ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2152
Скачиваний: 4
УДК 517.95
ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ДВУМЕРНОЙ
ЗАДАЧЕ МАСКИРОВКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ
ТЕЛ ДЛЯ МОДЕЛИ H-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
П. Р. Месенев
Дальневосточный федеральный университет
Россия, 690950, Владивосток, Суханова 8
E-mail:
ox1omon@gmail.com
Ключевые слова:
уравнение Гельмгольца, краевая задача, импеданс, за-
дача управления, граничное управление, разрешимость
Рассматривается задача управления для двумерной модели электромагнит-
ного поля, описывающей рассение электромагнитных волн в неограничен-
ной однородной среде, содержащей неоднородное тело с покрытой специаль-
ными материалами границей. Внесение покрытия моделируется с помощью
импедансного граничного условия. Роль управления в рассматриваемой за-
даче играет поверхностный импеданс. Доказано существование решения за-
дачи управления и выведена система оптимальности.
1.
Введение
Задача маскировки материальных тел от средств электромагнитной локации
стала актуальной с момента установки первых радиолокационных станций. В наше
время большой популярностью пользуются математические задачи, возникающие
при разработке технологий и материалов, позволяющих скрывать материальные
объекты. Необходимо отметить работы [1, 2], посвященные разработке теоретиче-
ских и численных алгоритмов решения подобных задач. В приведенных работах
эффект маскировки достигается за счет выбора параметров неоднородной анизо-
тропной среды, заполняющей маскировочную оболочку, путем решения соответ-
ствующей обратной задачи для уравнений Максвелла или уравнения Гельмгольца
с переменными коэффициентами. Заметим, что техническая реализация решений,
полученных в этих статьях, связана со значительными техническими трудностями.
Одним из способов преодоления этих трудностей является использование специаль-
ного покрытия, которое математически моделируется введением импедансного гра-
ничного условия, связывающего между собой электрическое и магнитное поля че-
рез граничный коэффициент, называемый поверхностным импедансом, или поверх-
ностной проводимостью. Математически эта задача сводится к решению обратной
экстремальной задачи, где роль управления играет поверхностный импеданс, а в
качестве функционального ограничения выступает используемая модель рассеяния
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
161
электромагнитных волн, рассматриваемая при импедансном граничном условии. Це-
лью данной работы является разработка численного алгоритма решения этой задачи
для двумерной модели, описывающей рассеяние электромагнитных волн в неогра-
ниченной однородной среде, содержащей анизотропное проницаемое препятствие с
покрытой границей в случае Н-поляризованных электромагнитных волн. Для аку-
стических волн обоснование физической подоплеки данного подхода можно найти
в [3]. Близкая задача управления импедансом в случае внешней краевой задачи для
2-D уравнения Гельмгольца рассмотрена в [4]. Для электромагнитных волн задачи
управления импедансом для трехмерных уравнений Максвелла, рассматриваемых
в ограниченной области, изучены в [5, 6].
2.
Функциональные пространства
Пусть
Ω
— ограниченная область в
R
2
со связным дополнением
Ω
c
=
R
2
\
Ω
и границей
Γ
. Задача рассеяния электромагнитных волн в однородной изотропной
среде, содержащей неоднородное проницаемое препятствие, сводится к нахождению
функций
v
в
Ω
и
u
=
u
inc
+
u
s
в
Ω
c
, удовлетворяющих следующим соотношениям:
∇ ·
A
∇
v
+
k
2
v
= 0
в
Ω
,
(1)
∆
u
+
k
2
u
= 0
в
Ω
c
,
(2)
v
−
u
=
−
iη
∂u
∂n
,
∂v
∂n
A
−
∂u
∂n
= 0
на
Γ
,
(3)
lim
r
→∞
√
r
(
∂u
s
∂r
−
iku
s
) = 0
где
r
=
|
x
|
.
(4)
Здесь
u
inc
– падающая волна,
u
s
– рассеянная волна,
η
– поверхностная проводи-
мость границы
Γ
,
k
– волновое число, (
k
2
=
ε
0
µ
0
ω
2
, где
ω
– угловая частота,
ε
0
и
µ
0
– постоянные электрическая и магнитная проницаемости),
n
– единичный век-
тор внешней по отношению к
Ω
нормали к границе
Γ
,
A
= ((
a
ij
))
,
i, j
= 1
,
2
–
заданная в
Ω
матричная функция, описывающая параметры среды в
Ω
,
∂v/∂n
A
– конормальная производная функции
v
на
Γ
[7, 8, 9]. Будем предполагать ниже,
что выполняются следующие условия: (i)
Ω
– ограниченная область в
R
2
со связ-
ным дополнением
Ω
c
и с границей
Γ
∈
C
0
,
1
; (ii)
a
ij
∈
C
1
(Ω)
,
Re(
ξ
·
A
(
x
)
ξ
)
>
γ
|
ξ
|
2
,
Im(
ξ
·
A
(
x
)
ξ
)
6
0
∀
ξ
∈
C
2
,
∀
x
∈
Ω
,
γ
= const
>
0
. Пусть
B
R
– круг радиуса
R
,
содержащий
Ω
,
Ω
e
= Ω
c
∩
B
R
. Ясно, что
Ω
e
– ограниченная область в
R
2
с границей
∂
Ω
e
= Γ
∪
Γ
R
, так что
Γ
является границей области
Ω
и частью границы
∂
Ω
e
= Γ
∪
Γ
R
области
Ω
e
. С учетом этого обстоятельства будем использовать ниже два операто-
ра следа на
Γ
: “внутренний” оператор следа
γ
|
Γ
:
H
1
(Ω)
→
H
1
/
2
(Γ)
и “внешний”
γ
e
|
Γ
:
H
1
(Ω
e
)
→
H
1
/
2
(Γ)
. Будем использовать пространства
H
1
(Ω)
,
H
1
(Ω
e
)
,
H
1
/
2
(Γ)
,
H
1
/
2
(Γ
R
)
с нормами
k · k
1
,
Ω
,
k · k
1
,
Ω
e
,
k · k
1
/
2
,
Γ
,
k · k
1
/
2
,
Γ
R
соответственно. Введем про-
странства
L
∞
λ
0
(Γ) =
{
λ
∈
L
∞
(Γ) :
λ
(
x
)
>
λ
0
}
и
H
s
λ
0
(Γ) =
{
λ
∈
H
s
(Γ) :
λ
(
x
)
>
λ
0
}
,
λ
0
= const
>
0
, s >
0
. Они будут служить для описания величины
λ
, обратной к
проводимости
η
. Введем гильбертово пространство
X
=
H
1
(Ω)
×
H
1
(Ω
e
)
с нормой
|
[
U
]
|
2
=
k
v
k
2
1
,
Ω
+
k
u
k
2
1
,
Ω
e
∀
U
= (
v, u
)
∈
X.
(5)
Рассмотрим пространство
H
inc
≡ H
inc
(Ω
e
) =
{
v
∈
H
1
(Ω
e
) : ∆
v
+
k
2
v
= 0
в
D
0
(Ω
e
)
}
,
служащее для описания падающих волн. Для любой падающей волны
u
inc
∈ H
inc
существует след (нормальная компонента)
∂u
inc
/∂n
|
Γ
R
∈
H
−
1
/
2
(
∂
Γ
R
).
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
162
3.
Разрешимость исходной задачи сопряжения
Введем отображение Дирихле–Неймана
T
:
H
1
/
2
(Γ
R
)
→
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
, которое
ставит в соответствие каждой функции
g
∈
H
1
/
2
(Γ
R
)
функцию
∂
˜
u/∂n
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
,
где
˜
u
– решение внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца
∆˜
u
+
k
2
˜
u
=
0
в
Ω
c
\
B
R
с условием
˜
u
|
Γ
R
=
g
. Известно, что
T
∈ L
(
H
1
/
2
(Γ
R
)
, H
−
1
/
2
(Γ
R
))
, (см.,
например, [10]). Пусть при выполнении условий (i), (ii)
Φ
∈
X
– произвольная тесто-
вая функция,
u
inc
∈ H
inc
. Умножив уравнения (1)-(2) на функцию
Φ
|
Ω
, где
Φ
∈
X
,
проинтегрируем по
Ω
, применим формулы Грина и сложим два уравнения. Вве-
дем функцию
U
∈
X
, равную
v
(
x
)
в
Ω
и
u
(
x
)
в
Ω
e
. Используя
U
и обозначение
[Φ] = Φ
e
|
Γ
−
Φ
i
|
Γ
для скачка функции
Φ
через
Γ
, запишем результат в виде
a
λ
(
U,
Φ)
≡
a
0
(
U,
Φ)
−
a
λ
(
U,
Φ) =
h
f,
Φ
i
∀
Φ
∈
X.
(6)
Введеные в (6) полуторалинейные и антилинейная формы определяются формулами
a
0
(
U,
Φ) =
Z
Ω
∇
Φ
·
A
∇
U
−
k
2
Φ
U
dx
+
Z
Ω
e
∇
Φ
· ∇
U
−
k
2
Φ
U
dx
−
Z
Γ
R
Φ
T U dσ,
(7)
a
λ
(
U,
Φ) =
i
(
λ
[
U
]
,
[Φ])
Γ
=
i
Z
Γ
λ
[Φ][
U
]
dσ,
h
f,
Φ
i
=
−
Z
Γ
R
Φ
T u
inc
dσ
+
Z
Γ
R
Φ
∂u
inc
∂n
dσ.
(8)
Решение
U
∈
X
задачи (6) назовем слабым решением задачи 1. Используя свойства
оператора
T
, теорему о следах и теоремы вложения можно показать, что к зада-
че (6) применима альтернатива Фредгольма. С её помощью может быть доказана
следующая теорема.
Теорема 1.
Пусть при выполнении условий (i), (ii),
λ
∈
L
∞
λ
0
(Γ)
– произвольная
функция, где
λ
0
>
0
. Тогда: (1) оператор
A
λ
:
X
→
X
∗
является изоморфизмом;
(2) для любого падающего поля
u
inc
∈ H
inc
задача (6) имеет единственное решение
U
λ
∈
X
, которое удовлетворяет оценке
k
U
λ
k
X
6
C
λ
k
u
inc
k
1
,
Ω
e
, C
λ
=
C
3
˜
C
λ
,
где константа
C
λ
зависит от
Ω
,
k
,
R
, матрицы
A
и
λ
.
4.
Постановка и разрешимость задачи
управления
Одной из наших целей является исследование обратной экстремальной задачи
для рассматриваемой модели рассеяния волн. Эта задача заключаются в минимиза-
ции определенного функционала качества, зависящего от состояния (волнового поля
U
) и неизвестной функции (управления), удовлетворяющих уравнениям состояния,
имеющим вид слабой формулировки (6) задачи (1)–(4). В качестве управления мы
выберем импеданс
λ
, а в качестве функционала качества выберем один из следую-
щих:
I
1
(
U
) =
k
U
−
u
d
k
2
Q
=
Z
Q
k
U
−
u
d
k
2
dx, I
2
(
U
) =
k
U
−
u
d
k
2
Γ
r
=
Z
Γ
r
|
U
−
u
d
|
2
dσ.
(9)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
163
Здесь
Q
⊂
Ω
e
– подобласть области
Ω
e
,
Γ
r
– граница круга
B
r
радиуса
r < R
такого, что
Ω
⊂
B
r
, функция
u
d
моделирует заданное волновое поле в области
Q
или на
Γ
r
. В частном случае, когда
u
d
=
u
inc
, функционал
I
1
(либо
I
2
) имеет
смысл квадрата средне-квадратичной интегральной нормы рассеяного поля
u
s
по
Q
(либо по
Γ
R
). Пусть выполняется условие: (j)
Γ
∈
C
1
,
1
;
α
0
>
0
;
K
⊂
H
s
λ
0
(Γ)
–
непустое выпуклое замкнутое множество, где
s >
1
/
2
,
λ
0
>
0
. Введем оператор
G
:
X
×
K
× H
inc
→
X
∗
формулой
h
G
(
U, λ, u
inc
)
,
Φ
i
=
a
0
(
U,
Φ)
−
i
(
λ
[
U
]
,
[Φ])
Γ
− h
f,
Φ
i
и перепишем слабую формулировку (6) задачи 1 в виде уравнения
G
(
U, λ, u
inc
) = 0
.
Рассмотрим следующую задачу условной минимизации:
J
(
U, λ
) =
α
0
2
I
(
U
) +
α
1
2
k
λ
k
2
s,
Γ
→
inf
, G
(
U, λ, u
inc
) = 0
,
(
U, λ
)
∈
X
×
K.
(10)
Здесь
I
:
X
→
R
– слабо полунепрерывный снизу функционал качества. Обозначим
через
Z
ad
=
Z
ad
(
u
inc
) =
{
(
U, λ
)
∈
X
×
K
:
G
(
U, λ, u
inc
) = 0
, J
(
U, λ
)
<
∞}
множество
допустимых пар для задачи (10). Основываясь на аппарате книг [11, 12] , можно
доказать следующие теоремы
Теорема 2.
Пусть при выполнении условий (i), (ii), (j),
I
:
X
→
R
– слабо полу-
непрерывный снизу функционал,
u
inc
∈ H
inc
, причем
Z
ad
– непустое множество,
и пусть
α
0
>
0
, α
1
>
0
и
K
– ограниченное множество, либо
α
1
>
0
и функци-
онал
I
ограничен снизу. Тогда задача (10) имеет по крайней мере одно решение
(
U, λ
)
∈
X
×
K
.
Теорема 3.
Пусть при выполнении условий (i), (ii), (j) пара
( ˆ
U ,
ˆ
λ
)
∈
X
×
K
явля-
ется решением задачи (10), причем функционал
I
непрерывно дифференцируем по
U
в точке
ˆ
U
. Тогда существует единственный ненулевой множитель Лагранжа
P
∈
X
, который удовлетворяет комплексному уравнению Эйлера-Лагранжа
a
0
(Ψ
, P
)
−
i
(ˆ
λ
[Ψ]
,
[
P
])
Γ
=
−
(
α
0
/
2)
h
I
0
U
( ˆ
U
)
,
Ψ
i ∀
Ψ
∈
X
(11)
и справедлив принцип минимума, эквивалентный вариационному неравенству
α
1
(ˆ
λ, λ
−
ˆ
λ
)
s,
Γ
−
Re[
i
((
λ
−
ˆ
λ
)[ ˆ
U
]
,
[
P
])
Γ
]
>
0
∀
λ
∈
K.
(12)
Прямая задача (6), тождество (11), имеющее смысл сопряженной задачи для
сопряженного состояния
P
∈
X
, и вариационное неравенство (12) образуют
систему
оптимальности
для задачи управления (10), описывающую необходимые условия
экстремума.
5.
Заключение
В работе была сформулирована обратная задача для двумерной модели рассе-
яния электромагнитных волн и получена система оптимальности, которую можно
использовать для исследования единственности и устойчивости решений конкрет-
ных экстремальных задач, а также при разработке численного алгоритма решения
поставленной экстремальной задачи и исследовании его сходимости. Простейший
алгоритм получается, если для нахождения решения системы оптимальности при-
менить метод простой итерации. В результате мы получим итерационный алгоритм,
n
-я итерация которого состоит в нахождении величин
U
n
,
P
n
и
λ
n
+1
при заданном
λ
n
путем последовательного решения следующих задач:
a
λ
n
(
U
n
,
Φ) =
h
f,
Φ
i
∀
Φ
∈
X,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
164
a
0
(Ψ
, P
n
)
−
i
(
λ
n
[Ψ]
,
[
P
n
])
Γ
=
−
α
0
(Ψ
, U
n
−
u
d
)
Q
∀
Ψ
∈
X,
α
1
(
λ
n
, λ
n
+1
−
λ
n
)
s,
Γ
−
Re[
i
((
λ
n
+1
−
λ
n
)[
U
n
]
,
[
P
n
])
Γ
]
>
0
∀
λ
∈
K.
Исследованию единственности и устойчивости решений экстремальных задач, по-
строению численных алгоритмов, исследованию их сходимости и анализу численных
экспериментов будет посвещена дальнейшая работа автора. Работа выполнена при
финансовой поддержке гранта ФЦП (госконтракт N 14.А18.21.0353) и проекта "Фун-
даментальные задачи механики сплошной среды и теории переноса"Министерства
образования и науки РФ.
Список литературы
1.
Pendry J.B., Shurig D. and Smith D.R. Controlling Electromagnetic Fields// Science.
2006. V. 312. P. 1780–1782.
2.
Алексеев Г.В., Романов В.Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-
чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т. 14,
№ 2, C. 1–6.
3.
Бобровницкий Ю.И. Научные основы акустического стелса// ДАН. 2012. Т. 442, № 1.
С. 41–44.
4.
Alekseev G.V. Cloaking via impedance boundary condition for 2–D Helmholtz equation//
Appl. Anal. 2013. V. 93, N 10.
5.
Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Теоретический анализ экстремальных задач гранич-
ного управления для уравнений Максвелла// Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т.
14, № 1. С. 3–16.
6.
Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В., Романов В.Г. Оценки устойчивости решений задач
граничного управления для уравнений Максвела при смешанных граничных усло-
виях// ДАН. 2012. Т. 447, № 1 . C. 7–12.
7.
Ильинский А.С., Кравцов В.В, Свешников А.Г. Математические модели электроди-
намики. М.: Высшая школа. 1991. 224 с.
8.
Леонтович М.А. Исследования по распространению радиоволн // ЖЭТФ. 1948. Т. 2.
С. 5.
9.
Зоркаль С.М., Conna M.C. Локационные задачи теории распространения волн (ди-
фракция и фокусировка). Новосибирск. Изд-во НГУ. 2003.
10.
Melenk J.M., Sauter S. Convergence analysis for finite element discretizations of the
Helmholtz equation with Dirichlet–to–Neumann boundary conditions// Math. Comp.
2010. V. 79. P. 1871–1914.
11.
Алексеев Г.В. Задачи управления для стационарных уравнений магнитной гидроди-
намики// ДАН. 2004. Т. 395, № 3. C. 322–325.
12.
Алексеев Г.В., Терешко Д.А. О задаче идентификации для стационарной модели маг-
нитной гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Журн. вычисл. матем.
и матем. физ. 2009. Т. 49, № 10. С. 1796–1811.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.