Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc

Утверждение 7. Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), а больший не принадлежал, необходимо и достаточно выполнение условий:

У тверждение 8. Для того, чтобы только один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение неравенства

f(N)f(M)<0.

При решении задач следует отдельно рассматривать случаи D=0 и A=0.

98. При каких р только один корень уравнения x²рx+6=0 удовлетворяет условию 2<х<5?

Решение: 1) f(2)f(5)<0;

(10  2p) (31 5p)<0 ; 5<p< .

2) Если D=0, то уравнение имеет один корень.

D=p²24; p²24=0; p= 2 ;

а) при p= 2 , х= ;

  (2; 5);

б) при p=2 , х= ;  (2; 5).

Ответ: .

У тверждение 9.

---

Для того, чтобы один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (K; P), а другой  интервалу (N; M), необходимо и достаточно выполнение условий:



99. При каких mодин из корней уравнения x²(2m+1)x+m²+m2=0 находится между числами 1 и 3, а второй между числами 4 и 6?

Решение:

1 способ.



2 способ.



Ответ: (2; 4).

Ключевыми являются утверждения 1-5 и задачи 90, 93, 95, 99. Учителю следует требовать графическую иллюстрацию к задачам и формулировку соответствующего утверждения.
0>2>0>

---

Уравнения с одной переменной

При изучении уравнений, приводимых к квадратным, можно рассмотреть задачи:

100. При каких значениях а уравнение x²(а+1)x+а=0 имеет 3 различных корня?

Решение:

x²  (а+1)x+а=0; x=t, t 0;

t²(а+1) t+а=0; (1)

Исходное уравнение имеет 3 различных корня, если уравнение (1) имеет t₁=0; t₂>0



Ответ: а=0.

101. При каких а уравнение x⁴(3а1)x²+2а²а=0 имеет 2 различных корня?

Решение:

x²=t, t 0;

t² (3а  1) t+2а²  а=0; (1)

Исходное уравнение имеет 2 различных корня:

1) когда уравнение (1) имеет корни разных знаков, т. е. t₁ t₂<0,

2аа<0;

0<а< ;

2) когда уравнение (1) имеет один положительный корень, т. е. D=0, t₀>0,

D=9а6а+14(2a  a)=a²2a+1=(a  1)²;

(a  1)²=0; a=1.

t² 2t+1=0; t₀=1.

Ответ: (0; 0,5) U{1}.

Полезно решить ряд задач графическим способом.

102. Определить все значения а, при которых уравнение имеет 2 различных корня:

---

а) x²=4x+а;

б) 2x=x²+а.

Ответ: а) а= 4, а>0; б) а=1, а<0.

103. При каких а уравнение x+3=ах2 имеет единственное решение?

Ответ: а=0; а=1.

Можно показать учащимся три способа решения этой задачи, сравнить, выбрать более рациональный.

Не следует упускать возможности поразить школьников красотой математики. Использование свойства четности функции превращает сложную, на первый взгляд, задачу в устное упражнение.

104. При каком значении а уравнение x¹⁰аx+а²а=0 имеет единственное решение?

Решение: f(x)=x¹⁰аx+а² а четная функция.

Если х₀  корень, то и х₀ корень, следовательно х₀= х₀; х₀=0  необходимо, но не достаточно.

0¹⁰а0+а²а=0; а=0; а=1.

Проверка: а) при а=0; x¹⁰=0; х=0.

б) при а=1; x¹⁰x=0; х=0; х= 1 не удовлетворяет условию.

Ответ: а=0.

105. При каком а уравнение +а²=0 имеет один корень?

Ответ: а=1.

Если в 7-9 классах проделать соответствующую работу по изучению параметров, заложить основы материала, то это существенно облегчит решение параметрических задач в 10-11 классах.

Заключение

Прежде всего нужно сказать, что хороших результатов ждать сразу не следует. Если у ученика есть маломальские математические способности, то в итоге он "вырастет" до параметрических задач. Некоторые же дети в силу их психологии, генетического кода так и не смогут общаться с параметрами ни на "ты", ни на "вы". Не следует этого жестко и требовать, раз они не будут связывать свою жизнь с математикой.

Однако же учащиеся, которые "вошли во вкус", способны на большие успехи. Конечно, в основном,

---

нестандартные методы решения, рациональные приемы они демонстрируют в 10-11 классах, но база для этого должна закладываться кропотливым вдумчивым трудом, начиная с 5 класса.

Целенаправленно изучая этот вопрос, можно достичь запланированных результатов, предполагающих формирование соответствующих умений и навыков.

Вот только как высоко поднять "планку", зависит от обучаемых. Можно ограничиться минимальным уровнем. Это уже хорошо. Можно расширить содержание, добавив тему "Решение систем с параметрами".

Система предложенных заданий саморегулируема. Учитель может по своему усмотрению переставить сами темы в течение года или перенести часть материала на следующий год.

Единственное серьезное требование к учителю-чутко улавливать при объяснении, все ли нюансы изучаемого вопроса "разложились по полочкам" в головах учеников; кропотливо, терпеливо, еще и еще раз объяснять трудные моменты; иметь в запасе много простеньких задач по всем темам. В 7-9 классах главное-качественное изучение блока ключевых задач. С большим разнообразием использования параметра ученики столкнутся в 10-11 классах.

Учитель не должен забывать о цели развития математического мышления: строгости логических построений, четкости речи, полноты рассуждений, точности определений.

Реализация этой цели делает неизбежным отказ от единообразного, уравнительного преподавания математики, унифицирующего как содержание обучения, так и уровень требований к математической подготовке учащихся. А это значит, учитель сам может определять объем дополнительной информации и требования к уровню овладения этой информацией различными учащимися.

Литература

1. 
   Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И., «Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики», 7-е изд. - М.: "Просвещение", 2001. – 271с.
   
2. 
   Гольдич В.А., Злотин С.Е., «3000 задач по алгебре. 5-9 класс», С.-Птб.: "Литера", 2002. – 336с.
   
3. 
   Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., «Контрольные и проверочные работы по алгебре. 7-9 классы», М.: "Дрофа", 2002. – 112с.
   
4. 
   Иванов С.О., Войта Е.А., Коннова Е.Г., Ольховая Л.С., Ханин Д.И., «Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ-2015: задание 20 (профильный уровень) / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 64с.
   
5. 
   Козко А.И., Чирский В.Г., «Задачи с параметром и другие сложные задачи». – М.: МЦНМО, 2007. – 296с.
   
6. 
   Коннова Е.Г. «Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА. Задания с параметром. – Ростов-на-Дону, Легион, 2014. – 64с.
   
7. 
   Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развернутым ответом: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2016. – 368с.
   
8. 
   Мерзляк А.Г., Якир М.С., «Алгебраический тренажер. Пособие для школьников и абитуриентов», М.: "Илекса", 2007 – 332с.
   
9. 
   Натяганов В.Л., Лужина Л.М., «Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие», М.: Изд-во МГУ, 2003. – 368 с.
   
10. 
    Фридман Л.М., «Учитесь учиться математике», М.: "URSS", 2002. – 120с.
    
11. 
    Шестаков С.А. «ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2016. – 240с.
    
12. 
    Шихова Н.А. Задачи с экономическим содержанием. — М.: ИЛЕКСА, 2018. — 97 с.
    

---