ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1100
Скачиваний: 18
жет быть приведен к
[
−
1
,
1]
:
b
Z
a
... dx
→
1
Z
−
1
...dt,
x
=
b
+
a
2
+
b
−
a
2
t,
dx
=
b
−
a
2
dt,
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
−
a
2
1
Z
−
1
f
b
+
a
2
+
b
−
a
2
t
dt.
61
Например, для
n
= 4
узлы и коэффициенты формулы Гаусса
−
t
1
=
t
4
= 0
.
861 136 311 594 0492
−
t
2
=
t
3
= 0
.
339 981 043 584 8646
1
2
α
1
=
1
2
α
4
= 0
.
173 927 422 568 7284
1
2
α
2
=
1
2
α
3
= 0
.
326 072 577 431 2716
5.5
Точность численного интегрирования
Можно показать, что остаточный член метода прямоугольников на
отрезке
[
a, b
]
имеет вид
|
R
пр
|
6
(
b
−
a
)
h
2
24
max
a
6
x
6
b
|
f
00
(
x
)
|
62
для метода трапеций
|
R
тр
|
6
(
b
−
a
)
h
2
12
max
a
6
x
6
b
|
f
00
(
x
)
|
для метода Симпсона
|
R
С
|
6
(
b
−
a
)
h
4
180
max
a
6
x
6
b
|
f
(4)
(
x
)
|
для
n
– точечного метода Гаусса
|
R
Г
|
6
2
2
n
+1
(
n
!)
4
[(2
n
)!]
3
(2
n
+ 1)
max
a
6
x
6
b
|
f
(2
n
)
(
x
)
|
для
n
= 4
– метода Гаусса
|
R
Г
|
6
1
3 472 875
max
a
6
x
6
b
|
f
(8)
(
x
)
|
63
5.6
Особые случаи численного интегрирования
1. Подынтегральная функция разрывна на отрезке интегрирования
Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования тер-
пит разрыв, то интеграл вычисляется численно для каждого отрезка
непрерывности и результаты складывают. Например, в случае одной
точки разрыва
x
=
c
(
a < c < b
)
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
c
Z
a
f
(
x
)
dx
+
b
Z
c
f
(
x
)
dx
2. Несобственные интегралы.
Несобственными интегралами называются такие интегралы, кото-
рые имеют хотя бы одну бесконечную границу интегрирования или
подынтегральную функцию, обращающуюся в бесконечность хотя
бы в одной точке отрезка интегрирования.
64
Интеграл с бесконечным пределом
∞
Z
a
f
(
x
)
dx
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim
b
→∞
b
Z
a
f
(
x
)
dx
и по определению
∞
Z
a
f
(
x
)
dx
= lim
b
→∞
b
Z
a
f
(
x
)
dx.
Для вычисления сходящегося несобственного интеграла с заданной
65