ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2143
Скачиваний: 4
190
Заметим, что функцию Греча можно представить в виде
G
(
z
;
R
) =
τ
sn
2
i
π
log(
zR
) + 1
K
(
τ
);
τ
,
где
τ
=
τ
(
R
) = 1
/P
(
R
)
— решение уравнения
log
R
=
π
2
K
p
1
−
τ
2
/
K
(
τ
)
,
K
(
τ
)
— полный эллиптический интеграл первого рода с модулем
τ
,
sn(
·
;
τ
)
— эллип-
тическая функция Якоби.
1.
Теоремы искажения
В этом параграфе приведены теоремы искажения, основой доказательства кото-
рых служит асимптотическая формула для емкости обобщенного конденсатора [1].
Пионерские исследования в этом направлении были выполнены Гречем и Тейхмюл-
лером. Систематическому применению подобных асимптотических формул посвя-
щены работы Дубинина, Солынина, Асеева, Кузьминой, Емельянова, Поммеренке
и многих других авторов. Введем величину
r
(
B, z
1
, z
2
) = exp(
N
21
(
B
) +
N
12
(
B
)
−
N
11
(
B
)
−
N
22
(
B
))
,
где константы
N
kl
(
B
)
,
k, l
= 1
,
2
, определены для двух различных точек
{
z
1
, z
2
}
области
B
. Из вышесказанного следует, что
r
(
B, z
1
, z
2
)
не зависит от выбора обоб-
щенной функции Неймана
N
B
(
z, ζ
)
.
Назовем
r
(
B, z
1
, z
2
)
радиусом Неймана области
B относительно точек
z
1
, z
2
.
Tеорема 1
.
Пусть
B
– конечносвязная область без
изолированных граничных точек либо
B
=
C
z
, область
D
удовлетворяет тем же
условиям и пусть функция
f
(
z
)
мероморфна и однолистна в
B
,
f
(
B
)
⊂
D
. Тогда
для любых различных точек
z
k
∈
B, k
= 1
, ..., n
и любых вещественных чисел
δ
k
,
k
= 1
, ..., n,
удовлетворяющих условию
n
P
k
=1
δ
k
= 0
,
справедливо неравенство
n
X
k,l
=1
δ
k
δ
l
N
kl
(
B
)
>
n
X
k,l
=1
δ
k
δ
l
N
kl
(
D
)
−
n
X
k
=1
δ
2
k
log
|
f
0
(
z
k
)
|
,
где константы
N
kl
(
B
)
,
N
kl
(
D
)
, k, l
= 1
, n
, вычислены для совокупности точек
{
z
k
}
n
k
=1
,
{
f
(
z
k
)
}
n
k
=1
соответственно.
Применяя теорему 1 в случае
n
= 2
,
δ
1
=
−
δ
2
= 1
,
D
=
C
z
, получим
Следствие 1.
Если
f
(
z
)
мероморфна и однолистна в
B
, то для любых точек
z
1
, z
2
∈
B
справедливо неравенство
|
f
0
(
z
1
)
f
0
(
z
2
)
|
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
|
2
>
r
(
B, z
1
, z
2
)
.
В случае, когда
B
совпадает с единичным кругом, полученное неравенство эквива-
лентно известному неравенству Фана:
|
f
0
(
z
1
)
||
f
0
(
z
2
)
|
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
|
2
>
(1
− |
z
1
|
2
)(1
− |
z
2
|
2
)
|
(
z
1
−
z
2
)(1
−
z
1
z
2
)
|
2
.
Обозначим через
M
(
R
)
,
класс функций
f,
мероморфных и однолистных в кольце
K
(
R
)
, для которых множество
f
(
K
(
R
))
значений
f
(
z
)
в
K
(
R
)
лежит в области
U
:=
{|
w
|
>
1
}
и которые отображают окружность
|
z
|
= 1
на себя. Полагая в
теореме 1
n
= 2
, δ
1
=
−
δ
2
= 1
, B
=
K
(
R
)
,
D
=
U
, получим
Следствие 2.
Пусть
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
191
f
(
z
)
∈
M
(
R
)
, z
1
,
z
2
— вещественные точки кольца
K
(
R
)
, отличные от полюсов.
Тогда справедливо неравенство
|
f
0
(
z
1
)
f
0
(
z
2
)
|
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
|
2
(
|
f
(
z
1
)
|
2
−
1)(
|
f
(
z
2
)
|
2
−
1)
|
1
−
f
(
z
1
)
f
(
z
2
)
|
2
>
|
G
0
(
z
1
)
G
0
(
z
2
)
|
|
G
(
z
1
)
−
G
(
z
2
)
|
2
(
G
(
z
1
)
2
−
1)(
G
(
z
2
)
2
−
1)
(1
−
G
(
z
1
)
G
(
z
2
))
2
.
Применяя емкостной подход и симметризацию, в работе [2] были получены нера-
венства с участием производной Шварца
S
f
(
z
) =
f
000
(
z
)
/f
0
(
z
)
−
(3
/
2)(
f
00
(
z
)
/f
0
(
z
))
2
для функций класса
M
(
R
)
.
Приведем две теоремы, дополняющие указанные резуль-
таты.
Tеорема 2
.
Если
f
(
z
)
∈
M
(
R
)
,
то для любого положительного
z
∈
K
(
R
)
справедливо неравенство
Re
S
f
(
z
)
>
S
G
(
z
)
.
Tеорема 3
.
Пусть
f
(
z
)
∈
M
(
R
)
. Тогда для любого положительного
z
∈
K
(
R
)
выполняется
Re
S
f
(
z
)
−
S
G
(
z
)
>
6
|
f
0
(
z
)
|
2
|
f
(
z
)
|
2
−
1
−
|
G
0
(
z
)
|
2
G
(
z
)
2
−
1
>
0
.
Подробное доказательство теорем 1-3 опубликовано в [3].
2.
Eмкость Робена и функция Неймана
Естественным обобщением понятия логарифмической емкости является емкость
Робена. Остановимся на определении. Пусть
Ω
— конечносвязная область на ком-
плексной сфере
C
без вырожденных граничных точек, содержащая бесконечность и
пусть
Γ
— замкнутое подмножество
∂
Ω
, состоящее из конечного числа невырожден-
ных связных компонент. В этом случае определена функция Робена
g
Ω
(
z,
∞
,
Γ)
обла-
сти
Ω
и множества
Γ
c полюсом в бесконечности. Для аналитической жордановой об-
ласти
g
(
z
) :=
g
Ω
(
z,
∞
,
Γ)
определяется условиями:
g
(
z
)
вещественнозначная непре-
рывная на
Ω
, непрерывно дифференцируемая на
Ω
\
(Γ)
,
гармоническая в
Ω
\{∞}
и
такая, что
g
(
z
) = 0
при
z
∈
Γ
, ∂
g
/∂n
= 0
при
z
∈
∂
Ω
\
(Γ)
,
причем
g
(
z
)
−
log
|
z
|
—
гармоническая функция в окрестности бесконечности (символ
∂/∂n
означает диф-
ференцирование вдоль внутренней нормали к границе). Для произвольной конеч-
носвязной области
Ω
полагаем по определению
g
Ω
(
z,
∞
,
Γ) :=
g
f
(Ω)
(
f
(
z
)
,
∞
, f
(Γ))
.
Здесь
f
(
z
)
однолистное конформное отображение области
Ω
на аналитическую жор-
данову область, причем бесконечность отображается в бесконечность. Емкостью Ро-
бена называется величина
cap
Ω
Γ :=
e
−
W
(Γ)
,
где
W
(Γ) = lim
z
→∞
(
g
Ω
(
z,
∞
,
Γ)
−
log
|
z
|
)
и в качестве
Ω
вновь рассматривается связная компонента дополнения к
E
, содержа-
щая бесконечность. Если
Γ =
∂
Ω
,
то функция Робена совпадает с функцией Грина,
а емкость Робена — с логарифмической емкостью. Для области
Ω
определим двух-
полюсную функцию Неймана
n
Ω
(
z, ζ,
∞
)
c полюсами
ζ
и
∞
соотношением
n
Ω
(
z, ζ,
∞
) =
N
Ω
(
z, ζ
)
−
N
Ω
(
z,
∞
) +
C,
где константа
C
выбирается таким образом, чтобы
n
Ω
(
z, ζ,
∞
) + log
|
z
|
стремилась
к 0 при
z
→ ∞
.
В работе [4] введено понятие трансфинитного диаметра множества
относительно произвольной полуметрики. Под полуметрикой на множестве
X
⊂
R
n
мы будем понимать вещественнозначную неотрицательную функцию на квадрате
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
192
X
⊗
X
, удовлетворяющую аксиоме симметричности
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
y, x
)
и тождества
ρ
(
x, x
) = 0
.
Согласно этому определению, мы не требуем выполнения неравенства
треугольника. Трансфинитным диаметром множества
E
относительно полуметрики
ρ
называется величина
D
(
E, ρ
) := lim
n
→∞
[
sup
(
z
1
,...,z
n
)
∈
E
n
Y
i
=1
,...,n
j
=1
,...,n
i
6
=
j
ρ
(
z
i
, z
j
)]
1
n
(
n
−
1)
.
Tеорема 4
.
Пусть
Ω
конечносвязная область и ее граница состоит из конечно-
го числа непересекающихся кусочно-аналитических кривых
C
1
,
C
2
, ....,
C
n
, A
:=
C
1
∪
C
2
....
∪
C
k
, B
:=
C
k
+1
∪
C
k
+2
....
∪
C
n
и пусть
ˆ
Ω
область, ограниченная
B
и
содержащая
Ω
. Тогда емкость Робена множества
A
относительно
Ω
совпадает с
трансфинитным диаметром
A
относительно полуметрики
ρ
(
z, ζ
) =
e
−
n
ˆ
Ω
(
z,ζ,
∞
)
,
то есть
cap
Ω
A
=
D
(
A, ρ
)
.
Доказательство данной теоремы основано на результатах работ [5 ], [6]. Вычис-
ляя функцию Неймана внешности единичного круга
U
, мы получим
Следствие
3
.
Предположим, что
E
⊂
U
компактно и его внешняя граница
∂
e
E
состоит из
конечного числа непересекающихся кусочно-аналитических кривых. Тогда справед-
ливо равенство
cap
U
\
E
∂
e
E
=
D
(
E, ρ
)
,
где
ρ
(
z, ζ
) =
(
z
−
ζ
)(1
−
ζz
)
/
(
zζ
)
.
Пусть
Z
=
{
z
k
}
,
k
= 1
, ..., n
набор некоторых
точек
z
k
∈
A.
Введем потенциальную функцию
u
n
=
u
n
(
z
;
Z
) =
n
X
k
=1
1
n
n
ˆ
Ω
(
z, z
k
;
∞
)
.
Обозначим через
ˆ
Ω
r
область
ˆ
Ω
с выброшенными достаточно малыми кругами с
центрами в точках
z
k
радиуса
r,
и через
I
(
v, B
)
интеграл Дирихле функции
v
по
области
B
,
I
(
v, B
) :=
Z Z
B
|∇
v
|
2
dxdy.
Следующая теорема устанавливает связь между емкостью Робена и интегралом
Дирихле потенциальной функции.
Теорема 5.
Пусть
Ω
конечносвязная область и
ее граница состоит из конечного числа непересекающихся кусочно-аналитических
кривых
C
1
,
C
2
, ....,
C
n
, A
=
C
1
∪
C
2
....
∪
C
k
, B
=
C
k
+1
∪
C
k
+2
....
∪
C
n
и пусть
ˆ
Ω
область, ограниченная
B
и содержащая
Ω
. Тогда
cap
Ω
A
= lim
n
→∞
exp
(
−
λ
n
)
,
где
λ
n
= inf
Υ
lim
r
→
0
1
2
π
I
(
u
n
,
ˆ
Ω
r
) +
1 +
1
n
log
r
Список литературы
1.
Karp D., Prilepkina E. Reduced modules with free boundary and its applications //
Annales Academi Scient. Fen., V.34, 2009. P. 353-378.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
193
2.
Дубинин В.Н., Прилепкина Е. Г. Теоремы искажения для функций, мероморфных и
однолистных в круговом кольце // Сибирский математический журнал. 2010. Т. 51,
№ 2. С. 193-207.
3.
Прилепкина Е.Г. Теоремы искажения для однолистных функций в многосвязных
областях// Дальневосточный математический журнал. 2009. Т.9, №1,2. С. 140-149.
4.
Асеев В. В., Лазарева О. А. Трансфинитный диаметр и модули конденсаторов в
полуметрических пространствах // Дальневосточный математический журнал. 2004.
Т.5, №1. С. 12-21
5.
Duren P., Pfaltzgraff J., Thurman E. Physical interpretation and further properties of
Robin capacity // Алгебра и анализ. 1997. T.9, № 3. C. 211–219.
6.
Farcas B., Nagy B. Transfinite diameter, Chebyshev constant and energy on locally
compact spaces // Potential Analysis, 2008. V. 28, №3, P. 241-260.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 519.248:62-192+519.176
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССА АКУСТИЧЕСКОГО
ЗОНДИРОВАНИЯ МОРСКОГО ДНА
ГИДРОЛОКАТОРОМ БОКОВОГО ОБЗОРА
И.В. Прохоров
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
prh@iam.dvo.ru
А.А. Сущенко
Дальневосточный федеральный университет
Россия, 690950, Владивосток, ул. Суханова, 8
E-mail:
sushchenko_aa@student.dvfu.ru
Ключевые слова:
обратные задачи, теория переноса, случайно-неодно-
родные среды, задача акустического зондирования
В работе рассматривается проблемы математического моделирования про-
цесса гидролокационной съемки морского дна с помощью гидролокатора
бокового обзора. Исследования осуществляются для кинетической модели
распространения звука при следующих ограничениях: используется прибли-
жение однократного рассеяния; передающая антенна является точечной и
излучает линейно частотно модулированный сигнал; приемная антенна об-
ладает узкой диаграммой направленности. Для функции, описывающей из-
меряемый сигнал на носителе гидролокатора бокового обзора, получена яв-
ная формула, содержащая два слагаемых, первое из которых определяется
отражающими свойствами морского дна, а второе обусловлено рассеянием
в воде и является шумом в задачах картографии. На основе полученной
формулы проведен анализ влияния рассеяния в среде на соотношение сиг-
нал/шум в зависимости от дальности зондирования.
Для простоты будем предполагать, что процесс распространения гидролокаци-
онных сигналов происходит в среде
G
, которая заполняет все пространство
R
3
и
состоит из двух зон
G
1
и
G
2
. При этом область
G
2
=
{
r
= (
r
1
, r
2
, r
3
)
∈
R
3
:
r
3
<
−
l
}
,
l >
0
,
интерпретируется как донная часть океана, а область
G
1
=
{
r
∈
R
3
:
r
3
>
−
l
} \
γ
a
(
t
)
,
как его водная часть за вычетом некоторой поверхности
γ
a
(
t
)
, на которой размеще-
ны излучающая и принимающая антенны. Место положение всех точек множества
γ
a
(
t
)
зависит от времени следующим образом:
γ
a
(
t
) =
{
r
+
t
V
,
r
∈
γ
a
(0)
}
,
V
= (0
, V,
0)
,
V
=
|
V
|
= const
,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.