ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 508
Скачиваний: 1
Определения и примеры
Пусть
(Ω
,
F
,
P
)
— произвольное вероятностное пространство.
Случайной
величиной
X
назовем действительную функцию
X
=
X
(
ω
)
,
ω
∈
Ω
, такую,
что при любом действительном
x
{
ω
:
X
(
ω
)
<
x
} ∈ F
.
Так как
F
—
σ
-алгебра, то
(
X
>
x
) = (
X
<
x
)
∈ F
,
(1)
(
x
1
6
X
<
x
2
)
= (
X
<
x
2
)
\
(
X
<
x
1
)
∈ F
,
(2)
(
X
=
x
) =
∞
\
n
=1
x
6
X
<
x
+
1
n
∈ F
.
(3)
Для вычисления вероятностей событий вида (1)-(3) достаточно при любом
x
знать вероятность
F
X
(
x
) =
P
(
X
<
x
)
.
(ФКН ВГУ)
32 / 67
Функция распределения
Функция
F
X
(
x
)
≡
F
(
x
)
,
F
(
x
) =
P
(
X
<
x
)
,
действительной переменной
x
,
−∞
<
x
<
∞
, называется
функцией
распределения
случайной величины
X
.
Так как
(
X
<
x
2
) = (
x
1
6
X
<
x
2
) + (
X
<
x
1
)
,
то
P
(
X
<
x
2
) =
P
(
x
1
6
X
<
x
2
) +
P
(
X
<
x
1
)
.
P
(
x
1
6
X
<
x
2
) =
F
(
x
2
)
−
F
(
x
1
)
P
(
X
>
x
) = 1
−
F
(
x
)
.
P
(
X
=
x
) = lim
n
→∞
h
F
x
+
1
n
−
F
(
x
)
i
=
F
(
x
+ 0)
−
F
(
x
)
(ФКН ВГУ)
33 / 67
Функция распределения. Примеры
Пример 1.
Два игрока по одному разу подбрасывают симметричную монету. Если
выпал “орел”, то первый игрок получает 1 рубль, а если выпала
“решка”, то — отдает 1 рубль. Для описания данной игры естественно
положить
Ω =
{
Орел,Решка
}
и
P
(
{
Орел
}
) =
P
(
{
Решка
}
) = 1
/
2
.
Случайная величина
X
, равная выигрышу первого игрока,
определяется следующим образом:
X
=
X
(
Орел
) = 1
,
X
=
X
(
Решка
) =
−
1
.
Функция распределения:
F
(
x
) =
0
,
x
6
−
1
,
1
/
2
,
−
1
<
x
6
1
,
1
,
x
>
1
.
(ФКН ВГУ)
34 / 67
Функция распределения. Примеры
Пример 2.
Пусть в единичный квадрат
Ω =
{
(
u
,
v
) : 0
6
u
6
1
,
0
6
v
6
1
}
наудачу
брошена точка. Элементарными событиями
ω
являются точки
квадрата
Ω
;
σ
-алгебра
F
порождается квадрируемыми
подмножествами квадрата. Вероятность — площадь. Случайное
событие, например — первая координата брошенной точки,
X
=
X
(
u
,
v
) =
u
. Найдем функцию распределения величины
X
.
F
(
x
) =
0
,
x
6
0
,
x
,
0
<
x
6
1
,
1
,
x
>
1
.
(ФКН ВГУ)
35 / 67