ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2140
Скачиваний: 4
195
где поверхность
γ
a
(0)
представляет собой достаточно малую прямоугольную часть
плоскости
r
2
= 0
, центр симметрии которой расположен в начале координат. Таким
образом, поверхность
γ
a
(
t
)
перемещается в пространстве с постоянной скоростью
V
вдоль оси
r
2
. Распространение акустических волн в случайно-неоднородной среде
может быть описано уравнением переноса излучения [1-3]
1
v
(
r
)
∂
∂t
+
k
· ∇
r
+
µ
(
r
, ν
)
f
(
r
,
k
, t, ν
) =
=
σ
(
r
, ν
)
Z
Ω
p
(
k
0
,
k
, ν
)
f
(
r
,
k
0
, t, ν
)
d
k
0
,
(1)
где волновой вектор
k
принадлежит единичной сфере
Ω =
{
k
∈
R
3
:
|
k
|
= 1
}
. Функ-
ция
f
(
r
,
k
, t, ν
)
интерпретируется как плотность потока энергии волны в момент
времени
t
в точке
r
, распространяющейся в направлении
k
и с частотой
ν
∈
I
=
[
ν
min
, ν
max
]
. Величины
µ
,
σ
называются коэффициентами затухания (ослабления)
и рассеяния, а
p
— индикатрисой рассеяния. Величина
σ
зависит от флуктуаций
плотности среды
ρ
(
r
)
и ее сжимаемости
κ
(
r
)
. Скорость распространения звуковой
волны выражается формулой
v
(
r
) =
v
i
= (
ρ
i
κ
i
)
−
1
/
2
,
r
∈
G
i
, где
ρ
i
, κ
i
- плотность и
сжимаемость среды в отсутствие флуктуаций. В момент времени
t
= 0
источники
звука в среде отсутствуют и начальное условие имеет вид
f
(
r
,
k
,
0
, ν
) = 0
,
(
r
,
k
, ν
)
∈
G
×
Ω
×
I.
(2)
Ограничимся случаем, когда отражающие свойства дна на границе раздела
γ
d
=
{
ζ
∈
R
3
:
ζ
3
=
−
l
}
определяются диффузным отражением [3]
f
−
(
ζ
,
k
, t, ν
) =
σ
d
(
ζ
)
4
π
Z
Ω
f
+
(
ζ
,
k
0
, t, ν
)
d
k
0
,
ζ
∈
γ
d
,
(3)
где
f
±
(
ζ
,
k
, t, ν
) = lim
ε
→
+0
f
(
ζ
∓
ε
k
,
k
, t, ν
)
и функция
σ
d
(
ζ
)
является коэффициентом отражения поверхности
γ
d
и описывает
степень неоднородности дна океана. На множестве
γ
a
(
t
)
задаются граничные усло-
вия:
f
−
(
ζ
,
k
, t, ν
) =
h
(
ζ
,
k
, t, ν
)
,
(
ζ
,
k
, t, ν
)
∈
γ
a
(
t
)
×
Ω
×
[0
, T
]
×
I,
(4)
Z
Ω
S
a
(
k
)
f
+
(
ζ
,
k
, t, ν
)
d
k
=
H
(
ζ
, t, ν
)
,
(
ζ
,
k
, t, ν
)
∈
γ
a
(
t
)
×
Ω
×
[0
, T
]
×
I,
(5)
где функция
h
(
ζ
,
k
, t, ν
)
имеет смысл плотности потока энергии передающей антен-
ны, величины
H
(
ζ
, t, ν
)
и
S
a
(
k
)
определяют величину интенсивности в приемной
антенне и ее диаграмму направленности. При
k
∈ {
k
= (
k
1
, k
2
, k
3
)
∈
Ω :
k
1
>
0
}
функция
S
a
(
k
)
определяет диаграмму направленности "по правому борту" , а при
k
∈ {
k
= (
k
1
, k
2
, k
3
)
∈
Ω :
k
1
<
0
}
— "по левому". Рассмотрим следующую задачу
гидролокации морского дна. Определить функцию
σ
d
(
ζ
)
из уравнения (1), началь-
ного и граничных условий (2)-(5), если функции
µ, σ, p, H, h, S
a
известны. Поскольку
объемное рассеяние в среде превосходит донное рассеяние на 3-5 порядков [4], то
можно ограничиться случаем, когда в среде
G
1
учитывается только однократное
рассеяние. Также будем предполагать, что
µ
= const
, σ
= const
,
p
= 1
/
4
π
, а переда-
ющая антенна является точечной и линейно частотно модулированной (ЛЧМ)[5,6].
Пусть
∆
t
— длительность сигнала,
∆
ν
=
ν
max
−
ν
min
— ширина полосы частот и
ν
0
=
ν
max
+
ν
min
2
,
b
=
∆
ν
∆
t
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
196
несущая частота и скорость изменения сигнала. Тогда функция
h
, описывающая
источник ЛЧМ-сигнала, может быть записана в виде:
h
(
ζ
,
k
, t, ν
) =
b δ
(
ζ
3
)
δ
(
ζ
2
−
V t
)
s
a
(
k
)
|
n
(
ζ
)
·
k
|
m
X
i
=0
χ
(
t
−
t
i
)
δ
(
ν
−
(
ν
0
+
b
(
t
−
t
i
))
,
ζ
1
= 0
,
(6)
где
δ
(
x
)
– дельта-функция Дирака,
n
(
ζ
)
– вектор нормали к поверхности
γ
a
(
t
)
,
s
a
–
диаграмма направленности передающей антенны,
t
i
– центральный момент времени
из интервала
[
−
∆
t/
2 +
t
i
, t
i
+ ∆
t/
2]
испускания
i
−
го импульса (
∆
t
6
t
i
+1
−
t
i
) и
χ
(
t
−
t
i
) =
(
1
,
−
∆
t/
2
6
t
−
t
i
6
∆
t/
2;
0
,
|
t
−
t
i
|
>
∆
t/
2;
.
Далее для простоты будем предполагать, что
s
a
= 1
и
S
a
(
k
) =
δ
(
k
2
)
, то есть переда-
ющая антенна обладает широкой диаграммой направленности, а приемная антенна
— узко направленной в горизонтальной плоскости (
k
2
= 0
). Для всех точек
ζ
=
V
t
можно получить следующее соотношение
H
(
V
t, t, ν
) =
Z
Ω
S
a
(
k
)
f
+
(
V
t,
k
, t, ν
)
d
k
=
H
γ
(
V
t, t, ν
) +
H
G
(
V
t, t, ν
)
,
(7)
где
H
γ
(
V
t, t, ν
) =
lχ
ν
−
ν
0
b
4
π
(1
−
V
4
/v
4
)
m
(
t
)
X
i
=1
exp(
−
2
µτ
i
)
σ
d
(
ζ
1
(
τ
i
)
, V t
)
τ
2
i
|
ζ
1
(
τ
i
)
|
,
(8)
H
G
(
V
t, t, ν
) =
σχ
ν
−
ν
0
b
4
π
(1 +
V
2
/v
2
)
m
(
t
)
X
i
=1
exp(
−
2
µτ
i
)
τ
i
arccos
l
τ
i
(1
−
V
2
/v
2
)
,
(9)
где
m
(
t
) =
j
, если
t
j
−
∆
t/
2
< t < t
j
+1
−
∆
t/
2
,
τ
i
=
τ
i
(
t, ν
) =
v
2
t
−
t
i
−
ν
−
ν
0
b
,
ζ
1
(
τ
i
) =
±
s
τ
2
i
1
−
V
2
v
2
2
−
l
2
.
Слагаемое
H
γ
описывает нерассеянную часть принимаемого сигнала и несет в себе
информацию о характеристиках дна. Напротив, слагаемое
H
G
отвечает шумово-
му сигналу, вызванному случайными флуктуациями среды. Так как
V
2
/v
2
1
и
τ
j
τ
i
, i < j
, то из (8),(9) для всех
ζ
1
, удовлетворяющих неравенствам
v
∆
t/
4
6
p
ζ
2
1
+
l
2
6
v
(
t
j
+1
−
t
j
−
∆
t/
2)
/
2
:
H
j,γ
(
ζ
1
) =
H
γ
V
t
j
+
2
p
ζ
2
1
+
l
2
v
!
, t
j
+
2
p
ζ
2
1
+
l
2
v
, ν
0
!
=
=
l
exp(
−
2
µ
p
ζ
2
1
+
l
2
)
4
π
(
ζ
2
1
+
l
2
)
|
ζ
1
|
σ
d
ζ
1
,
V
t
j
+
2
p
ζ
2
1
+
l
2
v
!!
,
(10)
H
j,G
(
ζ
1
) =
H
G
V
t
j
+
2
p
ζ
2
1
+
l
2
v
!
, t
j
+
2
p
ζ
2
1
+
l
2
v
, ν
0
!
=
=
σ
exp(
−
2
µ
p
ζ
2
1
+
l
2
)
4
π
p
ζ
2
1
+
l
2
arccos
l
p
ζ
2
1
+
l
2
!
,
(11)
Функция
H
j,γ
(
ζ
1
)
/H
j,G
(
ζ
1
)
характеризует зависимость соотношения сигнал/ шум
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
197
Рис. 1.
Схематическое изображение функции
σ
d
(
ζ
1
, ζ
2
)
Рис. 2.
Графики функций
H
j,γ
(сплошная линия) и
H
j,G
(пунктирная ли-
ния) при
σ
= 10
−
5
Рис. 3.
Графики функций
H
j,γ
и
H
j,G
при
σ
= 10
−
4
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
198
на частоте
ν
0
в
j
-ой полосе зондирования по переменной
ζ
1
, равной дальности зон-
дирования. Для анализа функций
H
j,γ
и
H
j,G
были проведены численные экспери-
менты при следующих значениях характеристик среды и излучателя [4-6]:
l
= 10
м,
ν
0
= 80
кГц;
∆
ν
= 10
кГц;
t
j
+1
−
t
j
= 0
.
4
с;
∆
t
= 0
.
2
мс;
v
= 1500
м/с;
V
= 1
м/с;
σ
d
(
ζ
1
, ζ
2
) =
(
3
·
10
−
1
,
(
ζ
1
−
200)
2
+ (
ζ
2
−
25)
2
6
3
2
;
1
·
10
−
1
,
иначе.
На рисунке 1 дано схематическое распределение функции
σ
d
(
ζ
1
, ζ
2
)
для
ζ
1
>
0
и
выделена
j
-ая линия зондирования.
На рисунке 2 при
µ
=
σ
= 10
−
5
м
−
1
приведены графики функций
H
j,γ
(
ζ
1
)
,
H
j,G
(
ζ
1
)
. На рисунке 3 приведены те же самые графики при
µ
=
σ
= 10
−
4
м
−
1
. Ана-
лиз рисунков 2,3 показывает, что когда коэффициент рассеяния в океане меньше
коэффициента отражения дна на четыре порядка, то полезный сигнал
H
j,γ
, пришед-
ший с расстояния 250 метров, сопоставим с рассеянным
H
j,G
. Если же величины
σ
и
σ
d
отличаются на три порядка, то равенство сигналов
H
j,γ
и
H
j,G
наблюдается на
расстоянии менее 100 метров. А при
ζ
1
= 300
м функция
H
j,G
превосходит
H
j,γ
на
порядок.
Список литературы
1.
Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.:
Мир, 1981.
2.
Bal G., Kinetics of scalar wave fields in random media //Wave Motion, 2005. Vol. 43. P.
132-157.
3.
Прохоров И.В., Золотарев В.В., Агафонов И.Б. Задача акустического зондирования
во флуктуирующем океане // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т.
11. №1. С. 76-87.
4.
Андреева И.Б. Сравнительные оценки поверхностного, донного и объемного рассея-
ния звука в океане // Акустический журнал. 1995. Т. 41. №5. С. 699–705.
5.
Матвиенко Ю.В., Воронин В.А., Тарасов С.П. и др. Пути совершенствования гид-
роакустических технологий обследования морского дна с использованием автоном-
ных необитаемых подводных аппаратов //Подводные исследования и робототехника.
2008. Т. 2(8). С. 4–15.
6.
Агеев А.Л., Игумнов Г.А., Костоусов В.Б., Агафонов И.Б., Золотарев В.В., Мади-
сон Е.А. Синтезирование апертуры многоканального гидролокатора бокового обзора
с компенсацией траекторных нестабильностей //Подводные исследования и робото-
техника. 2012. Т. 2(14). С. 13–26.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 539.371
ТЕХНОЛОГИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
Садовский В.М.
Институт вычислительного моделирования СО РАН
Россия, 660036, Красноярск, Академгородок, ИВМ СО РАН 50/44
E-mail:
E-mail: sadov@icm.krasn.ru
Ключевые слова:
параллельные вычисления, структурно неоднородные
среды.
Для анализа процессов распространения волн напряжений и деформаций
в средах с микроструктурой (горных породах, сыпучих и пористых мате-
риалах, жидких кристаллах) разработаны математические модели, числен-
ные алгоритмы и программные приложения, ориентированные на много-
процессорные вычислительные системы кластерной архитектуры. Разное
сопротивление материалов растяжению и сжатию учитывается в рамках
феноменологического подхода на основе обобщенного реологического ме-
тода. Для учета вращательных степеней свободы частиц микроструктуры
материала применяется теория моментного континуума Коссера. Числен-
ная реализация возникающих систем дифференциальных уравнений и нера-
венств в частных производных основывается на методах расщепления по
пространственным переменным и по физическим процессам в сочетании с
разностной схемой Годунова. Программирование выполнено на алгоритми-
ческом языке Fortran-90 с применением библиотеки обмена сообщениями
MPI (MessagePassingInterface). Для графической обработки результатов ис-
пользуются компьютерные системы типа Tecplot.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.