ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2145
Скачиваний: 4
185
5. Вычисляем текущую транспортирующую способность потока
S
n
+1
∗
i
=
0
.
2
(
U
n
i
)
3
W
g
H
n
i
,
W < u
∗
0
,
W
>
u
∗
,
u
∗
=
s
τ
n
i
−
1
2
ρ
w
;
(13)
6. Вычисляем среднюю субстанциальную мутность в узлах сетки расчетной об-
ласти с использованием схемы бегущего счета [7, 10]
S
n
+1
i
=
S
n
i
+
U
n
+1
i
∆
t
∆
x
S
n
+1
i
−
1
+ ∆
t
W
H
n
+1
i
(
S
n
+1
∗
i
−
S
n
i
)
1 +
U
n
+1
i
∆
t
∆
x
;
(14)
7. Вычисляем значения массового удельного расхода влекомых наносов в узлах
сетки расчетной области по формулам
G
0
i
+ 1
2
=
4
3
ρ
s
m
(1
−
χ
i
+
1
2
)
κ
√
ρ
s
(
ρ
s
−
ρ
w
)
g
tan
ϕ
cos
γ
,
m
=
(
1
,
χ
i
+
1
2
6
1
0
,
χ
i
+
1
2
>
1
,
(15)
G
i
+
1
2
=
G
0
i
+ 1
2
τ
i
+
1
2
3
2
(1
−
χ
i
+
1
2
)
−
1
tan
ϕ
cos
γ
i
1
−
χ
i
+
1
2
2
ζ
i
+1
−
ζ
i
∆
x
;
8. Расчитываем уровень донной поверхности в узлах сетки расчетной области
ζ
N
=
ζ
N
−
1
+ ∆
x J,
(16)
ζ
n
+1
i
=
ζ
n
i
−
∆
t
ρ
s
(1
−
ε
)
G
n
i
−
G
n
i
−
1
∆
x
−
W
H
n
i
(
S
n
∗
i
−
S
n
i
+1
)
;
9. Повторяем действия алгоритма с п.3 до п.8, пока не дойдем до последнего
временного узла, то есть пока не выполнится условие
n
+ 1 =
N
t
.
3.
Результаты исследований
В качестве примера применимости модели в русловых расчетах была рассмот-
рена задача об изменении геометрии поперечной русловой прорези при движении
над ней гидродинамического потока. Геометрия расчетной области, физико-механи-
ческие и гранулометрические параметры задачи были взяты из работы [11]:
L
=
30
, H
= 0
.
39
, U
= 0
.
5
, d
= 0
.
00017
, J
= 0
.
0002
, ϕ
= 22
, c
x
= 0
.
5
, ε
= 0
.
3
, W
=
0
.
01
, ρ
s
= 2610
, ρ
w
= 1000
, α
= 0
.
6
. Результаты моделирования по предложен-
ной модели с использованием алгоритмов [10, 7] приведены на рис.1, где кривые 1-3
определяют геометрию русловой прорези в различные моменты времени. Геометрия
донной поверхности определенная по экспериментальным данным [11] представлена
на рис.1 точечными можествами 4,5. Результаты моделирования по гравитационной
двумерной модели [11] представлены пунктирными кривыми 6,7. Из сравнения гра-
фиков видно, что отклонение расчетных данных по предложенной модели и модели
[11] от экспериментальных данных достигает 25 (%). Но в целом по области кавер-
ны согласование решения полученного по предложенной модели лучше, различие с
экспериментальными данными не превышает 5 (%) что близко к систематической
точности экспериментальных данных. Основное рассогласование расчетных и экспе-
риментальных данных наблюдается на участке напорного склона каверны. Причем
данное рассогласование является характерным для обеих численных решений, и
может быть объяснено одномерностью гидродинамической модели потока не учи-
тывающей явления рециркуляции потока в каверне.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
186
Рис.1 . Сравнение экспериментальных и расчетных данных
4.
Заключние
Предложена математическа модель руслового потока. Рассмотрена задача опи-
сывающая деформирование поперечной русловой прорези для песчаного дна ка-
нала. Получено в среднем хорошее согласование расчетных и экспериментальных
данных, максимальное отклонение расчетных от экспериментальных данных не пре-
вышает 13%, что близко к систематической точности экспериментальных данных.
Список литературы
1.
Гончаров В.Н. Динамика русловых потоков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 367 с.
2.
Караушев А. В. Теория и методы расчета речных наносов: Монография - Л.: Гидро-
метеоиздат., 1977 - 272 с.
3.
Bagnold R.A. An approach to the sediment transport problem from general physics//
U.S. Geological Survey Professional Paper 422-I. 1966. 37 p.
4.
Шуляк Б.А. Физика волн на поверхности сыпучей среды и жидкости. М.: Наука,
1971.
5.
Петров П.Г. Движение сыпучей среды в придонном слое жидкости// ПМТФ. 1991.
№ 5. С. 72 - 75.
6.
Картвелишвили Н. А. Потоки в недеформируемых руслах. — Л.: Гидрометеоиздат,
1973. 279 с.
7.
Белолипецкий В.М., Генова С. Н. Вычислительный алгоритм для определения дина-
мики взвешенных и донных наносов в речном русле// Вычислительные технологии.
Т. 9, № 2. 2004. С. 9-25.
8.
Потапов И. И. Математическая модель развития речного берега// препринт № 176.
Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. 2012. 22 с.
9.
Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.
10.
Потапов И.И., Снигур К.С. Анализ деформаций несвязного дна канала в нижнем
бьефе гидроузла// Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. № 4. С. 114-119.
11.
Kerssens P.J.M., van Rijn L. C., Modeling for non-steady suspended sediment transport
// Report, Project engeneers Delft Hydraulics laboratory, Delft, the Netherlands. 1977.
8 p.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 532.5.032
ОБ АСИММЕТРИИ БЕРЕГОВЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ПОТОКАХ
И.И. Потапов
Вычислительный центр ДВО РАН
Россия, 680000, г. Хабаровск, Ким Ю Чена, 65
E-mail:
potapovii@rambler.ru
М.А. Щекачева
Вычислительный центр ДВО РАН
Россия, 680000, г. Хабаровск, Ким Ю Чена, 65
E-mail:
margaritaworks@yandex.ru
Ключевые слова:
береговые деформации, криволинейное русло реки.
Предлагается математическая модель деформации криволинейного русла
реки с постоянным радиусом. Численно исследовано влияние радиуса реки
на характер изменения поперечного донного профиля. Выполнено сравне-
ние численных данных с экспериментальными. Задача решалась конечно-
разностным методом. При расчете придонных напряжений учитывалась по-
правка на осреднение скоростей. Полученные результаты сравнивались с
натурными данными, полученными Розовским И.Л. [1]. В результате полу-
чено хорошее согласование с экспериментальными данными [2].
Список литературы
1.
Розовский И.Л. Движение воды на повороте открытого русла. - Киев: Изд-во АН
УССР, 1957.
2.
Потапов И.И., Щекачева М.А. Определение скорости размыва берегового склона в
реках с песчаным дном// Вестник удмуртского университета. 2011. Вып. 4 c. 116-120.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.53
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
НЕЙМАНА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Е.Г. Прилепкина
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
pril-elena@yandex.ru
Ключевые слова:
емкость Робена, функция Неймана, функция Робена,
теорема искажения, трансфинитный диаметр
Рассмотрены некоторые применения функции Неймана в геометрической
теории функций. Приведены теоремы искажения для однолистных функ-
ций, заданных в круге и кольце. Установлено новое представление емкости
Робена в терминах интеграла Дирихле линейной комбинации функций Ней-
мана.
Введение
Понятия функций Грина и Неймана возникают естественным образом при реше-
нии уравнений с частными производными. Функция Грина является конформным
инвариантом и поэтому широко используется в геометрической теории функций.
Функция Неймана применяется в меньшей степени. Цель настоящего доклада - про-
демонстрировать роль функции Неймана в исследовании однолистных отображе-
ний. Напомним определение обобщенной функции Неймана [1]. Рассмотрим сперва
жорданову область
B
⊂
C
z
, ограниченную конечным числом аналитических кри-
вых. Пусть
ϕ
(
z
)
вещественная непрерывная функция на
∂B
, такая, что
Z
∂B
ϕ
(
z
) =
−
2
π.
Обозначим для
ζ
∈
B
через
N
B,ϕ
(
z
;
ζ
)
функцию от
z
∈
B
, удовлетворяющую услови-
ям: 1)
N
B,ϕ
(
z
;
ζ
)
гармоническая в
B
\ {
ζ
}
и дифференцируема на
∂B
; 2)
N
B,ϕ
(
z
;
ζ
) +
log
|
z
−
ζ
|
гармоническая в окрестноcти
ζ
6
=
∞
и в случае
ζ
=
∞
гармонической
в окрестности
ζ
является функция
N
B,ϕ
(
z
;
ζ
)
−
log
|
z
|
; 3)
∂N
B,ϕ
(
z
;
ζ
)
∂n
=
ϕ
(
z
)
на
∂B,
где производная берется по внешней нормали к
B
.
Обобщенной функцией Неймана
N
B
(
z, ζ
)
области
B
с полюсом в точке
ζ
назовем любую функцию, удовлетворяющую
условиям 1)-3) для каких-нибудь граничных значений
ϕ
(
z
)
. Пусть теперь
B
– про-
извольная конечносвязная область сферы
C
z
без изолированных граничных точек,
обобщенную функцию Неймана для этой области определим с помощью конформ-
ного и однолистного отображения
f
на жорданову область, ограниченную аналити-
ческими кривыми, по формуле
N
B
(
z, ζ
) =
N
f
(
B
)
(
f
(
z
);
f
(
ζ
))
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
189
В области
B
выберем совокупность точек
Z
=
{
z
k
}
n
k
=1
и определим необходимые в
дальнейшем константы
N
kl
(
B
) :=
N
B
(
z
k
, z
l
)
,
k
6
=
l,
N
kl
(
B
) := lim
z
→
z
k
(
N
B
(
z
;
z
k
) + log
|
z
−
z
k
|
)
,
k
=
l,
z
k
6
=
∞
,
N
kl
(
B
) := lim
z
→
z
k
(
N
B
(
z
;
z
k
)
−
log
|
z
|
)
,
k
=
l,
z
k
=
∞
В случае
B
=
C
z
полагаем
N
kl
(
C
z
) :=
−
log
|
z
k
−
z
l
|
, если
k
6
=
l, z
k
6
=
∞
, z
l
6
=
∞
,
N
kl
(
C
z
) := 0
в противном случае.
Как показано в [1], две обобщенные функции Неймана
N
1
B
(
z, ζ
)
и
N
2
B
(
z, ζ
)
связаны
соотношением
N
2
B
(
z, ζ
) =
N
1
B
(
z, ζ
) +
h
(
z
) +
c
(
ζ
)
,
где
h
(
z
)
и
c
(
ζ
)
некоторые функции.
Таким образом, имеем
N
2
kl
(
B
) =
N
1
kl
(
B
) +
h
(
z
k
) +
c
(
z
l
)
.
Пусть для вещественных
чисел
{
δ
k
}
n
k
=1
выполняется
n
X
k
=1
δ
k
= 0
,
тогда две обобщенные функции Неймана связаны равенством
n
X
k,l
=1
δ
k
δ
l
N
1
kl
(
B
) =
n
X
k,l
=1
δ
k
δ
l
N
2
kl
(
B
)
.
Следовательно, квадратичная форма
n
P
k,l
=1
δ
k
δ
l
N
kl
(
B
)
остается постоянной и это поз-
воляет выбирать наиболее удобный с практической точки зрения способ построения
обобщенной функции Неймана.
Пример 1.
Пусть
U
:=
{
z
:
|
z
|
>
1
}
– внешность
единичного круга,
ζ
– конечная точка
U
. Классическая функция Неймана в этом
случае хорошо известна и имеет вид
N
U
(
z, ζ
) =
−
log
|
(
z
−
ζ
)(1
−
zζ
)
|
.
Константы
N
kl
(
U
)
для точек
{
z
k
}
n
k
=1
равны
N
kl
(
U
) =
−
log
|
z
k
−
z
l
||
1
−
z
k
z
l
|
, k
6
=
l
N
kl
(
U
) =
−
log(
|
z
k
|
2
−
1)
, k
=
l.
Пример 2.
Пусть
K
(
R
) :=
{
z
: 1
<
|
z
|
< R
}
– концентрическое круговое кольцо,
ζ
–
вещественная точка кольца. Нетрудно убедиться, что при вещественных
ζ
на дей-
ствительной оси производная по нормали от функции
N
U
(
z, ζ
) =
−
log
|
(
z
−
ζ
)(1
−
zζ
)
|
равна нулю. Пусть теперь функция
w
=
G
(
z
)
≡
G
(
z
;
R
)
конформно и однолист-
но отображает кольцо
K
(
R
)
, R <
∞
,
на внешность круга
|
w
|
>
1
с разрезом по
вещественной положительной полуоси от некоторой точки
P
(
R
)
до
∞
так, что
G
(
R
;
R
) =
P
(
R
)
. Тогда в качестве обобщенной функции Неймана кольца
K
(
R
)
c
полюсом в вещественной точке
ζ
можно выбрать функцию
N
K
(
R
)
(
z, ζ
) =
−
log
(
G
(
z
)
−
G
(
ζ
))(1
−
G
(
z
)
G
(
ζ
))
.
Соответственно константы
N
kl
(
K
(
R
))
для вещественной совокупности точек
{
z
k
}
n
k
=1
равны
N
kl
(
K
(
R
)) =
−
log
|
(
G
(
z
k
)
−
G
(
z
l
))(1
−
G
(
z
k
)
G
(
z
l
))
|
, k
6
=
l,
N
kl
(
K
(
R
)) =
−
log
G
0
(
z
k
)(
G
(
z
k
)
2
−
1)
, k
=
l.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.