ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2150
Скачиваний: 4
170
4.
Буренин А.А, Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упруго-
пластической среды при конечных деформациях.// ДАН 1996.Т. 347, № 2. С.199-201.
5.
Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конеч-
ных деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. № 1. С. 120 – 128.
6.
Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих дефор-
маций // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. Т. 46, № 5. С. 138 – 149.
7.
Ковтанюк Л.В., Шитиков А.В. О теории больших упругопластических деформаций
материалов при учете температурных и реологических эффектов // Вестник ДВО
РАН. 2006. № 4. С. 87 – 93.
8.
Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech.
1969. 36, № 1. P. 1 – 6.
9.
Коробейнков С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во
СО РАН. 2000. 262 с.
10.
Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. —
Новосибирск: НГАСУ, 1997. — 278с.
11.
Локощенко А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности ме-
таллов. — М.: МГИУ, 2007. — 264c.
12.
Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука. 1966. 232 с.
13.
Знаменский В.А., Ивлев Д.Д. Об уравнениях вязкопластического тела при кусочно-
линейных потенциалах // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963.
№ 6. С. 114 - 118
14.
Спорыхин А.А. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. — Воро-
неж: Из-во ВГУ, 1997 — 360с.
15.
Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Формирование одномерного поля оста-
точных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упруго-
пластической среды // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 316 –
325.
16.
Горелов В.И. Исследование влияний высоких давлений на механические характери-
стики алюминиевых сплавов // Прикл. механика и техн. физика. 1984. № 5. С. 157
– 158.
17.
Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В. Об остаточных напряжениях в
окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупругопластического ма-
териала // Прикл. механика и техн. физика. 2006. Т. 47, № 2. С. 110 – 119.
18.
Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966. — 752 c.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 519.7+519.8
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ИНТЕРВАЛЬНЫЕ
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.О. О
Дальневосточный федеральный университет,
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690091, Владивосток, Октябрьская 27,
Россия, 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7
E-mail:
ovioy@list.ru
Ключевые слова:
интервальные задачи, оптимальное управление, эволю-
ционные задачи, уравнение теплопроводности
Рассмотрена эволюционная интервальная задача стартового управления в
гильбертовом пространстве. Вводится понятие субуниверсального решения
и в качестве приложения приведен пример интервальной задачи управления
одномерным уравнением теплопроводности.
1.
Субниверсальное решение эволюционной
интервальной задачи стартового управления
Рассмотрим вещественные гильбертовы пространства
V
и
H
такие, что
V
⊂
H
⊂
V
0
,
с плотным компактным вложением
V
⊂
H
. Здесь
V
0
— пространство,
двойственное к
V.
Обозначим, соответственно, через
k · k
и
| · |
нормы в
V
и
H,
а
через
((
·
,
·
))
и
(
·
,
·
)
— соответствующие скалярные произведения. Для постановки
эволюционной задачи определим переменную
t
(время),
t
∈
(0
, T
)
,
где
T <
+
∞
.
Введем теперь пространство
L
2
(0
, T
;
V
)
функций
t
→
y
(
t
)
, отображающих интервал
(0
, T
)
в пространство
V
, измеримых и таких, что
T
Z
0
k
y
(
t
)
k
2
dt
1
/
2
<
∞
.
Аналогично определяются пространства
L
2
(0
, T
;
H
)
, L
2
(0
, T
;
V
0
)
.
Для функции
y
∈
L
2
(0
, T
;
V
)
можно определить производную
˙
y
=
dy
dt
в смысле теории распределений
[4]. Рассмотрим пространство
W
(0
, T
) =
{
y
|
y
∈
L
2
(0
, T
;
V
)
,
˙
y
∈
L
2
(0
, T
;
V
0
)
}
.
Это пространство снабженное нормой:
k
y
k
W
(0
,T
)
=
T
Z
0
k
y
(
t
)
k
2
V
dt
+
T
Z
0
k
dy
dt
k
2
V
0
dt
)
1
/
2
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
172
становится гильбертовым [ [6], гл.1]. Заметим, что, если
y
∈
W
(0
, T
)
, то
y
∈
C
([0
, T
];
H
)
Пусть
A
:
V
→
V
0
— линейный непрерывный оператор со свойствами, заданными в
главе 2(стр.
??
). Рассмотрим динамическую управляемую интервальную систему:
(
˙
y
+
aAy
= 0
,
0
< t < T,
y
|
t
=0
=
u, u
∈
H,
(1)
в которой начальное состояние
u
играет роль управления. Под решением задачи (1)
понимаем функцию
y
∈
W
(0
, T
)
.
Пусть
a
∈
[
a
1
, a
2
]
— неопределенный коэффициент
из замкнутого интервала
0
< a
1
6
a
6
a
2
.
(2)
Задача оптимального управления состоит в минимизации следующего функциона-
ла:
1
2
|
y
|
t
=
T
−
y
d
|
2
+
N
2
|
u
|
2
→
inf,
u
∈
H,
(3)
на решениях задачи Коши (1). Здесь
N >
0
,
y
d
— заданный элемент из пространства
H.
Используя базис пространств
H
и
V,
решение задачи (1) можно записать в виде
y
(
t
) =
∞
X
j
=1
e
−
aλ
j
t
u
j
w
j
.
(4)
Здесь
{
w
j
}
полная ортонормированная в
H
система собственных элементов опера-
тора
A
,
Aw
j
=
λ
j
w
j
,
j
= 1
,
2
, ...
0
< λ
1
6
λ
2
6
...
;
u
j
= (
u, w
j
)
— коэффициенты
Фурье элемента
u
∈
H.
Тогда задачу (3) мы можем свести к интервальной задаче
минимизации функционала, зависящего только от
{
u
j
}
∞
1
. Получаем:
J
(
u
) =
1
2
∞
X
j
=1
(
e
−
2
aλ
j
T
+
N
)
u
2
j
−
2
e
−
aλ
j
T
u
j
y
d
j
+
y
2
d
j
→
inf.
(5)
Здесь
u
j
= (
u, w
j
)
,
y
d
j
= (
y
d
, w
j
)
— коэффициенты Фурье элементов
u, y
d
.
Опреде-
лим для задачи (3), (5) понятия минимума, точки минимума и укажем процедуры
их нахождения. Число
a
из интервала (3) будем называть
допустимым
. Заметим,
что для каждого допустимого
a
минимум функционала
J
достигается на элементе
b
u
=
∞
X
j
=1
e
aλ
j
T
y
d
j
1 +
e
2
aλ
j
T
N
w
j
,
(6)
при этом соответствующее значение функционала равно
J
(
b
u
) =
−
1
2
∞
X
j
=1
y
2
d
j
1 +
e
2
aλ
j
T
N
−
y
2
d
j
.
Как видно, минимум
J
(
b
u
)
зависит от неопределенного параметра
a
и при
a
2
6
a
6
a
1
принимает значения
J
1
6
J
(
b
u
)
6
J
2
, где
J
i
=
−
1
2
∞
X
j
=1
y
2
d
j
1 +
e
2
a
i
λ
j
T
N
−
y
2
d
,
i
= 1
,
2
.
(7)
Субуниверсальным значением параметра
a
назовем число
ˆ
a,
которое соответствует
минимуму
J
(
b
u
) =
b
J
, совпадающему с серединой отрезка
b
J
=
1
2
(
J
1
+
J
2
)
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
173
Так как
J
(
b
u
)
монотонно возрастает по
a
, тогда при любой допустимой реализации
неопределенного параметра
a
отклонение минимума
J
(
b
u
)
от
b
J
будет наименьшим:
min
J
1
6
b
J
6
J
2
max
a
∈
[
a
1
,a
2
]
|
J
(
b
u
)
−
b
J
|
=
1
2
(
J
2
−
J
1
)
.
Субниверсальным оптимальным управлением задачи (1) – (5) назовем элемент
ˆ
u
∈
H,
который определяется выражением (6) при
a
= ˆ
a.
Учитывая уравнение (4) под
субуниверсальным оптимальным состоянием в интервальной задаче (1) – (3) будем
понимать функцию
ˆ
y
(
t
) =
∞
X
j
=1
e
−
ˆ
aλ
j
t
ˆ
u
j
w
j
, t
∈
(0
, T
)
.
(8)
где
ˆ
u
— субуниверсальное оптимальное состояние задачи
(5). Пару
{
ˆ
u,
ˆ
y
}
назовем субуниверсальным решением задачи
(1) – (3). Таким образом, искомое
a
= ˆ
a
является единственным корнем уравнения
−
1
2
∞
X
j
=1
y
2
d
j
1 +
e
2
aλ
j
T
N
−
y
2
d
=
b
J .
Отсюда получим уравнение для нахождения параметра
ˆ
a
:
∞
X
j
=1
y
2
d
j
1 +
e
2ˆ
aλ
j
T
N
=
∞
X
j
=1
(2 +
e
2
a
1
λ
j
T
N
+
e
2
a
2
λ
j
T
N
)
y
2
d
j
2(1 +
e
2
a
1
λ
j
T
N
)(1 +
e
2
a
2
λ
j
T
N
)
.
(9)
Из монотонности по
ˆ
a
левой части уравнения (9) вытекает следующий результат.
Теорема 1.
Пусть
y
d
∈
H,
0
< a
1
< a
2
.
Существует единственное субунивер-
сальное оптимальное управление для интервальной задачи (1) – (3), определяемое
выражением
ˆ
u
=
∞
X
j
=1
e
ˆ
aλ
j
T
y
d
j
1 +
e
2ˆ
aλ
j
T
N
w
j
,
(10)
где
ˆ
a
— решение уравнения (9).
2.
Эволюционная интервальная задача
стартого управления для одномерного
уравнения теплопроводности
Рассмотрим интервальную задачу управления для одномерного уравнения теп-
лопроводности:
(
y
t
=
ay
xx
,
x
∈
(0; 1)
,
t
∈
(0;
T
);
y
|
x
=0;1
= 0
, y
|
t
=0
=
u
(
x
)
.
(11)
Здесь
a
∈
[
a
1
, a
2
]
— неопределенный коэффициент. Через
y
t
, y
xx
обозначим частные
производные
y
(
x, t
)
функции по
t
и
x
. Задача оптимального управления состоит в
минимизации следующего функционала:
1
2
1
Z
0
(
y
(
x, T
)
−
y
d
(
x
))
2
+
N u
2
(
x
)
dx
→
inf,
u
∈
L
2
(0
,
1)
,
(12)
на решениях краевой интервальной задачи (11). Здесь
N >
0
,
y
d
(
x
)
— заданная
функция из пространства
L
2
(0
,
1)
.
Задача
(11) естественным образом сводится
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
174
к задаче Коши для уравнения с операторным коэффициентом вида
(1). Пусть
V
=
H
1
0
(0
,
1)
— пространство Соболева, состоящее из функций
v,
принадлежа-
щих вместе с производной
v
x
,
классу
L
2
(0
,
1)
и равных нулю на границе. Положим
H
=
L
2
(0
,
1)
.
Нормы в пространствах
H
и
V
определяется следующим образом:
|
v
|
2
=
Z
1
0
v
2
dx,
k
v
k
2
=
Z
1
0
v
2
x
dx.
Оператор
A
:
V
→
V
0
определяется c помощью равен-
ства:
(
Ay, z
) = (
y
x
, z
x
)
,
∀
y, z
∈
V.
(13)
Субуниверсальным решением задачи оптимального управления (11), (12) назовем
субуниверсальное решение, соответствующей задачи (1) – (5). Отметим, что соб-
ственные функции оператора
A,
образующие базис пространств
H
и
V,
имеют вид:
w
j
(
x
) =
√
2
sin
(
πjx
)
,
собственные значения
λ
j
= (
πj
)
2
, j
= 1
,
2
... .
Теорема 2.
Пусть
y
d
∈
H,
0
< a
1
< a
2
.
Тогда существует единственное субу-
ниверсальное решение задачи (11), (12):
ˆ
u
(
x
) =
√
2
∞
X
j
=1
e
ˆ
aλ
j
T
y
d
j
1 +
e
2ˆ
aλ
j
T
N
sin
(
πjx
)
,
ˆ
y
(
x, t
) =
√
2
∞
X
j
=1
e
−
ˆ
aλ
j
T
e
ˆ
aλ
j
t
y
d
j
1 +
e
2ˆ
aλ
j
T
N
sin
(
πjx
)
,
(14)
где
ˆ
a
— решение уравнения (9).
Рассмотрим примеры решения интервальной задачи (11), (12) с заданной функ-
цией
y
d
= sin
πx
+ 2 sin 8
πx
и
T
= 1
,
для различных значениях весового параметра
N
и различных длинах интервала неопределенности.
Пример 1.
Пусть
a
1
= 1
, a
2
= 1
.
1
.
На Рис. 1 приведены графики целевой
функции
y
d
и универсального оптимального состояния
y
∗
при различных значениях
параметра
N
.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-
2
-
1
1
2
3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-
2
-
1
1
2
3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-
2
-
1
1
2
3
N
= 10
−
1
N
= 10
−
3
N
= 10
−
4
Рис. 1.
Функции
y
∗
и
y
d
при различных
N
.
Указанные графики иллюстрируют эффект уменьшения влияния неопределен-
ности на универсальное оптимальное состояние за счет уменьшения весового пара-
метра
N
. Интересно заметить, что при уменьшении
N
, значение функционала (12)
уменьшается с 1.98525 до 0.146783.
Пример 2.
Пусть
a
1
= 1
, N
= 10
−
4
.
На Рис. 2 приведены графики целевой
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-
2
-
1
1
2
3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-
2
-
1
1
2
3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-
2
-
1
1
2
3
a
2
= 1
.
4
a
2
= 1
.
6
a
2
= 10
Рис. 2.
Функции
y
∗
и
y
d
при различных
a
2
.
функции
y
d
и универсального оптимального состояния
y
∗
при различных значениях
параметра
a
2
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.