ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1096
Скачиваний: 18
6
Системы линейных уравнений
6.1
Основные понятия
Система
n
линейных алгебраических уравнений имеет вид:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
,
.....................................
(79)
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
...
+
a
nn
x
n
=
b
n
Совокупность коэффициентов этой системы образует квадратную
матрицу
n
×
n
:
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
. . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
(80)
71
В векторно-матричном виде система (79) запишется в виде
A
x
=
b
(81)
где
x
и
b
– вектор-столбцы неизвестных и правых частей.
Иногда системы уравнений имеют некоторые специальные виды
матриц:
– симметричная матрица
a
ij
=
a
ji
,
– треугольная матрица с равными нулю элементами, расположенны-
ми ниже или выше диагонали,
– клеточная матрица,
– ленточная матрица (пример – трехдиагональная),
– единичная матрица
Определителем матрицы
A n
-го порядка называется число
D
, рав-
72
ное
D
=
detA
=
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
. . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
=
X
(
−
1)
k
a
1
α
a
2
β
...a
nω
,
(82)
где индексы
α
,
β
,...,
ω
пробегают все возможные
n
!
перестановок но-
меров
1
,
2
, ..., n
,
k
– число инверсий (обмен двух соседних индексов
местами) в данной перестановке.
Необходимым и достаточным условием существования единствен-
ного решения системы лин. уравнений является
D
6
= 0
. В случае,
если
D
= 0
– матрица называется вырожденной, система может не
иметь решений, или иметь их бесконечное множество.
73
Для иллюстрации рассмотрим систему двух уравнений
a
1
x
+
b
1
y
=
c
1
(83)
a
2
x
+
b
2
y
=
c
2
.
(84)
Возможны три случая:
1) прямые пересекаются, т.е.
a
1
a
2
6
=
b
1
b
2
2) прямые параллельны, т.е.
a
1
a
2
=
b
1
b
2
6
=
c
1
c
2
3) прямые совпадают, т.е.
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
74
Определитель нашей системы имеет вид
D
=
a
1
b
1
a
2
b
2
В практических вычислениях из-за округлений редко удается полу-
чить точное равенство определителя нулю. При
D
≈
0
прямые могут
оказаться почти параллельными, и координаты точки пересечения
могут быть весьма чувствительными к малым изменениям коэффи-
циентов системы. Т.е., малые погрешности вычислений или исходных
данных могут привести к существенным погрешностям в решении.
В этом случае система уравнений называется плохо обусловленной.
6.2
Методы решения линейных систем
Методы решения линейных систем делятся на два класса:
1)
точные (прямые) методы
, которые представляют из себя ко-
нечные алгоритмы для вычисления корней системы; примеры: пра-
75