Файл: Учебное пособие и сборник контрольных заданий для студентов инженерных направлений очной и очнозаочной форм обучения Красноярск, 2020.pdf

32
Задачи
1. Звуковые колебания, имеющие частоту 500 Гц и амплитуду 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Определить скорость распространения колебаний и максимальную скорость частиц среды. Длина волны 70 см.
(350 м/c; 0,785 м/с).
2. Незатухающие колебания вида У=10sin0,5πt (м) распространяются в упругой среде со скоростью 300 м/с. Записать уравнение волны. Определить смещение точки, отстоящей на 600 м от источника колебаний, в момент времени t=10 c после начала колебаний. (0)
3. Незатухающие колебания вида У=4sin600πt (см) распространяются в упругой среде. Через 0,01 с после начала колебаний, точка, находящаяся на расстоянии 75 см от источника колебаний, имела смещение от положения равновесия 4 см. Определить скорость распространения колебаний. Записать уравнение волны. (81,8 м/с).
4. Колебания некоторой частоты с амплитудой 0,8 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны 1,6 м, максимальная скорость частиц среды
1,257 м/с. Определить скорость распространения волны и частоту колебаний.
(400 м/с; 250 Гц)
5. Плоская волна с амплитудой 4 см и периодом 3,3×10
-3
с распространяется со скоростью 300 м/с. Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 0,75 м от источника колебаний в момент времени t=10 с. На какое расстояние продвинется фронт волны к моменту времени t=2 с? (7,5 мм;
600 м)
6. Незатухающие колебания вида X=3cоs0,5πt (м) распространяются в упругой среде со скоростью 300 м/с. Записать уравнение волны. Определить смещение точки, отстоящей на 600 м от источника колебаний, в момент времени t=10 c после начала колебаний. (3 м)
7. Незатухающие колебания вида У=3cos300πt (см) распространяются в упругой среде со скоростью 300 м/с. Определить длину волны, частоту колебаний, максимальное значение скорости частиц среды. Записать уравнение волны. (2 м; 150 Гц; 28,3 м/с)
8. Незатухающие колебания вида У=10sin(90πt+π/3)(см) распространяются в упругой среде со скоростью 300 м/с. Определить длину волны, период колебаний, максимальное значение ускорения частиц среды. Записать уравнение волны. (6,7 м; 0,022 с; 7986 м/с)
9. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид X=sin2,5πt (м). Скорость распространения колебаний в упругой среде составляет 100 м/с. Определить смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний для момента времени t=1c после начала колебаний. (0; 7,85 см/с; 0).
10. От источника колебаний распространяется плоская волна с амплитудой
12 см длиной волны λ и периодом T. Определить смещение точки, удаленной

33
от источника колебаний на расстояние x=λ/2 в момент времени t=0,75T от начала колебаний.( 0,12 м)
11. Скорость распространения колебаний 100 м/с, период колебаний
2,5×10
-2
с. Определить разность фаз колебаний двух точек, находящихся от источника колебаний на расстоянии 5,5 и 6,75 м соответственно. (π рад.)
12. Найти разность фаз колебаний двух точек среды, лежащих на луче и отстоящих друг от друга на расстоянии 2 м. Длина волны 1 м. (4π рад.).
13. Разность фаз колебаний двух точек, лежащих на одном луче и находящихся на расстоянии 1,25 м друг от друга, составляет π/4. Определить длину волны и волновое число. (10 м; 0,63 м
-1
)
14. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени t=T/6 равно половине амплитудного значения. Найти длину бегущей волны. (0,48 м).
15. От источника колебаний распространяется плоская волна с длиной волны
λ и периодом T. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии x=λ/12 для момента времени t=T/6 составляет 2,5 см. Определить амплитуду колебаний. (0,05 м)
16. Волна частотой 50 Гц распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Найти наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых а) противоположны; б) одинаковы. (1 м; 2 м)
17. Стоячая волна образована при сложении двух одинаковых когерентных волн с амплитудой 2 см и длиной волны 4 м, распространяющихся навстречу друг другу. Найти амплитуду стоячей волны на расстоянии 0,5 м от одного из источников. (2,8 см)
18. При суперпозиции двух одинаковых волн с амплитудой 1 см, распространяющихся навстречу друг другу, образуется стоячая волна, имеющая амплитуду 1 см на расстоянии 20 см от одного из источников.
Найти длину волны бегущих волн. (1,2 м)
19. Определить длину волны бегущих волн, образующих стоячую волну, если расстояние между первой и шестой пучностями стоячей волны равно
25 см. (0,1 м)
20. Определить длину волны бегущих волн, образующих стоячую волну, если расстояние между вторым и седьмым узлом стоячей волны равно 50 см.
(20 см)
21. Определить скорость звука в воздухе при температуре 290 К. Воздух считать двухатомным газом с молярной массой 29 г/моль. (340 м/с)
22. Определить температуру, при которой находится молекулярный водород, если скорость звука в нем составляет 1321 м/c. (300 К)
23. Определить фазовую скорость продольных волн в железе и алюминии.
(3,6×10 3
м/с; 5,0×10 3
м/с)
24. Определить фазовую скорость поперечных волн в меди и олове.
(2,2×10 3
м/с; 2,0×10 3
м/с)

34 25. Сравнить фазовые скорости поперечных и продольных волн а) в золоте; б) в никеле. (0,612; 0,632)

35
где X
0
– амплитуда вынуждающего воздействия. Для электромагнитных колебаний X
0
= U
0
/L, где U
0
– амплитуда напряжения, L – индуктивность
5. Электромагнитной волной называется процесс распространения электромагнитных колебаний. Напряженность электрического поля E и напряженность магнитного поля H в плоской электромагнитной волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX, изменяются по закону
E=E
0 cos (ωt–kx+φ),
(7.10)
H=H
0 cos (ωt–kx+ φ).
(7.11)
Здесь E
0
и H
0
– соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω – круговая частота; k=2π/λ – волновое число; φ – начальные фазы колебаний в точках с координатой х=0.
6. Фазовая скорость распространения электромагнитной волны






c
v
1 1
0 0
,
(7.12) где
0 0
1



c
– скорость распространения света в вакууме, ε
0
и μ
0
– соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и μ – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
7. Мгновенные значения напряженностей электрического (E) и магнитного
(H) полей электромагнитной волны связаны соотношением
H
Å





0 0
(7.13)
8. Объемная плотность энергии электромагнитного поля w
2 2
2 0
2 0
H
E
w






(7.14)
9. Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Умова – Пойнтинга)


H
E
S


,
(7.13)
S =w×v.
(7.14)

36
Примеры решения задач
Задача 7.1
Колебательный контур имеет емкость 10
-9
Ф и индуктивность
5×10
-3
Гн. Логарифмический декремент затухания равен 0,005. За сколько времени потеряется 99% энергии контура вследствие затухания?
Решение
Логарифмический декремент затухания ϴ = δТ ,
(1) где

 /
1
T
 условный период затухающих колебаний. Условный период колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона
LC
T

 2
(2)
Максимальная энергия колебательного контура равна
W
max
= C(U
max
)
2
/2 = L(I
max
)
2
/2.
(3)
Выберем, например, выражение максимальной энергии через емкость конденсатора. Напряжение на обкладках конденсатора при затухании колебаний уменьшается по закону
U = U
max
#"
(4)
По условию задачи теряется 99% энергии контура, т.е. остается 1% энергии,
W = 0,01 W
max
(5)
Подставив выражение для энергии контура (3) в (5), получим
C(U)
2
/2 = 0,01 C(U
max
)
2
/2.
Сократив, получим
(U)
2
= 0,01 (U
max
)
2
(6)
Подставим в формулу (6) формулу (4) и сократив (U
max
)
2
, получим
#"
= 0,01.
Прологарифмируем
–2 δt = ln 0,01.
Отсюда выразим время
t = – ln 0,01/2δ.
(7)
Коэффициент затухания выразим из формулы (1)
δ = ϴ/Т = ϴ/
2$√%&.

37
Подставим в (7) и получим расчетную формулу
t = – (ln 0,01 2$√%&) /2 ϴ.
Подставив числовые значения, получим t = 6,78×10
-3
с.
Задачи
1. Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки с индуктивностью 1 мГн и переменного конденсатора, электроемкость которого может изменяться в пределах от 9,7 до 92 пФ. В каком диапазоне длин волн может принимать радиостанции этот радиоприемник?
(185,5 м – 571,4 м)
2. Резонанс в колебательном контуре с конденсатором емкости 1 мкФ наступает при частоте колебаний 400 Гц. Когда параллельно конденсатору подключили второй конденсатор, резонансная частота составила 100 Гц.
Пренебрегая сопротивлением контура, определить электроемкость второго конденсатора. (15 мкФ)
3. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 0,003 Гн и плоского конденсатора, представляющего собой две параллельные пластины в виде дисков радиуса 1,2 см, расположенных на расстоянии 0,3 мм друг от друга. Все пространство между пластинами заполняет стекло. Определить период собственных колебаний контура. (3,1× 10
-6
с)
4. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы пр электроемкости в 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц?
Сопротивлением контура пренебречь. (0,013 Гн)
5. На обкладках конденсатора в колебательном контуре разность потенциалов изменяется по закону: U=25cos(4×10 3
πt) (В). Электроемкость конденсатора составляет 2,5×10
-7
Ф. Определить период колебаний и индуктивность колебательного контура. (5× 10
-4
с; 0,025 Гн)
6. В условиях предыдущей задачи найти закон изменения со временем силы тока в цепи и длину волны, на которую настроен контур. (1,5× 10 5
м)
7. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 0,02 Гн и конденсатора электроемкостью 0,6 мкФ. Конденсатор зарядили количеством электричества 3×10
-5
Кл. Определить разность потенциалов на обкладках конденсатора и силу тока в контуре в момент времени t=T/2. (-50 В; 0 А)
8. На обкладках конденсатора в колебательном контуре разность потенциалов изменяется по закону: U=600cos(2,5×10 4
t) (В). Электроемкость конденсатора составляет 2 мкФ. Определить энергии электрического и магнитного полей в момент времени t=T/2. (0,36 Дж; 0)
9. Сила тока в колебательном контуре изменяется со временем по закону:
I = −0,012sin(1,2×10 4
t) (А). Индуктивность контура 1 Гн. Определить период колебаний и электроемкость контура. (0,52 мс; 6,9 нФ)
10. Сила тока в колебательном контуре изменяется со временем по закону:
I=−0,02sin400πt (А). Индуктивность контура 1 Гн. Определить максимальную