ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 506
Скачиваний: 1
Последовательность независимых испытаний
Испытания Бернулли
Пусть задано вероятностное пространство
(Ω
,
U
,
P
)
.
µ
n
=
µ
n
(110001
. . .
1)
— случайная величина, равная числу успехов в первых
n
испытаниях схемы Бернулли.
µ
4
=
µ
4
(1101) = 3
, µ
4
=
µ
4
(0000) = 0
Найдем вероятности событий
{
µ
n
=
m
}
=
{
(110001
. . .
1) :
µ
n
(110001
. . .
1) =
m
}
.
Теорема
Если
µ
n
— число успехов в
n
испытаниях Бернулли, то
P
(
µ
n
=
m
) =
p
n
(
m
) =
C
m
n
p
m
q
n
−
m
,
m
= 0
,
1
, . . . ,
n
.
(ФКН ВГУ)
26 / 67
Последовательность независимых испытаний
Полиномиальная схема
Для схемы испытаний с произвольным
N
введем случайные величины
ξ
k
,
равные числам исходов
k
,
k
= 1
,
2
, . . . ,
N
.
P
(
ξ
1
=
m
1
, ξ
2
=
m
2
, . . . , ξ
N
=
m
N
) =
n
!
m
1
!
· · ·
m
N
!
p
m
1
1
· · ·
p
m
N
N
,
где
m
1
,
m
2
, . . . ,
m
N
— неотрицательные целые числа, удовлетворяющие
условию
m
1
+
m
2
+
· · ·
+
m
N
=
n
.
Вероятность каждой цепочки:
p
m
1
1
p
m
2
2
· · ·
p
m
N
N
.
C
m
1
n
C
m
2
n
−
m
1
· · ·
C
m
N
n
−
m
1
−···−
m
N
−
1
=
n
!
m
1
!
m
2
!
· · ·
m
N
!
(ФКН ВГУ)
27 / 67
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Предельные теоремы в схеме Бернулли
n
≫
1
Теорема Пуассона
Если
n
→ ∞
и
p
→
0
так, что
np
→
λ
,
0
< λ <
∞
, то
P
(
µ
n
=
m
) =
C
m
n
p
m
q
n
−
m
→
λ
m
m
!
e
−
λ
при любом постоянном
m
,
m
= 0
,
1
,
2
, . . .
Часто эта формула используется при
n
>
100
и
np
<
30
.
(ФКН ВГУ)
28 / 67
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Если
n
→ ∞
,
p
(
0
<
p
<
1
) постоянно, величина
x
m
=
m
−
np
√
npq
(
−∞
<
a
6
x
m
6
b
<
∞
)
ограничена равномерно по
m
и
n
, то
P
(
µ
n
=
m
) =
1
√
2
π
npq
e
−
x
2
m
/
2
(1 +
α
n
(
m
))
,
где
|
α
n
|
<
C
/
√
n
при
x
m
∈
[
a
,
b
]
,
C
>
0
— постоянная.
Формулу
P
(
µ
n
=
m
)
≈
e
−
x
2
m
/
2
/
√
2
π
npq
часто используют при
n
>
100
и при
npq
>
20
.
n
→ ∞
⇒
m
→ ∞
.
m
и
n
должны отличаться не очень сильно.
Для
P
(
µ
n
= 0)
локальная теорема дает плохое приближение.
(ФКН ВГУ)
29 / 67
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Если
p
(
0
<
p
<
1
) постоянно, то при
n
→ ∞
величина
P
a
6
µ
n
−
np
√
npq
6
b
−
1
√
2
π
Z
b
a
e
−
x
2
/
2
dx
→
0
равномерно по
a
и
b
,
−∞
6
a
6
b
6
∞
.
Приближенная формула
P
a
6
µ
n
−
np
√
npq
6
b
≈
1
√
2
π
Z
b
a
e
−
x
2
/
2
dx
используется в тех случаях, когда возможно использование формулы
P
(
µ
n
=
m
)
≈
e
−
x
2
m
/
2
/
√
2
π
npq
.
(ФКН ВГУ)
30 / 67