ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2153
Скачиваний: 4
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
БОЛЬШИХ НЕОБРАТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
МАТЕРИАЛОВ СО СЛОЖНОЙ РЕОЛОГИЕЙ
Е.В. Мурашкин
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 5
E-mail:
murashkin@iacp.dvo.ru
Ключевые слова:
ползучесть, пластичность, упругость, большие дефор-
мации
Предложены способы модельного учета вязких свойств материалов в усло-
виях больших деформаций. Построена модель больших упругоползучепла-
стических деформаций. Указан реологический механизм залечивания мик-
родефектов сплошности вязкоупругопластических материалов за счет все-
стороннего сжатия в условиях значительных эксплуатационных нагрузок
по типу «нагрузка-разгрузка».
Введение
Теория пластического течения подразумевает разделение полных деформаций
на обратимую и необратимую составляющие. Из-за невозможности опытного из-
мерения таких составляющих в отличие от полных деформаций, данное разделе-
ние оказывается произволом конструктора математической модели. Именно такой
произвол является главной причиной существующего разнообразия в построениях
моделей больших упругопластических деформаций. Отметим в этой связи лишь
некоторые работы отечественных авторов [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Впервые геометриче-
ски корректная математическая модель больших упругопластических деформаций
была построена в 1969 году [8], в которой разделение деформаций на обратимые
и необратимые было связано с предположении о соответствии каждому деформи-
рованному состоянию единственного состояния разгрузки, когда обратимые дефор-
мации отсутствуют во всем продеформированном теле. Добиться этого, оставаясь
в рамках упругопластической модели, возможно [5] предельным разделением тела
на части и снятия усилий с границ таких бесконечно малых элементов тела. В то
же время такой подход остается доминирующим при построении моделей больших
упругопластических деформаций [1, 5]. Другой геометрически и термодинамически
непротиворечивый подход к построению модели предложил В.П.Мясников [3], в ко-
тором в соответствии с формализмом неравновесной термодинамики определение
обратимых и необратимых деформаций следовало из формулировки для них диффе-
ренциальных уравнений переноса. Вариант конкретизации источников и потоковых
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
166
слагаемых в уравнении изменения (переноса) обратимых и необратимых деформа-
ций был предложен в [4]. Рассматривался только случай идеальной пластичности.
Обобщения на случай учета вязкости при пластическом течении были даны в [7].
Реологические эффекты в других моделях больших упругопластических деформа-
ций рассматривались в [1, 6]. Здесь проведем обобщение модели [4] на случай учета
нелинейной вязкости деформируемой среды как в случае ее пластического течения,
так и при разгрузке, и при деформировании, предваряющем течение.
1.
Модель больших
упругоползучепластических деформаций
Полагаем, что наряду с температурой (энтропией) параметрами состояния де-
формируемого тела являются обратимые и необратимые деформации. Компоненты
последних в прямоугольной системе пространственных координат Эйлера обозна-
чим через
e
ij
и
p
ij
соответственно. Постулируем уравнения изменения (переноса)
для данных составляющих полных деформаций в форме
De
ij
Dt
=
ε
ij
−
γ
ij
−
1
2
((
ε
ik
−
γ
ik
+
z
ik
)
e
kj
+
+
e
ik
(
γ
kj
−
ε
kj
−
z
kj
))
,
Dp
ij
Dt
=
γ
ij
−
p
ik
γ
kj
−
γ
ik
p
kj
.
(1)
Здесь обозначено:
Dn
ij
Dt
=
dn
ij
dt
−
r
ik
n
kj
+
n
ik
r
kj
, ε
ij
=
1
2
(
v
i,j
+
v
j,i
)
,
r
ij
=
w
ij
+
z
ij
(
e
ij
, ε
ij
)
, w
ij
=
1
2
(
v
i,j
−
v
j,i
)
,
(2)
В записи уравнений переноса для тензоров
e
ij
и
p
ij
наряду с естественными требова-
ниями их симметрии принято условие обращения тензора
p
ij
в ноль при отсутствии
источника (
γ
ij
= 0
) в изменении данного тензора; согласно второму равенству из
(1) компоненты
p
ij
тензора необратимых деформаций изменяются в таком случае
также, как если бы тело (или система координат) поворачивалась как жесткое це-
лое (
Dp
ij
/Dt
= 0
). Данное условие заставляет [4] ввести объективную производную
специального вида (в (2) она записана для произвольного тензора
n
ij
). При этом
источником в уравнениях изменения компонент
e
ij
тензора обратимых деформа-
ций оказывается тензор с компонентами
ε
ij
−
γ
ij
. Если бы в тензоре вращения
r
ij
отсутствовала нелинейная добавка
r
ij
=
w
ij
(
z
ij
= 0
), то введенная объективная
производная по времени совпадала бы с производной Яумана [9]. Таким образом,
требование геометрической корректности при формулировке уравнений изменения
тензоров обратимых
e
ij
и необратимых
p
ij
деформаций в предположении осуще-
ствимости процесса с неизменным тензором необратимых деформаций при
γ
ij
= 0
приводит к достаточно простым уравнениям (1). Разделение полных деформаций
Альманси
d
ij
на составляющие следует из (1) и (2) в форме
d
ij
=
e
ij
+
p
ij
−
0
.
5
e
ik
e
kj
−
e
ik
p
kj
−
p
ik
e
kj
+
e
ik
p
km
e
mj
,
d
ij
= 0
.
5 (
u
i,j
+
u
j,i
−
u
i,k
u
k,j
)
(3)
В (3)
u
i
— компоненты вектора перемещений точек деформированной среды. Со-
гласно (3) в качестве тензора обратимых деформаций следовало бы выбрать тензор
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
167
s
ij
=
e
ij
−
0
.
5
e
ik
e
kj
, так как при
p
ij
= 0
имеем
d
ij
=
s
ij
. Введение в рассмотрение
тензора
e
ij
вызвано не только относительной простотой в записи для него уравнения
переноса (1), но и в простоте записи с таким тензором аналога формулы Мурнагана
[4]. Формула Мурнагана в нелинейной теории упругости следует из записи закона
сохранения энергии
ρ
de
dt
+
q
j,j
=
σ
ij
ε
ji
(4)
В (4)
e
— плотность распределения внутренней энергии,
q
j
— компоненты вектора
потока тепла,
σ
ij
— компоненты тензора напряжений Эйлера-Коши. В качестве тер-
модинамического потенциала будем использовать свободную энергию с плотностью
распределения
Ψ =
e
−
sT
, где
s
— плотность распределения энтропии,
T
— тем-
пература. Примем еще одно допущение о том, что термодинамический потенциал
Ψ = Ψ (
T, e
ij
)
, то есть не зависит от необратимых деформаций
p
ij
. Данное положе-
ние может быть спорным, но его принятие позволяет получить наиболее простую
замкнутую модель деформирования материалов с упругими, вязкими и пластиче-
скими свойствами. В условиях принятия данной гипотезы из (4) следует [4]
σ
ij
=
ρ
ρ
0
∂W
∂e
ik
(
δ
kj
−
e
kj
)
, W
=
ρ
−
1
0
Ψ
(5)
ρT
ds
dt
+
q
j,j
=
σ
ij
γ
ji
(6)
Таким образом обратимые деформации задают консервативный механизм дефор-
мирования: по известным таким деформациям определяются, как и в классической
среде Прандтля-Рейса, напряжения, если только упругий потенциал
W
=
W
(
e
ij
)
определен (
ρ
0
— плотность среды в свободном ее состоянии). Диссипативный ме-
ханизм деформирования задается источником в правой части уравнения баланса
энтропии (6), который определяется скоростями
γ
ij
накопления необратимых де-
формаций. Заметим, что (5) непосредственно переходит в известную в нелинейной
теории упругости формулу Мурнагана при отсутствии необратимых деформаций
(
p
ij
≡
0
)
σ
ij
=
ρ
ρ
0
∂W
∂d
ik
(
δ
kj
−
2
d
kj
)
(7)
Далее будет использоваться аналог формулы Мурнагана (5), переписанный для слу-
чая несжимаемой среды
σ
ij
=
−
pδ
ij
+
∂W
∂e
ik
(
δ
kj
−
e
kj
)
,
при
p
ij
6
= 0
.
(8)
В качестве упругого потенциала изотропной и несжимаемой среды будем использо-
вать разложение
W
=
W
(
J
1
, J
2
) = (
α
−
µ
)
J
1
+
αJ
2
+
βJ
2
1
−
ξJ
1
J
2
−
χJ
3
1
,
J
1
=
s
jj
, J
2
=
s
ij
s
ji
, s
ij
=
e
ij
−
1
2
e
ik
e
kj
(9)
В (9) параметр среды
µ
отождествляется с модулем сдвига,
α
,
β
,
ξ
,
χ
— упругие
модули более высокого порядка. Поскольку при
p
ij
≡
0
инварианты
J
1
, J
2
совпа-
дают с инвариантами тензора деформаций Альманси
d
ij
, а первый инвариант
d
jj
последнего тензора неположителен, второй
d
ik
d
kj
неотрицателен, то в (9) выбраны
знаки минус с тем, чтобы все упругие постоянные среды были положительными.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
168
Считаем, что вязкие свойства среды проявляются с самого начала процесса дефор-
мирования. Соответствующий диссипативный механизм деформирования зададим,
введя потенциал
V
=
V
(
σ
ij
)
в форме
V
(
σ
ij
) =
B
Σ
n
(
σ
1
, σ
2
, σ
3
)
,
Σ =
p
1
.
5
{
(
σ
1
−
σ
)
2
+ (
σ
2
−
σ
)
2
+ (
σ
3
−
σ
)
2
}
,
σ
=
1
3
σ
jj
=
1
3
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
.
(10)
Здесь
σ
1
, σ
2
, σ
3
— главные значения тензора напряжений,
B
,
n
— постоянные мате-
риала. Инвариант
Σ
тензора напряжений с точностью до постоянного множителя
совпадает с октаэдрическим напряжением (интенсивностью напряжений). Для ис-
точника
γ
ij
в уравнении (1) изменения (переноса) необратимых деформаций, считая
последние деформациями ползучести, полагаем
γ
ij
=
ε
v
ij
=
∂V
(Σ)
∂σ
ij
.
(11)
Таким образом
γ
ij
отождествляется с тензором скоростей деформаций ползучести
ε
v
ij
, а диссипативный потенциал выбран в форме степенного закона ползучести Нор-
тона [10, 11]. Очевидно, что выбор закона Нортона в форме (10) и (11) является
только одной из возможностей. Возможен выбор любого иного закона ползучести.
Записанные выше соотношения составляют замкнутую математическую модель изо-
термического деформирования. Конкретизация данной модели с помощью задания
потенциалов
W
(
e
ij
)
и
V
(
σ
ij
)
, связанная с зависимостями (9) и (10), выбрана в ка-
честве возможной, не запрещающей другие в том числе и усложняющие математи-
ческую модель. Когда напряженное состояние в некоторых точках деформируемой
среды достигает поверхности нагружения, диссипативный механизм деформирова-
ния в окрестностях таких точек меняется — начинается пластическое течение. С
целью конкретизации последующего принимаем, что поверхностью нагружения в
пространстве главных напряжений является цилиндрическая поверхность Мизеса с
уравнением
f
(
σ
ij
) =
τ
ij
τ
ji
−
8
3
k
2
= 0
, τ
ij
=
σ
ij
−
σ,
(12)
В (12)
k
— постоянная материала (предел текучести). Согласно (12) вязкими свой-
ствами материала в условиях его пластического течения пренебрегается. Если учет
таких свойств необходим, то следует соответственно усложнить условия текучести
(12) так, как это было проделано, например, в [7] или иным возможным способом.
Принимая условия принципа максимума Мизеса [11], формулируем ассоциирован-
ный закон пластического течения
γ
ij
=
ε
p
ij
=
λ
∂f
(
σ
ij
)
∂σ
ij
, λ >
0
(13)
В областях пластического течения
γ
ij
отождествляется со скоростями пластических
деформаций. Отмечаем, что (12) и (13) задают простейшую конкретную модель
течения, которая может при необходимости уточняться. Для того, чтобы учесть
влияние вязких свойств на пластическое течение вместо (12) можно, например, ис-
пользовать условие пластичности в форме, обобщающей условие Треска [13]
max
|
σ
i
−
σ
j
|
= 2
k
+ 2
η
max
|
ε
p
m
|
(14)
Здесь
ε
p
m
— главные компоненты тензора скоростей пластических деформаций,
η
— коэффициент вязкости. Также возможно учесть упрочнение среды в процессе
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
169
ее пластического течения, например заданием поверхности нагружения в форме,
предлагаемой в [14]
τ
ij
−
cp
ij
−
ηε
p
ij
τ
ji
−
cp
ji
−
ηε
p
ji
=
8
3
k
2
(15)
где
c
— параметр, характеризующий проявление эффекта Баушингера. В [15] на при-
мере одиночного дефекта сплошности (микропора, микротрещина) в среде с упруги-
ми и пластическими свойствами и допускающей большие деформации было показа-
но, что неучёт реологических свойств среды приводит к эффекту "приспосабливае-
мости" среды к нагрузкам по типу "нагрузка - разгрузка". В таком случае размеры
дефекта после каждой разгрузки оказываются одинаковыми, неизменным остает-
ся и уровень и распределение остаточных напряжений в окрестности дефекта. Если
учитывать вязкость среды только при её пластическом течении [15], то с ростом цик-
лов размеры дефекта будут возрастать, что задает степень роста поврежденности
и снижение усталостной прочности. Известен противоположный эффект, когда за
счет предварительной квазистатической обработки материала значительным гидро-
статическим давлением его усталостная прочность возрастает, что объясняется [16]
явлением "залечивания" микродефектов в условиях ползучести материала. Таким
образом учет реологических свойств материала выводит из парадоксальной ситуа-
ции приспосабливаемости к циклическим нагрузкам по типу "нагрузка - разгруз-
ка". В [17] предпринималась попытка объяснения упрочнения материала при таких
нагрузках, когда до стадии пластического течения и при разгрузке свойства мате-
риала моделировались тензорно-линейным уравнением вязкоупругости. Оказалось,
что действительно на каждом шаге цикла нагружения и разгрузки размеры дефек-
та уменьшаются, как и уровень остаточных напряжений. Однако, количественная
оценка данного эффекта оказалась незначительной. Связываем это с тем, что свой-
ства ползучести материала и релаксации напряжений в нем не могут подчиняться
тензорно-линейной связи напряжений со скоростями деформаций [18]. Построенная
здесь математическая модель больших деформаций в отличие от используемой в
[17] базируется на нелинейном законе ползучести (10) и (11) и потому предоставля-
ет возможность оценить эффект залечивания микродефектов сплошности.
Заключение
Предложен подход к моделированию процессов ползучести и релаксации напря-
жений в процессе накопления материалом больших необратимых деформаций. Пред-
ложенная модель может быть применена для оптимизации технологических процес-
сов в смысле снижения уровня остаточных напряжений и описания механизмов
"залечивания" дефектов сплошности для повышения эксплуатационных свойств го-
товых металлоизделий.
Список литературы
1.
Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком
давлении. Киев.: Наукова думка. 1987. 232 с.
2.
Быковцев Г.И., Шитиков А.В. Конечные деформации упругопластических сред //
Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, № 1. С. 59 - 62.
3.
Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших
деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. № 4. С. 8 – 13.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.