Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc

Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси

Изучение этого вопроса закладывает базу для решения тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств с параметрами. Во многих случаях эти решения приводят к громоздким преобразованиям. В то же время использование свойств квадратичной функции позволяет существенно упростить решение.

Кроме того, решение многих задач с параметрами, предлагающихся на вступительных экзаменах в вузы, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, связанные с расположением корней квадратного трехчлена относительно некоторых характерных точек.

Основное внимание уделено наглядности, обоснование утверждений существенно опирается на чертеж.

Пусть квадратный трехчлен f(x)=Ax²+Bx+Cимеет корни х₁ и х₂; х₀= абсцисса вершины параболы; D=B² 4ACдискриминант квадратного трехчлена; M, K, N, P заданные числа.

Все чертежи приведены для а>0, случай а<0 рассматривается аналогично.

У тверждение 1. Для того, чтобы число N было расположено между корнями квадратного трехчлена (х₁<N<х₂), необходимо и достаточно выполнение неравенства

А f(N)<0

Доказательство:

Nx₁>0; Nx₂<0;

(N  x₁)( N  x₂)<0;

N² x₁N  x₂N+x₁ x₂<0;

N² (x₁+x₂)N+x₁ x₂<0;

N²+ N+

---

<0 xa²;

A (AN²+BN+C)<0;

af(N)<0.

88. При каких mуравнение x² (2m+1)x+3m 4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2?

Решение: А f(2)<0;

A=1; f(2)=4  (2m+1) 2+3m 4=m 2;

m 2<0; m>2.

Ответ: m>2.

89. При каких mуравнение mx²+(3m 2)x+m 3=0 имеет корни разных знаков?

Эту задачу можно переформулировать так: при каких m число 0 лежит между корнями уравнения?

Решение: А=m; f(0)=m 3;

m(m 3)<0; 0<m<3.

Ответ: (0; 3).

Замечание: Эту задачу можно решить и используя теорему Виета (  0).

90. При каких kодин из корней уравнения (k² 2)x²+(k²+k 1)xk³+k²=0 меньше k, а другой больше k?

Решение: А=k² 2;

f(k)=(k² 2)k²+ (k²+ k  1)k  k³+k²= (k² 2) ((k² 2)k²+ (k²+ k  1)k  k³+k²)<0;



Ответ: ( ; 0) U (1; ).

У тверждение 2. Для того, чтобы отрезок [N; P] лежал в интервале (х₁; х₂), необходимо и достаточно выполнение условий:
91. При каких mкорни уравнения

---

(m 1)x² 2(m+2)x+3m=0 удовлетворяют условию х₁<2, х₂>4?

Решение:






Ответ:
92. Найти все значения а, при которых неравенство x²2(а3)x+а²6а<0 будет выполнено для любого х, принадлежащего интервалу (0; 2).

Решение: Интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений данного неравенства, следовательно, должно выполняться соотношение

х₁ 0<2 х₂



Ответ: [2;6 ].

Утверждение 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше числа M (х₁х₂M), необходимо и достаточно выполнение условий:



Доказательство.

(x₁M)<0; (x₂M)<0;

(x₁M)(x₂M)>0;

M²(x₁+x₂)M+x₁ x₂>0;

M²+

---

M+  0  xa²;

a(aM²+BM+C) 0;

af(M)>0.

У тверждение 4. Для того, чтобы оба корня уравнения были больше числа K (K<х₁х₂), необходимо и достаточно выполнение условий:




93. При каких mвсе корни уравнения x² (3m+1)x+(2m²+4m 6)=0

а) больше 1; б) меньше 1?



Решение: а)

.

б)

Ответ: а) m> ; б) m< 4.

Замечание: Если выражения для корней уравнения не содержат радикалов, то удобно решать примеры и без применения теорем. Так как корни х₁=m+3, x₂=2m 2, то в случае

а) ; б) ;

94. При каких а корни уравнения

---

аx² (2а+1)x+3а  1=0 больше 1?

Ответ: .

9 5. При каких р корни уравнения x²+4рх+(1  2р+4р²)=0 меньше 1?

Ответ: (1;+).

96. При каких bкорни уравнения x² 2xb=0 меньше b?

Ответ: (3;+).

Утверждение 5. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена лежали в интервале (K; M), т. е. K<x₁x₂<M, необходимо и достаточно выполнение условий:



97. Для каких значений mуравнение 4x²2x+m=0 имеет корни, заключенные между 1 и 1?

Решение:



Ответ: .

98. При каких mкорни уравнения x²2mx+m²2m+5=0 по модулю не превосходят 4?

Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m

 4  х₁ х₂ 4?

Решение:


Ответ:

Утверждение 6. Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), а меньший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:

---