ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2160
Скачиваний: 4
115
Рис. 1.
Сравнение скорости вычислений
Рис. 2.
Сравнение скорости вычислений при различных
методах реализации оператора трансляции
формой оператора. Расчеты для графиков были выполнены на сетке внешней обла-
сти, в качестве волнового числа выбиралось
k
= 20
. Теперь сравним погрешность
вычислений при одинаковой скорости расчетов:
Таблица 1.
Погрешности вычислений задачи 1, волновое число k=4
Число точек
Исходный метод
FMM
510
2.757E-003
4.642E-002
998
3.936E-004
1.965E-002
2042
1.402E-004
6.157E-003
3998
4.672E-005
2.964E-003
8150
2.190E-005
1.268E-004
15974
6.521E-006
4.579E-005
32598
7.953E-007
2.064E-006
63886
4.943E-007
5.138E-007
127940
2.308E-007
2.173E-007
Заключение
В данной работе изучались и сравнивались между собой различные модифика-
ции быстрых методов семейства Fast Multipole Method, а также способы реализа-
ции оператора трансляции в методе Single Level FMM. В ходе работы была создана
программа на языке С++, содержащая набор функций для работы с задачами аку-
стики при известных значениях интегралов и плотностей вспомогательных источ-
ников в точках дискретизации. В методе Single Level FMM реализовано вычисление
оператора трансляции прямым методом и в интегральной форме. На основе срав-
нения скоростей вычислений данными методами сделан вывод о целесообразности
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
116
использования оператора трансляции в интегральной форме. Полученная програм-
ма создает основу для решения краевых задач для уравнения Гельмгольца методом
MLFMM, более быстрым по сравнению с изученными в ходе работы методами. Его
реализация планируется в дальнейшем.
Список литературы
1.
Duraiswami R., Gumerov N. Fast Multipole Methods for Helmholtz equation in three
dimensions. М.: Un. Maryland.-2008.-546 с.
2.
Основные сведения о вычислительном кластере.
http://hpc.febras.net/node/10
3.
Каширин А.А., Смагин С.И. О численном решении задач Дирихле для уравнения
Гельмгольца методом потенциалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-2012.-Т. 52.-
№ 8.-С. 1492-1505.
4.
Смагин, С.И. Численное решение интегрального уравнения I рода со слабой особен-
ностью для плотности потенциала простого слоя // Ж. вычисл. матем. и матем.
физ. – 1988. – №11. – С. 1663-1673.
5.
Rokhlin V. Diagonal Forms of Translation Operators for the Helmholtz Equation in Three
Dimensions. M.:Appl. Comput. Harmon. Anal.-1993.-93 с.
6.
Stein S. Addition theorems for spherical wave functions. M.:Appl. Math. - 1961
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 530.182:574.34
БАССЕЙНЫ ПРИТЯЖЕНИЯ КЛАСТЕРОВ
В МОДЕЛЯХ ПРОСТРАНСТВЕННО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПОПУЛЯЦИЙ
М.П. Кулаков
Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН
Россия, 679016, Биробиджан, Шолом-Алейхема 4
E-mail:
k_matvey@mail.ru
Ключевые слова:
метапопуляция, система глобально-связанных отобра-
жений, синхронизация, мультистабильность, кластер, бассейн притяжения
Для
изучения
феномена
кластеризации,
возникающего
в
моделях
пространственно-временной динамики неоднородных популяций или мета-
популяций, предложена методика выделения бассейнов притяжения неко-
торых фаз кластеризации. Для чего использован показатель близости про-
странственного распределения плотности популяции по ареалу в
T
-момент
времени с начальным распределением популяции. В качестве оценки бли-
зости или меры близости начального и достигаемого состояния системы
предложено использовать коэффициент детерминации.
Введение
В математической популяционной биологии хорошо изучена динамика локаль-
ных популяций, описываемых моделями с непрерывным и дискретным временем.
Возникающие колебания численности в них объясняются внутрипопуляционными
процессами, связанными с плотностно-зависимым лимитированием роста численно-
сти, периодическим характером действия внешних факторов, а так же межвидо-
выми взаимодействиям (конкуренция, отношения типа «хищник-жертва», симбиоз
и т.п.). Реальные биологические популяции, обычно, пространственно распределе-
ны по своему ареалу и представлены взаимодействующими локальными группами
особей, обменивающихся мигрантами, и образуют, так называемые, метапопуляции.
Механизмы формирования нерегулярного и периодического поведения метапопу-
ляции оказываются существенно сложнее, чем отдельной изолированной популя-
ции, и в большей степени определяются географической структурой ареала и ми-
грационным взаимодействием. Для количественного описания динамики подобным
образом устроенных популяций удобно пользоваться богатым аппаратом нелиней-
ной динамики и математического моделирования. В качестве простейшей модели
пространственной динамики таких популяций предлагается использовать системы
связанных логистических отображений, демонстрирующих переход к хаосу через
удвоение периода [1-3]. Каждый элемент такой популяции при этом может быть
связан с некоторыми другим либо диссипативно, либо инерциально. В первом слу-
чае, особи мигрируют в промежутках между сезонами размножения, а эмигранты
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
118
ничем не отличаются от местных особей и сразу начинают участвовать в процессах
размножения, не зависимо от того, когда происходило расселение: до периода раз-
множения, либо после него. Во втором случае, особи мигрируют из одной локальной
популяции в другую в обход процессам размножения и гибели, а эмигранты стано-
вятся неотличимы от местных особей и начинают участвовать в размножении лишь
через сезон. Такие системы характеризуются наличием эффектов мультистабиль-
ности, синхронизации, перемежаемости и кластеризации. Наличие этих феноменов
очень интересно, но значительно осложняет возможность применения таких мате-
матических моделей для описания динамики реальных популяций и, в частности,
затрудняет возможность идентификации параметров. Целью данной работы явля-
ется моделирование пространственно-временной динамики популяций животных и
исследование закономерностей кластеризации в системах связанных отображений.
1.
Модели пространственной динамики
метапопуляции
Пронумеруем в каком либо порядке каждую локальную популяцию от
1
до
N
и обозначим через
x
(
i
)
n
численность в
i
-м (
i
= 1
,
2
, . . . , N
)
очаге в дискретный
момент времени
n
. В случае диссипативной миграционной связи каждой локальной
популяции уравнения пространственной динамики распределенной популяционной
популяции (метапопуляции) можно записать в виде системы глобально-связанных
отображений:
x
(
i
)
n
+1
=
N
X
j
=1
m
i,j
f
x
(
j
)
n
(
i
= 1
,
2
, . . . , N
)
,
(1)
где
m
i,j
>
0
(
i
6
=
j
)
– коэффициент миграции особей из
j
-й популяции в
i
-ю,
m
i,i
= 1
−
N
P
j
=1
,j
6
=
i
m
j,i
(
j
6
=
i
,
i
= 1
,
2
, . . . , N
) равен доле не эмигрировавших из
i
-й
популяции особей,
f
(
x
)
– функция локального воспроизводства. Если популяции
связанны инерциально, то уравнения их пространственной динамики имеют вид:
x
(
i
)
n
+1
=
f
m
i,i
·
x
(
i
)
n
+
N
X
j
=1
,j
6
=
i
m
i,j
x
(
j
)
n
(
i
= 1
,
2
, . . . , N
)
.
(2)
В качестве функция локального воспроизводства использовалась унимодальная за-
висимость запас-пополнение Рикера:
f x
(
i
)
=
a
(
i
)
·
x
(
i
)
·
e
−
x
(
i
)
, где
a
(
i
)
– репродуктив-
ный потенциал
i
-й популяции, то есть скорость её максимально возможного годового
воспроизводства в отсутствии лимитирования. Матрица
M
= (
m
i,j
)
называется мат-
рицей миграционной связи или просто матрицей миграции, которая помимо интен-
сивностей миграционных потоков между локальными очагами содержит косвенно
информацию о способе разбиения метапопуляции и нумерации её локальных по-
пуляций (субпопуляций). Далее рассматривается полностью симметричный случай
систем (1) и (2), т.е. при равенстве репродуктивных потенциалов каждой локальной
популяции
a
=
a
(1)
=
a
(2)
=
. . .
=
a
(
N
)
и равенстве коэффициентов миграции. По-
следнее означает, что все не диагональные элементы матрицы, которые не равны
нулю, равны
m
=
const
. Диагональный элемент матрицы миграции по-прежнему
равен
m
i,i
= 1
−
N
P
j
=1
,j
6
=
i
m
j,i
(
i
= 1
,
2
, . . . , N
,
j
= 1
,
2
, . . . , N
), таким образом, что под
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
119
знаком суммы стоят либо
m
либо ноль. В случае если локальная популяция связана
максиму с четырьмя своими ближайшими соседями, то
0
6
m
6
0
.
25
. В противном
случае некоторые диагональные элементы матрицы
M
окажутся отрицательными.
2.
Кластеры и их бассейны притяжения
Как известно [1-3] реализуемые в системах (1) и (2) режимы пространствен-
ной динамики зависит не только от соотношения параметров
a
и
m
, но так, же
и начального распределения особей популяции по ареалу, т.е. начальных значений
фазовых переменных
x
(
i
)
0
(
i
= 1
,
2
, . . . , N
)
. При этом различным наборам
x
(
i
)
0
могут
соответствовать различные динамические режимы или аттракторы – такое явле-
ние называют мультистабильностью. Частным случаем этого явления для систем
глобально-связанных отображений является явление кластеризации – образование
групп фазовых переменных динамической системы (численности субпопуляций в
каждом очаге) по группам – кластерам, в пределах которых динамика фазовых
переменных синхронна. Каждому такому кластеру соответствует свой бассейн при-
тяжения. На рис. 1 приведены примеры пространственной динамики популяции,
описываемой системой (1), с ареалом квадратной формы состоящей из 36 локаль-
ных очагов, на котором продемонстрировано образование (рис. 1
а
) двух кластеров,
(рис. 1
б
) одного кластера в центре и (рис. 1
в
) ситуации, когда число кластеров
равно числу локальных популяций и динамика каждой субпопуляции оказывает-
ся противофазной с рядом стоящими. Слева на рис. 1, высота столбцов показывает
численности каждой субпопуляции в фиксированный момент времени, справа, изоб-
ражена та же динамика в различные моменты времени, в зависимости от номера
субпопуляции. В данном примере каждая локальная популяция колеблется с цик-
лом длины 2, что отмечено в виде двух графиков (
n
=
τ
и
n
=
τ
+ 1)
. Рассмотрим
n=
t
+
1
n=
t
n=
t
+
1
n=
t
n=
t
+
1
n=
t
0
12
24
36
0
1
4
i
12
24
36
0
2
4
6
n=
t
n=
t
+
1
i
0
12
24
36
2
4
6
i
n=
t
n=
t
+
1
(
а
)
(
б
)
Рис. 1.
Пример пространственной динамики популяции, описываемой си-
стемой (1) при
a
= 12
и
m
= 0
.
025
простейший случай кластеризации – образование двух кластеров (так называемая
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.