Файл: Математической физики.doc

заведомо выполнятся. Ряд (45) написан по аналогии с (42), но функции теперь нуждаются в определении.

Подстановка ряда (45) в уравнение (2) дает

,

следовательно,

, .

Функция f(x,t) как функция от x может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке с коэффициентами , зависящими от t:

.

Для функции возникли два разложения в ряды Фурье по синусам; поскольку такое разложение единственно, их коэффициенты можно приравнять:

.

Если функции удовлетворяют этим уравнениям, функция , заданная рядом (45), удовлетворяет уравнению и ГУ. Чтобы выполнялись НУ, достаточно потребовать , . Таким образом, функции определяются задачами Коши для обыкновенных линейных неоднородных ДУ:

(46)

Пусть - частное решение этого неоднородного уравнения, тогда его общее решение имеет вид

.

Упражнение 13. Методом вариации произвольных множителей Лагранжа

---

^* найти частное решение уравнения из задачи (46) в виде

.

Для общего решения уравнения (46) имеем

, (47)

подстановка условий Коши дает . Окончательно решение (46) принимает вид

. (48)

Подставляя в (48) выражения для коэффициентов Фурье и частот, получаем

. (49)

Ряд (45) с коэффициентами (49) дает решение задачи (44). Если функция дважды непрерывно дифференцируема и обращается в нуль на концах промежутка , сумма ряда является классическим решением задачи.

I начально-краевая задача в общем случае состоит из неоднородного уравнения (2), неоднородных ГУ (33) и НУ (34). Ее решение следует искать в виде суммы двух функций:

, (50)

где - произвольная функция, удовлетворяющая ГУ (33). Можно, например, выбрать .

Для функции возникает НКЗ с однородными ГУ, метод решения которой изложен выше:



.

Частные случаи вынужденных колебаний струны с закрепленными концами.

1. , т.е. на струну действует постоянная распределенная сила; например, горизонтальная струна находится в однородном поле силы тяжести. В этом случае решение НКЗ (2), (34), (35) проще искать в виде суммы

---

, где функция удовлетворяет уравнению (2) и ГУ (35), т.е. определяется краевой задачей для ОДУ:

.

Решение этой задачи, описывающее статический прогиб струны, найдено в упражнении 1: .

Функция должна быть решением однородного уравнения (3) с однородными ГУ (35) и неоднородными НУ:

.

описывает свободные колебания струны около положения равновесия, эта задача решена в § 6.

2. Действующая на струну распределенная сила постоянна во времени, но может меняться от точки к точке, . Отличие от предыдущего случая состоит только в том, что для функции возникает более сложная КЗ:

.

Упражнение 14. Получить решение задачи для в виде

.

3. Приложенная к струне распределенная сила меняется по гармоническому закону: . Решение НКЗ (2), (34), (35) будем искать в виде суммы (50), в которой функция - частное решение уравнения (2), удовлетворяющее ГУ (35). Функция будет тогда решением однородного уравнения (3) с теми же ГУ (35) и произвольными НУ; такое решение построено в § 6.

Вид функции зависит от того, совпадает или нет частота внешнего воздействия

---

с одной из собственных частот струны . При совпадении частот, , возможно возникновение резонанса, при котором амплитуда колебаний с частотой вынуждающей силы неограниченно возрастает пропорционально времени.

Упражнение 15. Построить частное решение уравнения (2) с ГУ (35), рассмотреть три случая:

1) . Частное решение следует искать в виде

, (51)

его подстановка в (2) и (35) дает краевую задачу для ОДУ:

. (52)

Выше мы уже строили общее решение такого уравнения, с точностью до обозначений оно имеет вид (47). Учет ГУ даст для следующее выражение:

;

2) при некотором k и выполняется условие

. (53)

Частное решение по-прежнему можно искать в виде (51), где − решение задачи (52). Для можно получить в этом случае более простое выражение:

;

3) при некотором k и условие (53) не выполняется. Для частного решения можно получить

,

где − коэффициент разложения функции в ряд Фурье по синусам на промежутке , функция обладает тем свойством, что для нее интеграл (53) равен нулю. Видно, что второе слагаемое описывает колебание с частотой , амплитуда которого неограниченно возрастает пропорционально

---

t.

---