Файл: Александры Анатольевны.doc

8 класс.Сейчас перед каждым учеником ставится задача научиться овладевать фундаментальными знаниями, т.е. не набором некоторых правил и умений решать стандартные задачи, а, прежде всего, глубокому пониманию сути изучаемых явлений, приобщению к поиску самих задач, постановке этих задач, формулированию гипотез, испытанию их на правдоподобие.В процессе исследования ребята разрабатывают способы решения поставленной задачи, реализуют их, учатся обобщать полученные результаты, применять их для постановки новых проблем.Уравнения с параметрами, приводимые к линейным.Следующий шаг в изучении уравнений с параметром, составляют уравнения, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения.При изучении темы "Рациональные дроби" дается определение области допустимых значений переменных, а также условие равенства дроби нулю, что составляет базу для решения таких уравнений.Прежде, чем заняться решением уравнений, мы опять возвращаемся к основам темы "Решение задач с параметрами", но уже на более серьезном теоретическом уровне.Рассмотрим уравнения: + = 2; x 5  = a; = 0Каждое из этих уравнений можно рассматривать как уравнение с переменными x и a. Однако мы говорим о решении уравнения относительно x, считая x и a неравноценными, и хотим выразить x через a, считая a известным. При таком рассмотрении переменная x называется неизвестным, переменная a – параметром.Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое значение, то возможен один из двух случаев:

1. 
   получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров;
   
2. 
   получится условие, лишенное смысла.
   

В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором – недопустимым.(обсудить предъявленные уравнения)Решить уравнение, содержащее параметр – значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

---

Условились параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, …, k, l, m, а неизвестные – последними: x, y, z.Перейдем к рассмотрению ключевых уравнений.(подобрать подготовительный материал для устной работы очень легко)

1. 
   = 1.
   

Решение:

1. 
   ОДЗ: x  2.
   
2. 
   Умножим обе части уравнения на x  2  0, получим:
   

a = x 2, x = a + 2.

3. 
   Найдем недопустимые значения a, т.е. решим уравнение:
   

a + 2 = 2, a = 0.(Комментируем: при a = 0 x = 2, но число 2 не входит в область допустимых значений исходного уравнения, следовательно, не может быть его корнем).Ответ: при a 0 x = a + 2;при a = 0 корней нет.

2. 
   + = .
   

Решение:

1. 
   ОДЗ: x 1, a  0.
   
2. 
   Умножим обе части уравнения на a (x + 1)  0, получим:
   

a (x – 4) + 2x + 2 = 1, (a + 2) x = –1 + 4a. (1)

3. 
   Найдем недопустимые значения a:
   

(комментарий: подставим x = –1 в уравнение (1)):(a + 2) (–1) = –1 + 4a, –a – 2 = –1 –5a = 1, a = – .При a = – корней нет.(Комментарий: решим уравнение (1), это линейное уравнение относительно x, решение которого изучено в 7 классе.)

4. 
   (a + 2) x = –1 + 4a
   

1. Если a + 2  0, a –2, то x = ;2. Если a + 2 = 0, a = –2, то 0 x = – 9, корней нет.(Комментарий: обратите серьезное внимание на выписку ответа, можно упустить некоторые моменты).

---

Ответ: при a  –2, a  – , a  0 x =; при a = –2, a = –, a = 0 корней нет.Вторую часть ответа можно выписать и следующим образом:при a = –2, a = –, корней нет;при a = 0 левая и правая части уравнений не имеют смысла.

3. 
   = .
   

Решение:

1. 
   ОДЗ: kx  12  0;x  ;
   

3x – k  0; x  .

2. 
   Умножим обе части уравнения на (kx – 12) (3x – k)  0, получим:
   

3 (3x – k) = kx – 12, 9x – 3k = kx – 12, 9x – kx = 3k – 12, (9 – k) x = 3k – 12. (1)

3. 
   Найдем недопустимые значения k:
   

1. Если x = , то (9 – k) = 3k – 12, 108 – 12k= 3k² – 12, k² = 36, k =  6.2. Если x = , то (9 – k) = 3k – 12, 9k – k² = 9k – 36, k² = 36, k =  6.При k =  6 корней нет.

4. 
   Решим уравнение (9 – k) x = 3k – 12.
   

1. Если 9 – k 0, k 9, то x = ;2. Если 9 – k = 0, k = 9, то 0 x = 15, корней нет.Ответ: при k 6, k 6, k 15 x = ;

---

при k =  6, k = 6, k = 15 корней нет.Каждое из этих трех уравнений должно быть основательно проработано в классе, так как в их решении есть "подводные камни", которые должны преодолеть восьмиклассники.Далее можно предложить учащимся самостоятельно составить словесное описание алгоритма решения таких уравнений.Алгоритм решения уравнения с параметрами,сводящегося к линейному.

1. 
   Найти область допустимых значений неизвестного и параметров, входящих в уравнение.
   
2. 
   Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, преобразовать к виду линейного.
   
3. 
   Найти недопустимые значения параметра.
   
4. 
   Решить линейное уравнение с параметром.
   
5. 
   Выписать ответ с учетом пунктов 3, 4.
   

Для формирования навыка решим следующие уравнения:

3. 
   = a.
   

Решение:

1. 
   ОДЗ: x  –1;
   
2. 
   Умножим обе части уравнения на x + 1 0, получим:
   

x = a (x + 1), x = ax + a, x – ax = a, (1 – a) x = a.

3. 
   Найдем недопустимые значения a:
   

Если x = –1, то (1 – a) (– 1) = a, a – 1 = a, 0  a = 1, корней нет.Не существует значений a, при которых x = –1.

4. 
   (1 – a) x = a.
   

1. Если 1 – a  0, a1, то x = ;2. Если 1 – a = 0, a = 1, то 0 x = 1, корней нет.Ответ: при a 1 x = ;при a = 1 корней нет.

3. 
   = 0.
   

Ответ: при a 1 x = a;при a = 1корней нет.

3. 
   = – .
   

Решение:

1. 
   ОДЗ: x  –3; x  2;
   

a  –1;

2. 
   Упростим уравнение:
   

---

= – ,После преобразований, которые учащиеся выполняют самостоятельно, получим:2ax = 1 – a.

3. 
   Найдем недопустимые значения a:
   

1. Если x = –3, то 2a (–3) = 1 – a, –6a = 1 – a, –5a = 1, a = –0,2.2. Если x = 2, то 2a  2 = 1 – a, 5a = 1, a = 0,2. При a =  0,2 корней нет.

4. 
   2ax = 1 – a.
   

1. Если 2a  0, a0, то x = ;2. Если 2a = 0, a = 0, то 0 x = 1, корней нет.Ответ: при a  –1, a  0,2, a  0 x =; при a = –1, a =  0,2, a = 0корней нет.

3. 
   + = .
   

Ответ: при m 1, m –0,4 , m 2,25 x = ;при m = –0,4 , m = 2,25 , корней нет;при m = 1 уравнение не имеет смысла.Следующие два уравнения можно отнести в банк задач и рассмотреть их решение в любое удобное время вплоть до 11 класса.

3. 
   = .
   

Решение:

1. 
   ОДЗ: x  –3a; x  –b.
   
2. 
   a (b + x) = 6a + 2x,
   

(a – 2) x = a (6 – b).

3. 
   Найдем недопустимые значения aи b:
   

1. Если x = –3a, то (a – 2) (–3a) = a (6 – b); a (b – 3a) = 0; a = 0,b = 3a.2. Если x = –b, то (a – 2) (–b) = a (6 – b),2b = 6a,b = 3a.При a = 0 и b = 3aкорней нет.

4. 
   (a – 2) x = a (6 – b).
   

1. Если a – 2  0, a2, то x = ;

---