail:
murashkin@iacp.dvo.ru
Мурашкин Е.В.
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 5
E-mail:
murashkin@iacp.dvo.ru
Ключевые слова:
пластичность, упругость, теплопроводность, темпера-
туные напряжения, остаточные напряжения
Работа посвящена изучению процессов формирования необратимых дефор-
маций металлических изделий вследствие влияния на них высоких градиен-
тов температур. Решена задача о нагреве на одной из граничных поверхно-
стей и процессе последующего охлаждения термоупругопластического по-
лого цилиндра . Указаны необходимые и достаточные условия возникнове-
ния и развития зон необратимого деформирования, разгрузки и повторного
пластического течения.
Введение
Различные технологические процессы термомеханической обработки металло-
изделий (сварки, изготовлении композиционных материалов и др.), связаны с ло-
кальным нагревом материала до высокой температуры. Температурные напряже-
ния, возникающие вследствие перепада температур, в значительной степени опре-
деляют поведение многих современных конструкций. Потребность в материалах,
которые могли бы успешно функционировать при таких высоких уровнях темпе-
ратуры, является одной из наиболее актуальных и трудных задач, определяющих
лицо современной техники. Трудность усугубляется тем, что помимо высоких уров-
ней температуры, в рабочих условиях напряжённое состояние может выйти на пре-
дел текучести. Следствием этого является процесс зарождающегося пластического
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
69
течения в окрестности нагрева. Изучению вопросов моделирования необратимого
деформирования материалов в условиях неизотермических процессов посвящены,
например, работы [1, 3, 4, 2]. Проблема определения поля перемещений в теории
идеального упругопластического тела впервые была рассмотрена Д.Д. Ивлевым [5].
Была показана возможность вычисления перемещений в статически определимых
задачах теории идеальной пластичности и указаны условия, когда данная возмож-
ность осуществляется. Указанный способ вычисления перемещений используется и
для решения поставленной задачи.
1.
Модель термоупругопластической среды
Материал цилиндра считаем упругопластическим, подчиняющимся математи-
ческой модели типа Прандтля–Рейса [1, 2] в которой деформации
e
ij
полагаются
малыми и принимается их аддитивное разложение на упругую
e
e
ij
и пластическую
e
p
ij
составляющие
e
ij
=
e
e
ij
+
e
p
ij
=
1
2
(
u
i,j
+
u
j,i
)
(1)
Уровень и распределение упругих деформаций и температуры в шаре задают на-
пряжения в нем, определяемые согласно закону Дюгамеля-Неймана
σ
ij
= (
λe
e
kk
−
mθ
)
δ
ij
+ 2
µe
e
ij
,
θ
=
T
(
x
i
, t
)
−
T
0
(2)
Здесь
λ
,
µ
— параметры Ламе,
m
= 3
αK
,
K
— модуль всестороннего сжатия матери-
ала,
α
— коэффициент линейного температурного расширения материала,
T
(
x
i
, t
)
—
текущая температура. Начало процесса пластического течения в материале свяжем
с выполнением условия пластичности в форме Треска–Сен Венана [2]
f
(
σ
ij
, θ
) = max
|
σ
i
−
σ
j
| −
2
k
(
θ
) = 0
(3)
где
σ
i
— главные напряжения,
k
(
θ
)
— предел текучести материала при заданной
температуре. Далее в расчетах для
k
(
θ
)
принимается простейшая линейная зави-
симость
k
(
θ
) =
k
0
−
βθ
, в которой
k
0
— предел текучести материала при комнат-
ной температуре,
β
— теплофизическая постоянная материала, задающая степень
падения предела текучести с повышением температуры и определяемая на основе
экспериментальных данных. В условиях принимаемого принципа максимума Мизе-
са [2] поверхность (3) становится пластическим потенциалом, следствием которого
является ассоциированный закон пластического течения
ε
p
ij
=
ξ
∂f
∂σ
ij
,
ξ
=
q
ε
p
kl
ε
p
lk
∂f
∂σ
mn
∂f
∂σ
nm
−
1
2
(4)
Если к соотношениям (1) – (4) добавить локальные следствия законов сохранения
(уравнение движения и уравнение баланса внутренней энергии) и постулировать
закон теплопроводности, например, в форме Фурье, то получим замкнутую матема-
тическую модель деформирования.
2.
Температурные напряжения полого
цилиндра
Рассмотрим бесконечно длинный полый цилиндр, свободный от внешних на-
грузок при начальной температуре
T
0
. Внешняя поверхность поддерживается при
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.