ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1101
Скачиваний: 18
Площадь криволинейной трапеции соответствующей отрезку
[
x
i
−
1
, x
i
+1
]
можно найти с помощью определенного интеграла
s
i
−
1
,i
+1
=
x
i
+1
Z
x
i
−
1
ψ
i
(
x
)
dx
=
h
3
(
y
i
−
1
+ 4
y
i
+
y
i
+1
)
(68)
Его вычисление можно провести в системе Maple (см. пример).
56
Аналогично можно вычислить такие интегралы для каждого эле-
ментарного отрезка и результаты просуммировать. В итоге получим
S
=
h
3
(
y
0
+ 4
y
1
+ 2
y
2
+ 4
y
3
+ 2
y
4
+
...
+ 2
y
n
−
2
+ 4
y
n
−
1
+
y
n
)
Таким образом, мы получили формулу Симпсона (или формулу па-
рабол):
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
3
{
y
0
+ 4(
y
1
+
y
3
+
...
+
y
n
−
1
)+
+ 2(
y
2
+
y
4
+
...
+
y
n
−
2
) +
y
n
}
(69)
57
5.4
Метод Гаусса
Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на
равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерпо-
ляционного типа ищутся такими, чтобы они обладали наивысшим
порядком точности при заданном числе узлов.
Т.е., задача ставится таким образом: нужно подобрать узлы
t
1
, t
2
, ..., t
n
и коэффициенты
α
1
, α
2
, ..., α
n
таким образом, чтобы квад-
ратурная формула
1
Z
−
1
f
(
t
)
dt
=
n
X
i
=1
α
i
f
(
t
i
)
(70)
была точной для всех полиномов
f
(
t
)
наивысшей возможной степени
N
. Т.к. мы имеем
2
n
постоянных
t
i
,
α
i
, а полином степени
2
n
−
1
определяется
2
n
коэффициентами, то эта наивысшая степень будет
равна
N
= 2
n
−
1
.
58
В частности, необходимо, чтобы равенство (70) было верным при
f
(
t
) = 1
, t, t
2
, ..., t
2
n
−
1
.
(71)
Подставляя последовательно
f
(
t
)
из (71) в (70) и учитывая, что
1
Z
−
1
t
k
dt
=
1
−
(
−
1)
k
+1
k
+ 1
=
2
k
+ 1
,
при
k
четном
;
0
,
при
k
нечетном
(72)
59
получаем систему
2
n
уравнений для нахождения
t
i
и
α
i
:
n
X
i
=1
α
i
= 2
,
n
X
i
=1
α
i
t
i
= 0
,
(73)
..................
n
X
i
=1
α
i
t
2
n
−
2
i
=
2
2
n
−
1
,
n
X
i
=1
α
i
t
2
n
−
1
i
= 0
.
Для того, чтобы не находить значения коэффициентов и узлов каж-
дый раз, их значения табулированы для отрезка интегрирования
[
−
1
,
1]
. Простой заменой переменных произвольный отрезок
[
a, b
]
мо-
60