Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Методичка

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.11.2023

Просмотров: 185

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
2+3x+(k27k+12) равно нулю?

Ответ: 3; 4.

61. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения x2+(k2+4k 5)x k равна нулю?

Ответ: 1.

62. При каких значениях p и q корни уравнения x2+px+q=0 равны 2p и ?

Ответ: p=q=0 или p=1, q=6.

Более подробно следует остановиться на задачах такого содержания.

63. При каких значениях a оба корня уравнения x22ax+4=0 положительны?

Обсуждаем. Для того, чтобы оба корня уравнения были положительны, нужно, во-первых, чтобы оно имело два корня, а для этого необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Во-вторых, так как свободный член положительный, то оба корня имеют одинаковые знаки, а поэтому, чтобы они имели знаки "плюс", нужно, чтобы коэффициент среднего члена был отрицательный.

Разбив требование задачи на указанные две части, мы разбиваем и саму задачу на две более простые:

1. При каких значениях a дискриминант уравнения положительный?

2. При каких значениях a коэффициент среднего члена уравнения отрицательный?

Решение:

D=a2 4, a2 4>0, a2>4, a>2, a<2 или a>2.

2a<0, a>0.

a>2.

Ответ: a>2.

64. При каких значениях параметра a уравнение ax2 4x+a=0 имеет:

а) положительные корни;

б) отрицательные корни;

в) корень, равный нулю?

Ответ: а) 0 2; б) 2 a<0; в) a=0.

65. В уравнении x2+ax+12=0 определить a таким образом, чтобы разность корней равнялась единице.

Решение: x2 x1= = 1, a= 7.

Ответ: a= 7.

Разнообразны задачи с применением формул сокращенного умножения.

66. Корниуравнения x2 3ax+a2=0 таковы, что x1 2+ x2 2=112. Найти a.

Решение:

D=9a2 4a2=5a2, D 0 при любых a.

,

x12+ x22=(x1+x2)2 2x1 x2=(3a)2 2a2=7a2=112; a2=16, a= 4.

Ответ: 4.

67. В уравнении 3x2+ax+2=0 определить a таким образом, чтобы корни уравнения были действительными, а сумма кубов корней равнялась удвоенной сумме корней.

Решение:

D>0, D=a2 24;

a2 24>0, a2>24; a>2 .



x13+x23=(x1+x2)(x12+ x22 x1 x2)=(x1+x2)((x1+ x2)2 3x1 x2)= ( 2).

( 2)= a; a( 4)=0; a=0; a= 6.

0<2 ; 6>2 .

Ответ: 6.

68. Пусть x1 и x2-корниуравнения x2+px+q=0. Выразить x14+ x24 через p и q.

Решение:

1)x1+x2= p;

x1 x2=q.

2) x14+x24=(x12+ x22)22x12x22=((x1+x2)22x1x2)22x12x22=(p2-2q2)2-2q2=

=p4-4p2q2+2q2.

Ответ: p4-4p2q2+2q2.

69. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2+(m 1)x+m2 1,5=0 наибольшая?

Ответ: –1.

70. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2+(2 m)x+m 3=0 наименьшая?

Ответ: 1.

Учащиеся должны самостоятельно уметь решать задачи типа 59, 62, 65. Задачи такого типа целесообразно включать как обязательный материал в текущие самостоятельные и контрольные работы.

Итоги работы за год покажет большая проверочная работа, в которую включены задачи, аналогичные ключевым по всем темам.



9 класс


Основная цель работы в 9 классе – просто изучить квадратный трехчлен и квадратные неравенства. Учащиеся 9 класса уже готовы к серьезной исследовательской работе, поэтому излагать новый материал можно в виде проблемного диалога между учениками и учителем.

Квадратичная функция и ее график


При изучении графиков функций y=ax2+nиy=a(x-m)2 в устную и письменную работу полезно включать задачи такого содержания.

71. Найдите количество целых значений а, при которых абсцисса и ордината вершины параболы y=(x-5-a)2+3-a положительны.

Решение: y=(x-(5+a))2+3-a; х0=5+а; y0=3-a.

–5<а<3.

Целые значения а: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2.

Ответ: 7.

Изучая график квадратного трехчлена, рассматриваем следующие задачи:

72. При каких m парабола y=mx2-4mх+35 касается оси абсцисс?

Решение: Парабола касается оси абсцисс, если дискриминант равен 0

D1=(2m)2-m35=4m2-35m=4m (m- );



Ответ: .

Замечание. При решении таких задач следует всякий раз акцентировать внимание на том факте, что значение первого коэффициента не должно обращаться в ноль.

73. Найдите значения а и b, при которых точка (1; 1) является вершиной параболы

yx2+bх+8.

Решение: Если точка 0; y0)-вершина параболы, то х0= ; y0=y(x0).



Ответ: а=7; b=–14.

Очень содержательными, по-настоящему развивающими исследователь-ские навыки являются задачи типа:

74. Известно, что парабола yx2+bх+с не пересекает ось и a+b+ c< 0. Определить знаки а и с.

Прежде, чем записать решение задачи, рассмотрим утверждения:

1. Если парабола не пересекает ось , то она полностью лежит или над осью, или под осью, то есть при всех х принимает значения одного знака.

2. Значение функции при х=0 равно ее свободному члену, т.е. y(0)=c.

3. Значение функции при х=1 равно сумме коэффициентов y(1)=a+b+c.

Решение:

1) y(1)=a+b+c. Так как a+b+c<0, то y(1)<0.

2) Функция принимает значения одного знака, следовательноy<0 при всех х, т. е. парабола лежит под осью , таким образом а<0,y(0)<0, с<0.

Ответ: а<0; с<0.

75. Квадратный трехчлен аx2+bх+с не имеет корней, а его коэффициенты связаны условием ab+c<0. Определить знак числа с.

Решение:

D<0, следовательно y>0 или y<0 для всех х.

y()=ab+c. Так как ab+c<0, то y()<0, таким образом y<0 для всех х.

с=y(0); y(0)<0, значит с<0.

Ответ: с<0.

76. Известно, что квадратное уравнение аx2+bх+с=0 не имеет корней и a+c<
b. Определить знак с.

Решение: совпадает с решением задачи 76.

Ответ: с<0.

Пока девятиклассники не научились решать квадратные неравенства, им предлагаются задачи простые по технике решения. Важно, чтобы ученики могли грамотно проанализировать условие и вопрос задачи и правильно составить соответствующую систему.

Квадратные неравенства


Решение квадратных неравенств с параметрами – один из наиболее сложных вопросов 9 класса. Задачи очень разнообразны по формулировкам и порой достаточно трудоемки, объемны по записи решения, поэтому уже на первых уроках изучения темы "Решение неравенств второй степени с одной переменной" ученики составляют в тетради таблицу, которой активно пользуются сначала при решении числовых неравенств, а потом и неравенств с параметрами.

Изучив графический способ решения квадратных неравенств и рассмотрев примеры всех возможных типов, девятиклассники делают вывод, что возможны шесть случаев положения параболы относительно оси . Факторы, влияющие на положение параболы-знак первого коэффициента и знак дискриминанта. Исследуем решение всех случаев.

Решение квадратных неравенств

f (x)>0(x)=Ax2+Bx+C, где А, В, С – некоторые числа или выражения,

зависящие только от параметра, причем А 0, х1 , х2-нули функции.


A, D

Эскиз графика

f(x)>0

f(x) 0

f(x)<0

f(x) 0


A>0

D>0




(1)U2;+)

(1]U[х2;+)

1; х2)

[х1; х2]


A>0

D=0




(0)U0;+)

(; +)

решений нет

х0


A>0

D<0




R

знак значений функции совпадает со знаком а

R

решений нет

решений нет


A<0

D>0




1; х2)

[х1; х2]

(1)U2;+)

(1]U[х2;+)


A<0

D=0




решений нет

х0

(0)U0;+)

R


A<0

D<0




решений нет

решений нет

R

знак значений функции совпадает со знаком а

R