ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1097
Скачиваний: 18
точностью
ε
его представляют в виде
∞
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
Z
a
f
(
x
)
dx
+
∞
Z
b
f
(
x
)
dx.
В случае сходимости интеграла число
b
можно выбрать столь боль-
шим, чтобы
∞
Z
b
f
(
x
)
dx
<
ε
2
.
В случае, если функция обращается в бесконечность в некоторой
точке
x
=
c
конечного отрезка интегрирования, то можно пробо-
вать выделить особенность, представив подынтегральную функцию
в виде суммы двух функций:
f
(
x
) =
ϕ
(
x
) +
ψ
(
x
)
так чтобы
ϕ
(
x
)
была ограничена, а несобственный интеграл от
ψ
(
x
)
вычислялся бы аналитически.
66
Возникающие в ряде задач сингулярные интегралы вида
b
Z
a
f
(
x
)
x
−
c
dx
понимаются в смысле главного значения
lim
ε
→
0
c
−
ε
Z
a
f
(
x
)
x
−
c
dx
+
b
Z
c
+
ε
f
(
x
)
x
−
c
dx
Этот интеграл может быть записан как сумма интеграла по отрезку,
симметричному относительно точки
c
и интеграла от гладкой функ-
ции по оставшейся части.
67
5.7
Кратные интегралы
Будем рассматривать двойные интегралы
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy
(74)
Самым простым методом вычисления данного интеграла является
метод ячеек. Пусть областью интегрирования является прямоуголь-
ник:
a
6
x
6
b,
c
6
y
6
d.
По теореме о среднем среднее значение функции
f
(
x, y
)
:
¯
f
(
x, y
) =
1
S
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy,
S
= (
b
−
a
)(
d
−
c
)
.
(75)
Предположим, что среднее значение приближенно равно значению
функции в центре прямоугольника, т.е.
f
(¯
x,
¯
y
)
≈
¯
f
(
x, y
)
,
68
тогда для вычисления интеграла получаем
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy
≈
Sf
(¯
x,
¯
y
)
¯
x
=
a
+
b
2
,
¯
y
=
c
+
d
2
.
Точность формулы можно повысить, если разбить область
G
на
прямоугольные ячейки
∆
G
ij
, то для каждой ячейки
Z Z
∆
G
ij
f
(
x, y
)
dxdy
≈
f
( ¯
x
i
,
¯
y
j
)∆
x
i
∆
y
j
(76)
и для интеграла
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy
≈
M
X
i
=1
N
X
j
=1
f
( ¯
x
i
,
¯
y
j
)∆
x
i
∆
y
j
(77)
В правой части последнего равенства стоит интегральная сумма,
поэтому при уменьшении периметров ячеек эта сумма стремится к
69
значению интеграла для любой непрерывной функции
f
(
x, y
)
. По-
грешность метода ячеек имеет второй порядок малости по
∆
x
и
∆
y
.
Для дальнейшего повышения точности можно применить метод сгу-
щения узлов сетки. При этом шаг по каждой переменной уменьшают
в одинаковое число раз, т.е. отношение
M/N
остается постоянным.
В случае, если область
G
непрямоугольная, ее может быть целе-
сообразно привести к прямоугольному виду путем соответствующей
замены переменных.
Рассмотрим область – криволинейный четырехугольник:
a
6
x
6
b
,
ϕ
1
(
x
)
6
y
6
ϕ
2
(
x
)
. Для приведения этой области к прямоуголь-
ной, надо использовать замену:
t
=
y
−
ϕ
1
(
x
)
ϕ
2
(
x
)
−
ϕ
1
(
x
)
,
0
6
t
6
1
.
(78)
Другой возможный способ вычисления многомерных интегралов
состоит в сведении их к последовательному вычислению одномерных
интегралов.
70